Όριο παραγώγου

Δυσκολότερα θέματα τα οποία όμως άπτονται της σχολικής ύλης και χρησιμοποιούν αποκλειστικά θεωρήματα που βρίσκονται μέσα σε αυτή. Σε διαφορετική περίπτωση η σύνταξη του μηνύματος θα πρέπει να γίνει στο υποφόρουμ "Ο ΦΑΚΕΛΟΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΥ"

Συντονιστής: Μπάμπης Στεργίου

Άβαταρ μέλους
gbaloglou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2942
Εγγραφή: Παρ Φεβ 27, 2009 10:24 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονικη
Επικοινωνία:

Όριο παραγώγου

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από gbaloglou » Πέμ Μαρ 04, 2021 7:55 pm

Με αφορμή αυτό προτείνω: να δειχθεί ότι \lim_{x\rightarrow +\infty}\left[\dfrac{x^{x+1}}{(x+1)^x}\right]'=\dfrac{1}{e}.


Γιώργος Μπαλόγλου -- κρυσταλλογράφω άρα υπάρχω

Ὁρᾷς, τὸ κάλλος ὅσσον ἐστὶ τῆς λίθου, ἐν ταῖς ἀτάκτοις τῶν φλεβῶν εὐταξίαις. -- Παλατινή Ανθολογία 9.695 -- Ιδού του πετραδιού η άμετρη ομορφιά, μεσ' των φλεβών τις άναρχες πειθαρχίες.

Λέξεις Κλειδιά:
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 13328
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Όριο παραγώγου

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Πέμ Μαρ 04, 2021 8:41 pm

gbaloglou έγραψε:
Πέμ Μαρ 04, 2021 7:55 pm
Με αφορμή αυτό προτείνω: να δειχθεί ότι \lim_{x\rightarrow +\infty}\left[\dfrac{x^{x+1}}{(x+1)^x}\right]'=\dfrac{1}{e}.
To πρώτο βήμα (η παραγώγιση) όπως στην παραπομπή και μετά:

\displaystyle{\left[\dfrac{x^{x+1}}{(x+1)^x}\right]'=\dfrac{x^{x+1}}{(x+1)^x}\cdot \left[\ln\dfrac{x}{x+1}+\dfrac{2x+1}{x(x+1)}\right]=   \dfrac{x}{\left (1+\dfrac {1}{x} \right )^x}\left[\ln\dfrac{1}{1+\dfrac {1}{x}}+\dfrac{2x+1}{x(x+1)}\right]=}

\displaystyle{  \dfrac{1}{\left (1+\dfrac {1}{x} \right )^x}\left[x\ln \dfrac{1}{1+\dfrac {1}{x}}+\dfrac{x(2x+1)}{x(x+1)}\right]= \dfrac{1}{\left (1+\dfrac {1}{x} \right )^x}\left[\ln\dfrac{1}{\left (1+\dfrac {1}{x}\right ) ^x}+\dfrac{2x+1}{x+1}\right]}

το οποίο τείνει στο

\displaystyle{ \dfrac {1}{e} \left ( \ln \dfrac {1}{e} +2 \right ) =  \dfrac {1}{e} \left (-1+2 \right ) =  \dfrac {1}{e} }


Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 12539
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Re: Όριο παραγώγου

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Παρ Μαρ 05, 2021 11:39 am

ταχύτατη  σύγκλιση.png
ταχύτατη σύγκλιση.png (11.83 KiB) Προβλήθηκε 377 φορές
Η μαύρη γραμμή είναι μια ευθεία με κλίση \lambda=\dfrac{1}{e} . Η κόκκινη είναι η C_{f} .

Παρατηρήστε πόσο εντυπωσιακά γρήγορα οι δύο γραμμές γίνονται σχεδόν "παράλληλες" :!:


Άβαταρ μέλους
gbaloglou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2942
Εγγραφή: Παρ Φεβ 27, 2009 10:24 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονικη
Επικοινωνία:

Re: Όριο παραγώγου

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από gbaloglou » Παρ Μαρ 05, 2021 4:25 pm

Όλα δείχνουν ότι η y=\dfrac{2x+1}{2e} είναι πλάγια ασύμπτωτος της y=\dfrac{x^{x+1}}{(x+1)^x}!


Γιώργος Μπαλόγλου -- κρυσταλλογράφω άρα υπάρχω

Ὁρᾷς, τὸ κάλλος ὅσσον ἐστὶ τῆς λίθου, ἐν ταῖς ἀτάκτοις τῶν φλεβῶν εὐταξίαις. -- Παλατινή Ανθολογία 9.695 -- Ιδού του πετραδιού η άμετρη ομορφιά, μεσ' των φλεβών τις άναρχες πειθαρχίες.
Άβαταρ μέλους
gbaloglou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2942
Εγγραφή: Παρ Φεβ 27, 2009 10:24 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονικη
Επικοινωνία:

Re: Όριο παραγώγου

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από gbaloglou » Κυρ Μαρ 07, 2021 10:58 am

gbaloglou έγραψε:
Παρ Μαρ 05, 2021 4:25 pm
Όλα δείχνουν ότι η y=\dfrac{2x+1}{2e} είναι πλάγια ασύμπτωτος της y=\dfrac{x^{x+1}}{(x+1)^x}!
ΝΑΙ, είναι -- η συζήτηση μεταφέρεται εδώ!


Γιώργος Μπαλόγλου -- κρυσταλλογράφω άρα υπάρχω

Ὁρᾷς, τὸ κάλλος ὅσσον ἐστὶ τῆς λίθου, ἐν ταῖς ἀτάκτοις τῶν φλεβῶν εὐταξίαις. -- Παλατινή Ανθολογία 9.695 -- Ιδού του πετραδιού η άμετρη ομορφιά, μεσ' των φλεβών τις άναρχες πειθαρχίες.
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΘΕΜΑΤΑ ΜΕ ΑΠΑΙΤΗΣΕΙΣ Γ'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης