Μέγιστο συνάρτησης

Δυσκολότερα θέματα τα οποία όμως άπτονται της σχολικής ύλης και χρησιμοποιούν αποκλειστικά θεωρήματα που βρίσκονται μέσα σε αυτή. Σε διαφορετική περίπτωση η σύνταξη του μηνύματος θα πρέπει να γίνει στο υποφόρουμ "Ο ΦΑΚΕΛΟΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΥ"

Συντονιστής: Μπάμπης Στεργίου

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 12687
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Μέγιστο συνάρτησης

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Παρ Μαρ 05, 2021 8:00 pm

Βρείτε την μέγιστη τιμή της συνάρτησης : f(x)=\dfrac{(x+2)^x}{x^{2x-3}}



Λέξεις Κλειδιά:
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 13493
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Μέγιστο συνάρτησης

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Παρ Μαρ 05, 2021 8:36 pm

KARKAR έγραψε:
Παρ Μαρ 05, 2021 8:00 pm
Βρείτε την μέγιστη τιμή της συνάρτησης : f(x)=\dfrac{(x+2)^x}{x^{2x-3}}
Πεδίο ορισμού x>0 (έχει και τους αρνητικούς ακεραίους αλλά τους αγνοώ. Αν θέλουμε να τους λάβουμε υπόψη δεν είναι δύσκολο γιατί εκεί η συνάρτηση παίρνει αρνητικές τιμές, οπότε δεν μας ενοχλούν).

Παίρνοντας λογάριθμο και παραγωγίζοντας είναι f'(x) = f(x) \left ( \ln(x+2)+\dfrac {x}{x+2}-2\ln (x)-\dfrac {2x-3}{x} \right )

H παράσταση μέσα στις παρενθέσεις μηδενίζεται για x=2. Δεδομένου ότι έχει παράγωγο \displaystyle{ -\dfrac {x^3+7x^2+20x+12}{ (x+2)^2x^2}<0} σημαίνει ότι είναι γνήσια φθίνουσα, άρα έχει μοναδική ρίζα και η f έχει μέγιστο εκεί. Η τιμή του μεγίστου είναι βέβαια 8, και λοιπά.


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΘΕΜΑΤΑ ΜΕ ΑΠΑΙΤΗΣΕΙΣ Γ'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες