Με ή χωρίς de l' Hospital

#1

Ας δούμε και το άλλο άκρο του θέματος: να δειχθεί ότι $\lim_{x\rightarrow 0^+}\left[\dfrac{x^{x+1}}{(x+1)^x}\right]'=1.$

#2

gbaloglou έγραψε: ↑
Παρ Μαρ 05, 2021 11:14 am
Ας δούμε και το άλλο άκρο του θέματος: να δειχθεί ότι $\lim_{x\rightarrow 0^+}\left[\dfrac{x^{x+1}}{(x+1)^x}\right]'=1.$

Από την παραπομπή έχουμε

$\displaystyle{\left[\dfrac{x^{x+1}}{(x+1)^x}\right]'= \dfrac{1}{\left (1+\dfrac {1}{x} \right )^x}\left[\ln\dfrac{1}{\left (1+\dfrac {1}{x}\right ) ^x}+\dfrac{2x+1}{x+1}\right]}$

οπότε αναγώμαστε στο όριο στο

του $\displaystyle{ \left (1+\dfrac {1}{x} \right )^x}}$ . Ο λογάριθμός του είναι

$\displaystyle{ x \ln \left (1+\dfrac {1}{x} \right )= \dfrac {\ln (x+1)-\ln x}{\dfrac {1}{x}}}$ που ως περίπτωση $\dfrac {\infty}{\infty}$ στον DLH ανάγεται στο όριο

$\displaystyle{ \dfrac {\dfrac {1}{x+1} -\dfrac {1}{ x}}{-\dfrac {1}{x^2}}= \dfrac {x}{x+1} \to 0}$ .

Άρα $\displaystyle{ \left (1+\dfrac {1}{x} \right )^x} \to e^0=1}$ από όπου το αρχικό όριο ικανοποιεί

$\displaystyle{ \dfrac{1}{\left (1+\dfrac {1}{x} \right )^x}\left[\ln\dfrac{1}{\left (1+\dfrac {1}{x}\right ) ^x}+\dfrac{2x+1}{x+1}\right]}\to \dfrac{1}{1}\left[\ln\dfrac{1}{1}+\dfrac{1}{1}\right]}=1}$

Με ή χωρίς de l' Hospital

Με ή χωρίς de l' Hospital

Re: Με ή χωρίς de l' Hospital

Μέλη σε σύνδεση