Άσκηση για υποψηφίους!
Συντονιστής: Μπάμπης Στεργίου
- Ορέστης Λιγνός
- Δημοσιεύσεις: 1835
- Εγγραφή: Κυρ Μάιος 08, 2016 7:19 pm
- Τοποθεσία: Χαλάνδρι Αττικής
- Επικοινωνία:
Άσκηση για υποψηφίους!
Μια ιδιοκατασκευή
Έστω συνάρτηση , δύο φορές παραγωγίσιμη, ώστε για κάθε , και:
,
υπάρχει ώστε η εφαπτομένη της στο σημείο της να περνάει από την αρχή των αξόνων, και το σημείο να είναι σημείο καμπής της .
i) Να βρείτε τον τύπο της και να δείξετε ότι .
Για τα επόμενα ερωτήματα δίνεται ότι , με .
ii) α) Αφού αποδείξετε ότι η αντιστρέφεται, να βρείτε το πεδίο ορισμού της αντίστροφης συνάρτησης.
β) Να βρείτε τις ασύμπτωτες της .
iii) Έστω μία αρχική της και μια οποιαδήποτε πραγματική της ρίζα, τέτοια ώστε . Να αποδείξετε ότι:
iv) Να αποδείξετε ότι για κάθε ισχύει:
Έστω συνάρτηση , δύο φορές παραγωγίσιμη, ώστε για κάθε , και:
,
υπάρχει ώστε η εφαπτομένη της στο σημείο της να περνάει από την αρχή των αξόνων, και το σημείο να είναι σημείο καμπής της .
i) Να βρείτε τον τύπο της και να δείξετε ότι .
Για τα επόμενα ερωτήματα δίνεται ότι , με .
ii) α) Αφού αποδείξετε ότι η αντιστρέφεται, να βρείτε το πεδίο ορισμού της αντίστροφης συνάρτησης.
β) Να βρείτε τις ασύμπτωτες της .
iii) Έστω μία αρχική της και μια οποιαδήποτε πραγματική της ρίζα, τέτοια ώστε . Να αποδείξετε ότι:
iv) Να αποδείξετε ότι για κάθε ισχύει:
Κερδίζουμε ό,τι τολμούμε!
Λέξεις Κλειδιά:
-
- Δημοσιεύσεις: 3600
- Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
- Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ
Re: Άσκηση για υποψηφίους!
Ξεκινάω από την τελευταία η οποία βελτιώνεται.Ορέστης Λιγνός έγραψε: ↑Σάβ Απρ 03, 2021 11:28 amΜια ιδιοκατασκευή
Έστω συνάρτηση , δύο φορές παραγωγίσιμη, ώστε για κάθε , και:
,
υπάρχει ώστε η εφαπτομένη της στο σημείο της να περνάει από την αρχή των αξόνων, και το σημείο να είναι σημείο καμπής της .
i) Να βρείτε τον τύπο της και να δείξετε ότι .
Για τα επόμενα ερωτήματα δίνεται ότι , με .
ii) α) Αφού αποδείξετε ότι η αντιστρέφεται, να βρείτε το πεδίο ορισμού της αντίστροφης συνάρτησης.
β) Να βρείτε τις ασύμπτωτες της .
iii) Έστω μία αρχική της και μια οποιαδήποτε πραγματική της ρίζα, τέτοια ώστε . Να αποδείξετε ότι:
iv) Να αποδείξετε ότι για κάθε ισχύει:
Θα δείξω ότι για
είναι
Δηλαδή
Θεωρούμε την
Είναι και
Αλλά οπότε
Επειδή η είναι γνησίως αύξουσα και η είναι.
Αρα για έχουμε
και τελειώσαμε.
Re: Άσκηση για υποψηφίους!
διαιρουμε με και παίρνουμε
ή οπόhttps://mathematica.gr/forum/memberlist.phpτε άρα ή
Tότε
Δίνεται οτι η περνά από το αρα ή ή
Ακόμη πρεπει ή ή οπου αντικαθιστώντας στην πρηγούμενη έχουμε
τελος είναι oπότε , kαι
τοτε ευκολα η εχει ΜΙΝ στο το άρα και aντιστρέψιμη
αρα
η εχει κατακόρυφη ασύμπτωτο στο και και
με DLH ψαχνουμε τοΕύκολα λοιπόν και splaystyle{τοτε
EKANA MIA ΔΙΟΡΘΩΣΗ
με προλαβε ο Σταύρος στο τελευταίο
ή οπόhttps://mathematica.gr/forum/memberlist.phpτε άρα ή
Tότε
Δίνεται οτι η περνά από το αρα ή ή
Ακόμη πρεπει ή ή οπου αντικαθιστώντας στην πρηγούμενη έχουμε
τελος είναι oπότε , kαι
τοτε ευκολα η εχει ΜΙΝ στο το άρα και aντιστρέψιμη
αρα
η εχει κατακόρυφη ασύμπτωτο στο και και
με DLH ψαχνουμε τοΕύκολα λοιπόν και splaystyle{τοτε
EKANA MIA ΔΙΟΡΘΩΣΗ
με προλαβε ο Σταύρος στο τελευταίο
τελευταία επεξεργασία από R BORIS σε Δευ Απρ 05, 2021 2:15 pm, έχει επεξεργασθεί 4 φορές συνολικά.
Re: Άσκηση για υποψηφίους!
Για το τελευταίο
το είναι μάλλον παραπλανητικό
Θα δείξουμε ότι
από ΘΜΤ.ΟΛ αρκει να υπάρχει τετοιο ώστε ας υποθέσουμε
ότι δεν ισχυει τότε θα πρεπε οποτε ΑΤΟΠΟ
ΜΠΡΑΒΟ ΣΤΟΝ ΟΡΕΣΤΗ ΓΙΑ ΤΗΝ ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ ΤΟΥ
το είναι μάλλον παραπλανητικό
Θα δείξουμε ότι
από ΘΜΤ.ΟΛ αρκει να υπάρχει τετοιο ώστε ας υποθέσουμε
ότι δεν ισχυει τότε θα πρεπε οποτε ΑΤΟΠΟ
ΜΠΡΑΒΟ ΣΤΟΝ ΟΡΕΣΤΗ ΓΙΑ ΤΗΝ ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ ΤΟΥ
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 5 επισκέπτες