Τριτοβάθμιο κάτω φράγμα εκθετικής

Δυσκολότερα θέματα τα οποία όμως άπτονται της σχολικής ύλης και χρησιμοποιούν αποκλειστικά θεωρήματα που βρίσκονται μέσα σε αυτή. Σε διαφορετική περίπτωση η σύνταξη του μηνύματος θα πρέπει να γίνει στο υποφόρουμ "Ο ΦΑΚΕΛΟΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΥ"

Συντονιστής: Μπάμπης Στεργίου

Άβαταρ μέλους
gbaloglou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2973
Εγγραφή: Παρ Φεβ 27, 2009 10:24 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονικη
Επικοινωνία:

Τριτοβάθμιο κάτω φράγμα εκθετικής

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από gbaloglou » Τετ Ιούλ 21, 2021 6:51 pm

Με αφορμή την συζήτηση εδώ, αλλά χωρίς να εξαρτάται από αυτήν η απόδειξη της, προτείνω:

Να αποδειχθεί η ανισότητα e^x\geq (3-e)x^3+(2e-5)x^2+x+1 για 0\leq x\leq 1.


Γιώργος Μπαλόγλου -- κρυσταλλογράφω άρα υπάρχω

Ὁρᾷς, τὸ κάλλος ὅσσον ἐστὶ τῆς λίθου, ἐν ταῖς ἀτάκτοις τῶν φλεβῶν εὐταξίαις. -- Παλατινή Ανθολογία 9.695 -- Ιδού του πετραδιού η άμετρη ομορφιά, μεσ' των φλεβών τις άναρχες πειθαρχίες.

Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Λάμπρος Μπαλός
Δημοσιεύσεις: 958
Εγγραφή: Τρί Αύγ 13, 2013 12:21 pm
Τοποθεσία: Τρίκαλα

Re: Τριτοβάθμιο κάτω φράγμα εκθετικής

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Λάμπρος Μπαλός » Πέμ Ιούλ 22, 2021 3:14 pm

Υπέροχα.

Θεωρούμε λοιπόν τη συνάρτηση

f(x)=e^{x}-(3-e)x^{3}-(2e-5)x^{2}-x-1, στο [0,1].

Είναι :

f'(x)=e^{x}-3(3-e)x^{2}-2(2e-5)x-1
f''(x)=e^{x}-6(3-e)x-2(2e-5)
f'''(x)=e^{x}-6(3-e)

f(0)=f(1)=0
Από Rolle, υπάρχει a \in (0,1) : f'(a)=0.

f'(0)=f'(a)=f'(1)=0.
Από Rolle, υπάρχουν b \in (0,a) και c \in (a,1) τέτοια,
ώστε f''(b)=f''(c)=0.

Τέλος, από Rolle, υπάρχει d \in (b,c) τέτοιο, ώστε f'''(d)=0.

Τώρα, η f''' είναι γνησίως αύξουσα στο [0,1] οπότε μηδενίζεται μόνο στο d και είναι αρνητική στο [0,d) και θετική στο (d,1].
Έτσι, η f'' είναι γνησίως φθίνουσα στο [0,d] και γνησίως αύξουσα στο [d,1] και συνεπώς θα έχει το πολύ δύο ρίζες και εφόσον f''(b)=f''(c)=0, οι b και c είναι οι μοναδικές ρίζες της f''.
Εύκολα βλέπουμε το πρόσημο της f'' το οποίο μας δίνει τη μονοτονία της f'.
Η f' είναι λοιπόν γνησίως αύξουσα στο[0,b], γνησίως φθίνουσα στο [b,c] και γνησίως αύξουσα στο [c,1].
Θα έχει τρεις ρίζες το πολύ οι οποίες είναι οι γνωστές πλέον 0, a και 1.

Εύκολα πάλι το πρόσημο της f' πάει ως εξής :
Η f' είναι θετική στο (0,a) και αρνητική στο (a,1).
Άρα, η f είναι γνησίως αύξουσα στο [0,a] και γνησίως φθίνουσα στο [a,1].
Εφόσον f(0)=f(1)=0, η f(x) \geq 0, για κάθε x \in [0,1] και η ισότητα πιάνεται μόνο στα άκρα.


Λάμπρος Μπαλός
lamprosbalos81@gmail.com
Άβαταρ μέλους
gbaloglou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2973
Εγγραφή: Παρ Φεβ 27, 2009 10:24 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονικη
Επικοινωνία:

Re: Τριτοβάθμιο κάτω φράγμα εκθετικής

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από gbaloglou » Τετ Ιούλ 28, 2021 7:56 pm

Σ' ευχαριστώ για την απόδειξη σου (και εν γένει συμμετοχή σου), Λάμπρο. Παραθέτω την δική μου απόδειξη (που δεν ήταν τελικά τόσο σύντομη όσο νόμιζα):

Παρατηρούμε ότι f(0)=f(1)=0, όπου f(x)=e^x-(3-e)x^3-(2e-5)x^2-x-1, αρκεί επομένως να δειχθεί η f(x_0)\geq 0 για το τυχόν σημείο x_0\in (0,1) όπου f'(x_0)=0. Από την f'(x_0)=0 λαμβάνουμε e^{x_0}=3(e-3)x_0^2+2(2e-5)x_0+1, οπότε με αντικατάσταση προκύπτει η

f(x_0)=x_0[-(3-e)x_0^2+(14-5e)x_0+(4e-11)].

Η ζητούμενη f(x_0)\geq 0 θα προέκυπτε λοιπόν άμεσα από την -(3-e)x^2+(14-5e)x+(4e-11)\geq 0 για 0<x<1, η οποία δυστυχώς δεν ισχύει (για πολύ μικρές τιμές του x). Παρατηρούμε όμως ότι ισχύει για x\geq 1/2: πράγματι, θέτοντας g(x)=-(3-e)x^2+(14-5e)x+(4e-11) ισχύουν οι g(1)=0 και g(1/2)=\dfrac{-19+7e}{4}>0, οπότε η ζητούμενη είναι άμεση λόγω της κοιλότητας της g.

Αρκεί λοιπόν να δειχθεί η x_0\geq 1/2 για το τυχόν σημείο x_0 όπου f'(x_0)=0. Αρκεί δηλαδή να δειχθεί η

x<1/2\rightarrow f'(x)>0.

Η ζητούμενη θετικότητα της f'(x)=e^x-3(3-e)x^2-2(2e-5)x-1 στο [0, 1/2] προκύπτει από την κοιλότητα της στο διάστημα αυτό (άμεση συνέπεια της \sqrt{e}<6(3-e)) και από τις f'(0)=0, f'(1/2)=\dfrac{7+4\sqrt{e}-5e}{4}>0.

[Υπάρχει όντως σημείο μηδενισμού της f', το x_0\approx 0,512454]


Γιώργος Μπαλόγλου -- κρυσταλλογράφω άρα υπάρχω

Ὁρᾷς, τὸ κάλλος ὅσσον ἐστὶ τῆς λίθου, ἐν ταῖς ἀτάκτοις τῶν φλεβῶν εὐταξίαις. -- Παλατινή Ανθολογία 9.695 -- Ιδού του πετραδιού η άμετρη ομορφιά, μεσ' των φλεβών τις άναρχες πειθαρχίες.
Άβαταρ μέλους
gbaloglou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2973
Εγγραφή: Παρ Φεβ 27, 2009 10:24 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονικη
Επικοινωνία:

Re: Τριτοβάθμιο κάτω φράγμα εκθετικής

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από gbaloglou » Πέμ Ιούλ 29, 2021 8:00 pm

Υπάρχει βεβαίως μια κάποια γοητεία στην 'ηρωική' μου απόδειξη (#3), πλην όμως ... πολύ πιο αποτελεσματική -- αλλά και πιο σχολική! -- είναι νομίζω η απόδειξη του Λάμπρου (#2), ειδικά επειδή καταφέρνει να αποδείξει το ζητούμενο χωρίς να 'λερώσουμε τα χέρια μας' (όπως ας πούμε να δείξουμε θετικότητα της συνάρτησης-διαφοράς f σε ένα έστω σημείο, όπως πχ εδώ), και, ακόμη περισσότερο, επειδή αποδεικνύει με τον ίδιο ακριβώς τρόπο την γενικότερη ανισότητα

a^x\geq (2-2a+(1+a)lna)x^3+(3a-3-(2+a)lna)x^2+(lna)x+1 για a\geq 1, 0\leq x\leq 1.

Οι συντελεστές της τριτοβάθμιας προκύπτουν από την συνθήκη f(0)=f(1)=f'(0)=f'(1)=0: είναι αξιοσημείωτο πως η επιπεδοποίηση στα άκρα οδηγεί σε τόσο καλές προσεγγίσεις εντός του διαστήματος -- εκθετική και τριτοβάθμια δεν ξεχωρίζουν καν στο γράφημα! -- και ακόμη πιο ενδιαφέρον ότι η σχετική σφιχτή ανισότητα προκύπτει τόσο εύκολα και ανώδυνα μέσω μιας απόδειξης όπως αυτή του Λάμπρου (#2)!


Γιώργος Μπαλόγλου -- κρυσταλλογράφω άρα υπάρχω

Ὁρᾷς, τὸ κάλλος ὅσσον ἐστὶ τῆς λίθου, ἐν ταῖς ἀτάκτοις τῶν φλεβῶν εὐταξίαις. -- Παλατινή Ανθολογία 9.695 -- Ιδού του πετραδιού η άμετρη ομορφιά, μεσ' των φλεβών τις άναρχες πειθαρχίες.
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΘΕΜΑΤΑ ΜΕ ΑΠΑΙΤΗΣΕΙΣ Γ'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης