Μία κατασκευή

Δυσκολότερα θέματα τα οποία όμως άπτονται της σχολικής ύλης και χρησιμοποιούν αποκλειστικά θεωρήματα που βρίσκονται μέσα σε αυτή. Σε διαφορετική περίπτωση η σύνταξη του μηνύματος θα πρέπει να γίνει στο υποφόρουμ "Ο ΦΑΚΕΛΟΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΥ"

Συντονιστής: Μπάμπης Στεργίου

Άβαταρ μέλους
M.S.Vovos
Δημοσιεύσεις: 912
Εγγραφή: Παρ Φεβ 27, 2015 5:45 pm

Μία κατασκευή

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από M.S.Vovos » Πέμ Απρ 08, 2021 5:37 pm

Έστω \lambda >0 και η συνάρτηση f(x)=\left | \ln \left ( \lambda x+1 \right )-x \right |. Αν η f είναι παραγωγίσιμη στο 0, τότε:

i. Να αποδείξετε ότι \lambda =1.

ii. Να αποδείξετε ότι f(x)=x-\ln \left ( x+1 \right ),\hspace{3mm}x>-1.

Ορίζουμε για κάθε x\in \left ( -1,0 \right )\cup \left ( 0,+\infty  \right ) το σημείο A_{x}\left ( g(x),0 \right ), που είναι το σημείο τομής της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της f στο σημείο B\left ( x,f(x) \right ), με τον άξονα x'x.

iii. Να αποδείξετε ότι: \displaystyle{\displaystyle g(x)=\left (1+\frac{1}{x}  \right )\ln (x+1)-1} για κάθε x\in \left ( -1,0 \right )\cup \left ( 0,+\infty  \right ).

iv. Να αποδείξετε ότι υπάρχει μοναδική εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της f, που τέμνει τον άξονα x'x στο σημείο \displaystyle \Gamma \left (\frac{1}{e-1},0  \right ), την οποία και να προσδιορίσετε.

Φιλικά,
Μάριος


Είναι αυταπάτη ότι η νεότητα είναι ευτυχισμένη, μια αυταπάτη αυτών που την έχουν χάσει. W. Somerset Maugham

Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
R BORIS
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2288
Εγγραφή: Σάβ Ιαν 03, 2009 8:08 am
Επικοινωνία:

Re: Μία κατασκευή

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από R BORIS » Κυρ Απρ 11, 2021 7:15 pm

θετουμε\displaystyle{f(x)=ln(1+lx)x}Πρέπεi

\displaystyle{\lim_{x \to 0+}\frac{|f(x)|}{x}=\lim_{x \to 0-}\frac{|f(x)|}{x}\in R}

\displaystyle{(\frac{ln(lx+1)-x}{x})'=\frac{\frac{lx}{lx+1}-ln(lx+1)}{x^2}=}

όμως \displaystyle{ln(\frac{1}{1+lx})\le\frac{1}{1+lx}-1}

οπότε \displaystyle{ln(1+lx)\ge\frac{lx}{1+lx}}

άρα η \displaystyle{ f(x)/x \downarrrow} kαι τα πλευρικά ορια ετερόσημα και ίσα συνεπώς ίσα με το \displaystyle{0} μάλιστα το αριστερό είναι θετικό
\displaystyle{\lim_{x \to 0-}\frac{f(x)}{x}=\lim_{x \to 0-}\frac{f'(x)}{1}=\lim_{x \to 0-}\frac{l}{1+lx}-1}=l-1=0 }
\displaystyle{l=1}

Η ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΑΡΓΟΤΕΡΑ
τελευταία επεξεργασία από R BORIS σε Πέμ Απρ 15, 2021 9:55 am, έχει επεξεργασθεί 2 φορές συνολικά.


Άβαταρ μέλους
R BORIS
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2288
Εγγραφή: Σάβ Ιαν 03, 2009 8:08 am
Επικοινωνία:

Re: Μία κατασκευή

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από R BORIS » Δευ Απρ 12, 2021 7:58 am

είναι
\displaystyle{ln(1+x)\le (1+x)-1}
αρα
\displaystyle{|f(x)|=x-ln(1+x),x>-1}

\displaystyle{0-f(x)=f'(x)(g(x)-x)} με απλές πράξεις το ζητούμενο

Αρκεί η \displaystyle{g(x)=\frac{1}{e-1}} ΝΑ έχει μοναδική λύση

Εχει λύση το \displaystyle{e-1} και \displaystyle{g'(x)=...\ge 0} αρα \displaystyle{g \uparrow} δηλαδή \displaystyle{g 1-1}
Tο ζητούμενο έπεται


Σταμ. Γλάρος
Δημοσιεύσεις: 356
Εγγραφή: Δευ Ιουν 18, 2012 1:51 pm

Re: Μία κατασκευή

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Σταμ. Γλάρος » Πέμ Απρ 15, 2021 12:18 am

M.S.Vovos έγραψε:
Πέμ Απρ 08, 2021 5:37 pm
Έστω \lambda >0 και η συνάρτηση f(x)=\left | \ln \left ( \lambda x+1 \right )-x \right |. Αν η f είναι παραγωγίσιμη στο 0, τότε:

i. Να αποδείξετε ότι \lambda =1.

ii. Να αποδείξετε ότι f(x)=x-\ln \left ( x+1 \right ),\hspace{3mm}x>-1.

Ορίζουμε για κάθε x\in \left ( -1,0 \right )\cup \left ( 0,+\infty  \right ) το σημείο A_{x}\left ( g(x),0 \right ), που είναι το σημείο τομής της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της f στο σημείο B\left ( x,f(x) \right ), με τον άξονα x'x.

iii. Να αποδείξετε ότι: \displaystyle{\displaystyle g(x)=\left (1+\frac{1}{x}  \right )\ln (x+1)-1} για κάθε x\in \left ( -1,0 \right )\cup \left ( 0,+\infty  \right ).

iv. Να αποδείξετε ότι υπάρχει μοναδική εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της f, που τέμνει τον άξονα x'x στο σημείο \displaystyle \Gamma \left (\frac{1}{e-1},0  \right ), την οποία και να προσδιορίσετε.

Φιλικά,
Μάριος
Καλησπέρα. Μια προσπάθεια στα δύο πρώτα ...
(i) Είναι \lim_{x\rightarrow 0^-}\dfrac{f(x)-f(0)}{x-0}= \lim_{x\rightarrow 0^-}\dfrac{|ln(\lambda x+1)-x|}{x} = \lim_{x\rightarrow 0^-}\left (-\dfrac{|ln(\lambda x+1)-x|}{-x} \right ) =
= \lim_{x\rightarrow 0^-}\left (-\left |\dfrac{ln(\lambda x+1)}{x} -1 \right | \right )=-|\lambda -1|  .

Επίσης \lim_{x\rightarrow 0^+}\dfrac{f(x)-f(0)}{x-0}= \lim_{x\rightarrow 0^+}\dfrac{|ln(\lambda x+1)-x|}{x} = \lim_{x\rightarrow 0^+}\left (\dfrac{|ln(\lambda x+1)-x|}{x} \right ) =
= \lim_{x\rightarrow 0^+}\left (\left |\dfrac{ln(\lambda x+1)}{x} -1 \right | \right )=|\lambda -1|  .

Για τον υπολογισμό του  \lim_{x\rightarrow 0}\dfrac{ln(\lambda x+1)}{x}  , εφαρμόζουμε κανόνα de l΄ Hospital .
Έχουμε \lim_{x\rightarrow 0}\dfrac{ln(\lambda x+1)}{x}=\lim_{x\rightarrow 0}\dfrac{(ln(\lambda x+1))'}{x'} =\lambda .

Αφού f : παραγωγίσιμη στο 0 ισχύει : -|\lambda -1|= |\lambda -1| , οπότε  \lambda =1 .

(ii) Για  \lambda =1 είναι  f(x)=\left | \ln \left ( x+1 \right )-x \right | . Πρέπει x>-1 .
Θεωρώ συνάρτηση h (x)= \ln \left ( x+1 \right )-x  . Είναι  f(x)=|h(x)| .
H  h είναι παραγωγίσιμη με h'(x)=- \dfrac{x}{x+1} .
Με πινακάκι, εύκολα, βρίσκουμε ότι η h παρουσιάζει στο 0, ολικό μέγιστο το h(0)=0.
Άρα ισχύει h(x)\leq h(0)=0, \forall x\in (-1,+\infty ) .
Συνεπώς  f(x)=-h(x) =x- \ln \left ( x+1 \right ) .

Φιλικά
Σταμ. Γλάρος


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΘΕΜΑΤΑ ΜΕ ΑΠΑΙΤΗΣΕΙΣ Γ'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες