Γινόμενο λογαρίθμων
Συντονιστής: Μπάμπης Στεργίου
Γινόμενο λογαρίθμων
Για την συνάρτηση : , βρείτε τα ακρότατα και τις ασύμπτωτες της .
Λέξεις Κλειδιά:
- Tolaso J Kos
- Δημοσιεύσεις: 5223
- Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
- Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
- Επικοινωνία:
Re: Γινόμενο λογαρίθμων
Πρέπει και . Η είναι παραγωγίσιμη στο με
Η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη στο με παράγωγο
Παρατηρούμε επίσης ότι . Θεωρούμε τη συνάρτηση η οποία είναι παραγωγίσιμη στο με παράγωγο . Άρα
Συνεπώς η είναι γνησίως φθίνουσα στο και γνησίως αύξουσα στο . Από την άλλη όμως η είναι συνεχής στο . Είναι και συνεπώς υπάρχει μοναδικό ( λόγω μονοτονίας ) τέτοιο ώστε . Επιπλέον επειδή η παρουσιάζει ολικό ελάχιστο στο έπεται ότι για κάθε και για κάθε . Έπεται λοιπόν ότι για κάθε και για κάθε . Συνεπώς η παρουσιάζει ελάχιστο στο . Υπολογίζουμε τώρα το όριο .
Άρα
Οπότε . Άρα για κάθε και για κάθε . Συνεπώς η είναι γνησίως αύξουσα στο και γνησίως φθίνουσα στο . Τέλος, η παρουσιάζει ολικό μέγιστο στο ίσο με .
Όντως τώρα Θανάση;
Η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη στο με παράγωγο
Παρατηρούμε επίσης ότι . Θεωρούμε τη συνάρτηση η οποία είναι παραγωγίσιμη στο με παράγωγο . Άρα
Συνεπώς η είναι γνησίως φθίνουσα στο και γνησίως αύξουσα στο . Από την άλλη όμως η είναι συνεχής στο . Είναι και συνεπώς υπάρχει μοναδικό ( λόγω μονοτονίας ) τέτοιο ώστε . Επιπλέον επειδή η παρουσιάζει ολικό ελάχιστο στο έπεται ότι για κάθε και για κάθε . Έπεται λοιπόν ότι για κάθε και για κάθε . Συνεπώς η παρουσιάζει ελάχιστο στο . Υπολογίζουμε τώρα το όριο .
Άρα
Οπότε . Άρα για κάθε και για κάθε . Συνεπώς η είναι γνησίως αύξουσα στο και γνησίως φθίνουσα στο . Τέλος, η παρουσιάζει ολικό μέγιστο στο ίσο με .
Όντως τώρα Θανάση;
Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
Re: Γινόμενο λογαρίθμων
Το πρώτο απαντήθηκε σωστά από το Τόλη , ( το ερώτημά του , πάντως , δεν έγινε κατανοητό )
- gbaloglou
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 3331
- Εγγραφή: Παρ Φεβ 27, 2009 10:24 pm
- Τοποθεσία: Θεσσαλονικη
- Επικοινωνία:
Re: Γινόμενο λογαρίθμων
Εναλλακτικά για την : για εύκολα λόγω και , άμεση από τις και , για την για αρκεί, λόγω των και (αποδείχτηκε παραπάνω), να δειχθεί η για το τυχόν σημείο όπου , αρκεί δηλαδή να δειχθεί η για (αρκετά εύκολη και ανεξαρτήτου ενδιαφέροντος).Tolaso J Kos έγραψε: ↑Κυρ Ιουν 13, 2021 1:01 pmΠρέπει και . Η είναι παραγωγίσιμη στο με
Η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη στο με παράγωγο
Παρατηρούμε επίσης ότι . Θεωρούμε τη συνάρτηση η οποία είναι παραγωγίσιμη στο με παράγωγο . Άρα
Συνεπώς η είναι γνησίως φθίνουσα στο και γνησίως αύξουσα στο . Από την άλλη όμως η είναι συνεχής στο . Είναι και συνεπώς υπάρχει μοναδικό ( λόγω μονοτονίας ) τέτοιο ώστε . Επιπλέον επειδή η παρουσιάζει ολικό ελάχιστο στο έπεται ότι για κάθε και για κάθε . Έπεται λοιπόν ότι για κάθε και για κάθε . Συνεπώς η παρουσιάζει ελάχιστο στο . Υπολογίζουμε τώρα το όριο .
Άρα
Οπότε . Άρα για κάθε και για κάθε . Συνεπώς η είναι γνησίως αύξουσα στο και γνησίως φθίνουσα στο . Τέλος, η παρουσιάζει ολικό μέγιστο στο ίσο με .
Γιώργος Μπαλόγλου -- κρυσταλλογράφω άρα υπάρχω
Ὁρᾷς, τὸ κάλλος ὅσσον ἐστὶ τῆς λίθου, ἐν ταῖς ἀτάκτοις τῶν φλεβῶν εὐταξίαις. -- Παλατινή Ανθολογία 9.695 -- Ιδού του πετραδιού η άμετρη ομορφιά, μεσ' των φλεβών τις άναρχες πειθαρχίες.
Ὁρᾷς, τὸ κάλλος ὅσσον ἐστὶ τῆς λίθου, ἐν ταῖς ἀτάκτοις τῶν φλεβῶν εὐταξίαις. -- Παλατινή Ανθολογία 9.695 -- Ιδού του πετραδιού η άμετρη ομορφιά, μεσ' των φλεβών τις άναρχες πειθαρχίες.
- Tolaso J Kos
- Δημοσιεύσεις: 5223
- Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
- Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
- Επικοινωνία:
Re: Γινόμενο λογαρίθμων
Θανάση , είναι η πρώτη φορά στα χρόνια που γράφω τέτοια μακροστελέστατη απόδειξη για μονοτονία συνάρτησης. Δε λέω , στρωτές παραγώγους έχει , αλλά πρώτη φορά βλέπω απόδειξη μονοτονίας που απαιτεί σύνολο τιμών , Bolzano , και άλλα πράγματα. Κατά τα άλλα , καλή ήταν τη χάρηκα την άσκηση.
Αυτές είναι το εύκολο κομμάτι. Πράγματι, όπως βλέπουμε και από το σχήμα στο η δε παρουσιάζει ασύμπτωτη αφού . Θα δούμε ότι στο έχουμε οριζόντια ασύμπτωτη την . Αυτό όμως είναι άμεσο αφού
Αυτά... Τι άλλα ;
Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
- gbaloglou
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 3331
- Εγγραφή: Παρ Φεβ 27, 2009 10:24 pm
- Τοποθεσία: Θεσσαλονικη
- Επικοινωνία:
Re: Γινόμενο λογαρίθμων
Τώρα που πέρασε η λαίλαπα των Πανελλαδικών: τα παραπάνω αποτελούν αυτοδύναμη απόδειξη της δοθείσης (όπου βέβαια είναι, όπως και στην απόδειξη του Τόλη, ο αριθμητής της παραγώγου της )^ επισυνάπτω και ένα γράφημα των τριών σχετικών συναρτήσεων, όπου βλέπουμε πως (σημείο μηδενισμού της πράσινης συνάρτησης ΚΑΙ σημείο τομής της μπλε και της κόκκινης συνάρτησης). [Στην μέθοδο αυτή (που δεν ξέρω πόσο δημοφιλής είναι) ... απαιτείται η αρνητικότητα της κόκκινης συνάρτησης σε ολόκληρο το διάστημα όπου μπορεί να κινείται το (στο δηλαδή), και όχι απλώς για : στο συγκεκριμένο πρόβλημα αυτό συμβαίνει και αποδεικνύεται εύκολα, σε αρκετά άλλα προβλήματα ΟΧΙ.]
Γιώργος Μπαλόγλου -- κρυσταλλογράφω άρα υπάρχω
Ὁρᾷς, τὸ κάλλος ὅσσον ἐστὶ τῆς λίθου, ἐν ταῖς ἀτάκτοις τῶν φλεβῶν εὐταξίαις. -- Παλατινή Ανθολογία 9.695 -- Ιδού του πετραδιού η άμετρη ομορφιά, μεσ' των φλεβών τις άναρχες πειθαρχίες.
Ὁρᾷς, τὸ κάλλος ὅσσον ἐστὶ τῆς λίθου, ἐν ταῖς ἀτάκτοις τῶν φλεβῶν εὐταξίαις. -- Παλατινή Ανθολογία 9.695 -- Ιδού του πετραδιού η άμετρη ομορφιά, μεσ' των φλεβών τις άναρχες πειθαρχίες.
- gbaloglou
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 3331
- Εγγραφή: Παρ Φεβ 27, 2009 10:24 pm
- Τοποθεσία: Θεσσαλονικη
- Επικοινωνία:
Re: Γινόμενο λογαρίθμων
ΕΔΩ για παράδειγμα ... δεν δούλεψε ... Έτσι για να μην ξεχνιόμαστε
Γιώργος Μπαλόγλου -- κρυσταλλογράφω άρα υπάρχω
Ὁρᾷς, τὸ κάλλος ὅσσον ἐστὶ τῆς λίθου, ἐν ταῖς ἀτάκτοις τῶν φλεβῶν εὐταξίαις. -- Παλατινή Ανθολογία 9.695 -- Ιδού του πετραδιού η άμετρη ομορφιά, μεσ' των φλεβών τις άναρχες πειθαρχίες.
Ὁρᾷς, τὸ κάλλος ὅσσον ἐστὶ τῆς λίθου, ἐν ταῖς ἀτάκτοις τῶν φλεβῶν εὐταξίαις. -- Παλατινή Ανθολογία 9.695 -- Ιδού του πετραδιού η άμετρη ομορφιά, μεσ' των φλεβών τις άναρχες πειθαρχίες.
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 4 επισκέπτες