Πασίγνωστη αλλά δυσπρόσιτη

KARKAR · #1

Η συνάρτηση : $f(x)=\left(1+\dfrac{1}{x}\right )^x , x \in (0 , +\infty)$ , είναι πασίγνωστη , διότι : $\lim\limits_{x\to +\infty}\left(f(x)\right)=e$ .

Ας δούμε και τα λιγότερο γνωστά : α) Βρείτε το : $\lim\limits_{x\to 0^{+}}(f(x))$ ... β) Δείξτε ότι η

είναι γνησίως αύξουσα .

Tolaso J Kos · #2

Θανάση , πλέον κλασσική τη χαρακτηρίζω.

KARKAR έγραψε: ↑
Παρ Μάιος 14, 2021 1:22 pm
Η συνάρτηση : $f(x)=\left(1+\dfrac{1}{x}\right )^x , x \in (0 , +\infty)$ , είναι πασίγνωστη , διότι : $\lim\limits_{x\to +\infty}\left(f(x)\right)=e$ .

Ας δούμε και τα λιγότερο γνωστά : α) Βρείτε το : $\lim\limits_{x\to 0^{+}}(f(x))$ ... β) Δείξτε ότι η είναι γνησίως αύξουσα .

(α) Είναι

$\displaystyle{\begin{aligned} \lim_{x \rightarrow 0^+} f(x) &= \lim_{x \rightarrow 0^+} \left ( 1 + \frac{1}{x} \right )^x \\ &= \lim_{x \rightarrow 0^+} \exp \left ( x \ln \left ( 1 + \frac{1}{x} \right ) \right ) \\ &= \exp \left ( \lim_{x \rightarrow 0^+} x \ln \left ( 1 + \frac{1}{x} \right ) \right ) \\ &= \exp \left ( \lim_{x \rightarrow 0^+} \frac{\ln \left ( 1 + \frac{1}{x} \right )}{\frac{1}{x}} \right ) \\ &= \exp \left ( \lim_{x \rightarrow 0^+} \frac{\frac{1}{x^2+x}}{\frac{1}{x^2}} \right ) \\ &= \exp \left ( \lim_{x \rightarrow 0^+} \frac{x^2}{x^2+x} \right ) \\ &=\exp \left ( \lim_{x \rightarrow 0^+} \frac{x^2}{x\left ( x+1 \right )} \right ) \\ &= \exp \left ( \lim_{x \rightarrow 0^+} \frac{x}{x+1} \right ) \\ &= e^0 \\ &= 1 \end{aligned}}$

(β) Επειδή f(x)>0

για κάθε

έπεται ότι $\displaystyle{\ln f(x) = x \ln \left ( 1 + \frac{1}{x} \right ) }$ . Παραγωγίζοντας έχουμε

$\displaystyle{\frac{f'(x)}{f(x)} = \ln \left(x +1 \right) - \frac{1}{x+1} - \ln x }$
Θεωρούμε συνάρτηση $g:(0, +\infty) \rightarrow \mathbb{R}$ με τύπο $g(x) = \ln \left(x +1 \right) - \frac{1}{x+1} - \ln x$ . Η

είναι παραγωγίσιμη στο $(0, +\infty)$ με παράγωγο $\displaystyle{g'(x) = - \frac{1}{x (x+1)^2}<0}$ . Συνεπώς η

είναι γνησίως φθίνουσα. Όμως , $\lim \limits_{x \rightarrow +\infty} g(x) =0$ ( άμεσο ) . Άρα g(x)>0

για κάθε $x \in (0, +\infty)$ . Συνεπώς f'(x)>0

για κάθε $x \in (0, +\infty)$ . Άρα , η

είναι γνησίως αύξουσα.

#3

το β) ερώτημα βγαίνει με ΘΜΤ και μονοτονία όπως το θέμα του 2016

KARKAR · #4

... Βρίσκουμε λοιπόν ότι : $f'(x)=f(x)\left(ln\dfrac{x+1}{x}-\dfrac{1}{x+1}\right )$ . Αρκεί να δείξουμε

ότι για κάθε x>0

, ισχύει : $\dfrac{1}{x+1}<ln\dfrac{x+1}{x}$ . Α' τρόπος . Στην πασίγνωστη :

$\dfrac{x-1}{x} <lnx<x-1$ , βάζουμε στην θέση του

, το $\dfrac{x+1}{x}$ .

Β' Τρόπος : Θ.Μ.Τ. για την g(x)=lnx

, στο $[ 1, 1+\dfrac{1}{x} ]$ ( δοκιμάστε το ! )

Γ' τρόπος (προτείνεται ) : Θ.Μ.Τ. για την g(x)=lnx

, στο

. Προκύπτει :

$f'(\xi)=ln\dfrac{x+1}{x}$ και επειδή $x<\xi<x+1$ , $\dfrac{1}{x+1}<\dfrac{1}{\xi}=ln\dfrac{x+1}{x}$ ό . έ . δ.

Πασίγνωστη αλλά δυσπρόσιτη

Πασίγνωστη αλλά δυσπρόσιτη

Re: Πασίγνωστη αλλά δυσπρόσιτη

Re: Πασίγνωστη αλλά δυσπρόσιτη

Re: Πασίγνωστη αλλά δυσπρόσιτη

Μέλη σε σύνδεση