Αντίστροφη

Δυσκολότερα θέματα τα οποία όμως άπτονται της σχολικής ύλης και χρησιμοποιούν αποκλειστικά θεωρήματα που βρίσκονται μέσα σε αυτή. Σε διαφορετική περίπτωση η σύνταξη του μηνύματος θα πρέπει να γίνει στο υποφόρουμ "Ο ΦΑΚΕΛΟΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΥ"

Συντονιστής: Μπάμπης Στεργίου

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 12647
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Αντίστροφη

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Πέμ Δεκ 24, 2020 2:40 pm

Βρείτε την αντίστροφη συνάρτηση της : f(x)=x+\sqrt{x}



Λέξεις Κλειδιά:
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 13366
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Αντίστροφη

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Πέμ Δεκ 24, 2020 3:58 pm

KARKAR έγραψε:
Πέμ Δεκ 24, 2020 2:40 pm
Βρείτε την αντίστροφη συνάρτηση της : f(x)=x+\sqrt{x}
Εδώ x\ge 0. Για την αντίστροφη λύνουμε την y+\sqrt y =x. Ως δευτεροβάθμια ως προς \sqrt y δίνει  \sqrt y = \dfrac {-1\pm \sqrt {1+4x}}{2} (κρατάμε το +) οπότε

y =( \sqrt {y}) ^2=  \dfrac {1-2 \sqrt {1+4x} + 1+4x}{4}= \dfrac{1}{2}(1+2x- \sqrt {1+4x})


ILIOPOULOS PANAGIOTIS
Δημοσιεύσεις: 31
Εγγραφή: Πέμ Αύγ 27, 2020 9:00 pm

Re: Αντίστροφη

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ILIOPOULOS PANAGIOTIS » Πέμ Δεκ 24, 2020 4:13 pm

Έχουμε ότι f'(x)=1+\frac{1}{2\sqrt{x}}> 0 για κάθε x\epsilon (0,+\infty ) και, επειδή η συνάρτηση είναι συνεχής στο [0,+\infty ), προκύπτει ότι η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα στο πεδίο ορισμού της.

f(A)=[f(0), \lim_{x\rightarrow +\infty }f(x))=[0,+\infty )\Rightarrow D_{f^{-1}}=[0,+\infty ).

y=x+\sqrt{x}\Leftrightarrow (\sqrt{x})^2+\frac{1}{2}*2\sqrt{x}+\frac{1}{4}=y+\frac{1}{4}\Leftrightarrow (\sqrt{x}+\frac{1}{2})^2=y+\frac{1}{4}\Leftrightarrow \sqrt{x}+\frac{1}{2}=\sqrt{y+\frac{1}{4}}\Leftrightarrow \sqrt{x}=\sqrt{y+\frac{1}{4}}-\frac{1}{2}\Leftrightarrow x=y+\frac{1}{2}-\sqrt{y+\frac{1}{4}}.

Άρα, η αντίστροφη της f είναι η συνάρτηση f^{-1}:[0,+\infty )\rightarrow \mathbb{R} με τύπο f^{-1}(x)=x+\frac{1}{2}-\sqrt{x+\frac{1}{4}}.


Παναγιώτης Ηλιόπουλος
Λευτέρης Παπανικολάου
Δημοσιεύσεις: 27
Εγγραφή: Κυρ Νοέμ 02, 2014 11:25 pm
Τοποθεσία: Πάτρα

Re: Αντίστροφη

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Λευτέρης Παπανικολάου » Σάβ Δεκ 26, 2020 1:22 pm

ILIOPOULOS PANAGIOTIS έγραψε:
Πέμ Δεκ 24, 2020 4:13 pm
Έχουμε ότι f'(x)=1+\frac{1}{2\sqrt{x}}> 0 για κάθε x\epsilon (0,+\infty ) και, επειδή η συνάρτηση είναι συνεχής στο [0,+\infty ), προκύπτει ότι η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα στο πεδίο ορισμού της.

f(A)=[f(0), \lim_{x\rightarrow +\infty }f(x))=[0,+\infty )\Rightarrow D_{f^{-1}}=[0,+\infty ).

y=x+\sqrt{x}\Leftrightarrow (\sqrt{x})^2+\frac{1}{2}*2\sqrt{x}+\frac{1}{4}=y+\frac{1}{4}\Leftrightarrow (\sqrt{x}+\frac{1}{2})^2=y+\frac{1}{4}\Leftrightarrow \sqrt{x}+\frac{1}{2}=\sqrt{y+\frac{1}{4}}\Leftrightarrow \sqrt{x}=\sqrt{y+\frac{1}{4}}-\frac{1}{2}\Leftrightarrow x=y+\frac{1}{2}-\sqrt{y+\frac{1}{4}}.

Άρα, η αντίστροφη της f είναι η συνάρτηση f^{-1}:[0,+\infty )\rightarrow \mathbb{R} με τύπο f^{-1}(x)=x+\frac{1}{2}-\sqrt{x+\frac{1}{4}}.
Απλά να αναφέρω, σε περίπτωση που το θέμα το παρακολουθούν ''ανήσυχοι'' μαθητές, ότι η μοναδικότητα της λύσης της παραπάνω εξίσωσης όταν το y είναι μη αρνητικό και η μη ύπαρξη λύσης όταν το y είναι αρνητικό μας εξασφαλίζουν το αποτέλεσμα. Με άλλα λόγια, δεν χρειάζεται (όχι ότι είναι λάθος βέβαια) να χρησιμοποιήσουμε εργαλεία της ανάλυσης για να βρούμε το πεδίο ορισμού της αντίστροφης. Αυτό προκύπτει από την επίλυση και μόνο της εξίσωσης. Χρόνια πολλά και καλά!


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 13366
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Αντίστροφη

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Σάβ Δεκ 26, 2020 1:47 pm

left έγραψε:
Σάβ Δεκ 26, 2020 1:22 pm

Απλά να αναφέρω, σε περίπτωση που το θέμα το παρακολουθούν ''ανήσυχοι'' μαθητές, ότι η μοναδικότητα της λύσης της παραπάνω εξίσωσης όταν το y είναι μη αρνητικό και η μη ύπαρξη λύσης όταν το y είναι αρνητικό μας εξασφαλίζουν το αποτέλεσμα. Με άλλα λόγια, δεν χρειάζεται (όχι ότι είναι λάθος βέβαια) να χρησιμοποιήσουμε εργαλεία της ανάλυσης για να βρούμε το πεδίο ορισμού της αντίστροφης. Αυτό προκύπτει από την επίλυση και μόνο της εξίσωσης. Χρόνια πολλά και καλά!
Σωστά.

Ο λόγος που δεν έγραψα ότι είναι αντιστρέψιμη η συνάρτηση είναι γιατί το θεώρησα προφανές (χωρίς παραγώγους) και μετά ... το ξέχασα.Συγκεκριμένα, είναι προφανές ότι είναι γνήσια αύξουσα ως άθροισμα από δύο γνήσια αύξουσες. Επίσης το ότι το σύνολο τιμών είναι το [0,+ \infty) είναι εξ ίσου προφανές αφού x+\sqrt x \ge x, και λοιπά.

Ευχαριστώ για τις επισημάνσεις.


Λευτέρης Παπανικολάου
Δημοσιεύσεις: 27
Εγγραφή: Κυρ Νοέμ 02, 2014 11:25 pm
Τοποθεσία: Πάτρα

Re: Αντίστροφη

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Λευτέρης Παπανικολάου » Σάβ Δεκ 26, 2020 1:54 pm

Mihalis_Lambrou έγραψε:
Σάβ Δεκ 26, 2020 1:47 pm
left έγραψε:
Σάβ Δεκ 26, 2020 1:22 pm

Απλά να αναφέρω, σε περίπτωση που το θέμα το παρακολουθούν ''ανήσυχοι'' μαθητές, ότι η μοναδικότητα της λύσης της παραπάνω εξίσωσης όταν το y είναι μη αρνητικό και η μη ύπαρξη λύσης όταν το y είναι αρνητικό μας εξασφαλίζουν το αποτέλεσμα. Με άλλα λόγια, δεν χρειάζεται (όχι ότι είναι λάθος βέβαια) να χρησιμοποιήσουμε εργαλεία της ανάλυσης για να βρούμε το πεδίο ορισμού της αντίστροφης. Αυτό προκύπτει από την επίλυση και μόνο της εξίσωσης. Χρόνια πολλά και καλά!
Σωστά.

Ο λόγος που δεν έγραψα ότι είναι αντιστρέψιμη η συνάρτηση είναι γιατί το θεώρησα προφανές (χωρίς παραγώγους) και μετά ... το ξέχασα.Συγκεκριμένα, είναι προφανές ότι είναι γνήσια αύξουσα ως άθροισμα από δύο γνήσια αύξουσες. Επίσης το ότι το σύνολο τιμών είναι το [0,+ \infty) είναι εξ ίσου προφανές αφού x+\sqrt x \ge x, και λοιπά.

Ευχαριστώ για τις επισημάνσεις.
Nα είστε καλά κύριε Λάμπρου! Καλή συνέχεια...


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΘΕΜΑΤΑ ΜΕ ΑΠΑΙΤΗΣΕΙΣ Γ'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης