Αντίστροφη

KARKAR · #1

Βρείτε την αντίστροφη συνάρτηση της : $f(x)=x+\sqrt{x}$

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Πέμ Δεκ 24, 2020 2:40 pm
Βρείτε την αντίστροφη συνάρτηση της : $f(x)=x+\sqrt{x}$

Εδώ $x\ge 0$ . Για την αντίστροφη λύνουμε την $y+\sqrt y =x$ . Ως δευτεροβάθμια ως προς $\sqrt y$ δίνει $\sqrt y = \dfrac {-1\pm \sqrt {1+4x}}{2}$ (κρατάμε το

) οπότε

$y =( \sqrt {y}) ^2= \dfrac {1-2 \sqrt {1+4x} + 1+4x}{4}= \dfrac{1}{2}(1+2x- \sqrt {1+4x})$

ILIOPOULOS PANAGIOTIS · #3

Έχουμε ότι $f'(x)=1+\frac{1}{2\sqrt{x}}> 0$ για κάθε $x\epsilon (0,+\infty )$ και, επειδή η συνάρτηση είναι συνεχής στο $[0,+\infty )$ , προκύπτει ότι η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα στο πεδίο ορισμού της.

$f(A)=[f(0), \lim_{x\rightarrow +\infty }f(x))=[0,+\infty )\Rightarrow D_{f^{-1}}=[0,+\infty )$ .

$y=x+\sqrt{x}\Leftrightarrow (\sqrt{x})^2+\frac{1}{2}*2\sqrt{x}+\frac{1}{4}=y+\frac{1}{4}\Leftrightarrow (\sqrt{x}+\frac{1}{2})^2=y+\frac{1}{4}\Leftrightarrow \sqrt{x}+\frac{1}{2}=\sqrt{y+\frac{1}{4}}\Leftrightarrow \sqrt{x}=\sqrt{y+\frac{1}{4}}-\frac{1}{2}\Leftrightarrow x=y+\frac{1}{2}-\sqrt{y+\frac{1}{4}}.$

Άρα, η αντίστροφη της

είναι η συνάρτηση $f^{-1}:[0,+\infty )\rightarrow \mathbb{R}$ με τύπο $f^{-1}(x)=x+\frac{1}{2}-\sqrt{x+\frac{1}{4}}.$

Λευτέρης Παπανικολάου · #4

ILIOPOULOS PANAGIOTIS έγραψε: ↑
Πέμ Δεκ 24, 2020 4:13 pm
Έχουμε ότι $f'(x)=1+\frac{1}{2\sqrt{x}}> 0$ για κάθε $x\epsilon (0,+\infty )$ και, επειδή η συνάρτηση είναι συνεχής στο $[0,+\infty )$ , προκύπτει ότι η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα στο πεδίο ορισμού της.

$f(A)=[f(0), \lim_{x\rightarrow +\infty }f(x))=[0,+\infty )\Rightarrow D_{f^{-1}}=[0,+\infty )$ .

$y=x+\sqrt{x}\Leftrightarrow (\sqrt{x})^2+\frac{1}{2}*2\sqrt{x}+\frac{1}{4}=y+\frac{1}{4}\Leftrightarrow (\sqrt{x}+\frac{1}{2})^2=y+\frac{1}{4}\Leftrightarrow \sqrt{x}+\frac{1}{2}=\sqrt{y+\frac{1}{4}}\Leftrightarrow \sqrt{x}=\sqrt{y+\frac{1}{4}}-\frac{1}{2}\Leftrightarrow x=y+\frac{1}{2}-\sqrt{y+\frac{1}{4}}.$

Άρα, η αντίστροφη της είναι η συνάρτηση $f^{-1}:[0,+\infty )\rightarrow \mathbb{R}$ με τύπο $f^{-1}(x)=x+\frac{1}{2}-\sqrt{x+\frac{1}{4}}.$

Απλά να αναφέρω, σε περίπτωση που το θέμα το παρακολουθούν ''ανήσυχοι'' μαθητές, ότι η μοναδικότητα της λύσης της παραπάνω εξίσωσης όταν το y είναι μη αρνητικό και η μη ύπαρξη λύσης όταν το y είναι αρνητικό μας εξασφαλίζουν το αποτέλεσμα. Με άλλα λόγια, δεν χρειάζεται (όχι ότι είναι λάθος βέβαια) να χρησιμοποιήσουμε εργαλεία της ανάλυσης για να βρούμε το πεδίο ορισμού της αντίστροφης. Αυτό προκύπτει από την επίλυση και μόνο της εξίσωσης. Χρόνια πολλά και καλά!

#5

left έγραψε: ↑
Σάβ Δεκ 26, 2020 1:22 pm

Απλά να αναφέρω, σε περίπτωση που το θέμα το παρακολουθούν ''ανήσυχοι'' μαθητές, ότι η μοναδικότητα της λύσης της παραπάνω εξίσωσης όταν το y είναι μη αρνητικό και η μη ύπαρξη λύσης όταν το y είναι αρνητικό μας εξασφαλίζουν το αποτέλεσμα. Με άλλα λόγια, δεν χρειάζεται (όχι ότι είναι λάθος βέβαια) να χρησιμοποιήσουμε εργαλεία της ανάλυσης για να βρούμε το πεδίο ορισμού της αντίστροφης. Αυτό προκύπτει από την επίλυση και μόνο της εξίσωσης. Χρόνια πολλά και καλά!

Σωστά.

Ο λόγος που δεν έγραψα ότι είναι αντιστρέψιμη η συνάρτηση είναι γιατί το θεώρησα προφανές (χωρίς παραγώγους) και μετά ... το ξέχασα.Συγκεκριμένα, είναι προφανές ότι είναι γνήσια αύξουσα ως άθροισμα από δύο γνήσια αύξουσες. Επίσης το ότι το σύνολο τιμών είναι το $[0,+ \infty)$ είναι εξ ίσου προφανές αφού $x+\sqrt x \ge x$ , και λοιπά.

Ευχαριστώ για τις επισημάνσεις.

Λευτέρης Παπανικολάου · #6

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Σάβ Δεκ 26, 2020 1:47 pm

left έγραψε: ↑
Σάβ Δεκ 26, 2020 1:22 pm

Απλά να αναφέρω, σε περίπτωση που το θέμα το παρακολουθούν ''ανήσυχοι'' μαθητές, ότι η μοναδικότητα της λύσης της παραπάνω εξίσωσης όταν το y είναι μη αρνητικό και η μη ύπαρξη λύσης όταν το y είναι αρνητικό μας εξασφαλίζουν το αποτέλεσμα. Με άλλα λόγια, δεν χρειάζεται (όχι ότι είναι λάθος βέβαια) να χρησιμοποιήσουμε εργαλεία της ανάλυσης για να βρούμε το πεδίο ορισμού της αντίστροφης. Αυτό προκύπτει από την επίλυση και μόνο της εξίσωσης. Χρόνια πολλά και καλά!
Σωστά.

Ο λόγος που δεν έγραψα ότι είναι αντιστρέψιμη η συνάρτηση είναι γιατί το θεώρησα προφανές (χωρίς παραγώγους) και μετά ... το ξέχασα.Συγκεκριμένα, είναι προφανές ότι είναι γνήσια αύξουσα ως άθροισμα από δύο γνήσια αύξουσες. Επίσης το ότι το σύνολο τιμών είναι το $[0,+ \infty)$ είναι εξ ίσου προφανές αφού $x+\sqrt x \ge x$ , και λοιπά.

Ευχαριστώ για τις επισημάνσεις.

Nα είστε καλά κύριε Λάμπρου! Καλή συνέχεια...

Αντίστροφη

Αντίστροφη

Re: Αντίστροφη

Re: Αντίστροφη

Re: Αντίστροφη

Re: Αντίστροφη

Re: Αντίστροφη

Μέλη σε σύνδεση