λ-εξάρτηση

Δυσκολότερα θέματα τα οποία όμως άπτονται της σχολικής ύλης και χρησιμοποιούν αποκλειστικά θεωρήματα που βρίσκονται μέσα σε αυτή. Σε διαφορετική περίπτωση η σύνταξη του μηνύματος θα πρέπει να γίνει στο υποφόρουμ "Ο ΦΑΚΕΛΟΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΥ"

Συντονιστής: Μπάμπης Στεργίου

Άβαταρ μέλους
M.S.Vovos
Δημοσιεύσεις: 909
Εγγραφή: Παρ Φεβ 27, 2015 5:45 pm

λ-εξάρτηση

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από M.S.Vovos » Δευ Νοέμ 30, 2020 3:36 pm

Έστω \lambda \in \mathbb{R} και η εξίσωση \displaystyle{x^{3}+x=\lambda }.

(α) Να αποδείξετε ότι η παραπάνω εξίσωση έχει ακριβώς μία πραγματική ρίζα.

(β) Συμβολίζουμε με x\left ( \lambda  \right ) την ρίζα του ερωτήματος (α). Να υπολογίσετε, εφόσον υπάρχουν, τα παρακάτω όρια:
  • \displaystyle{\lim_{\lambda \rightarrow +\infty }x\left ( \lambda  \right )}
  • \displaystyle{\lim_{\lambda \rightarrow +\infty }\frac{x\left ( \lambda  \right )}{\lambda }}
Φιλικά,
Μάριος


Είναι αυταπάτη ότι η νεότητα είναι ευτυχισμένη, μια αυταπάτη αυτών που την έχουν χάσει. W. Somerset Maugham

Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
R BORIS
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2278
Εγγραφή: Σάβ Ιαν 03, 2009 8:08 am
Επικοινωνία:

Re: λ-εξάρτηση

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από R BORIS » Δευ Νοέμ 30, 2020 5:38 pm

η \displaystyle{f(x)=x^3+x-l} είναι γνησιως αύξουσα \displaystyle{f(0)=-l, f(l)=l^3} Αρα \displaystyle{f(0)f(l)=-l^4\le 0}
Αν \displaystyle{l\ne 0} από το ΘΒ η \displaystyle{f} έχει μια ρίζα
Αν \displaystyle{l=0 , f(0)=0}

Εστω \displaystyle{x(l)\le 1} τοτε \displaystyle{x^3(l)<1} οποτε \displaystyle{x^3(l)+x(l)<2} και δεν δυνατόν \displaystyle{l\to +\infty } διοτι \displaystyle{ l<2} συνεπως \displaystyle{x(l)>1 } ή \displaystyle{2x^3(l)>x^3(l)+x(l)=l} δηλαδή \displaystyle{x(l)>\sqrt[3]{l/2}\rightarrow +\infty}

\displaystyle{0<x(l)/l=1/1+x^2(l)\to 0}


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΘΕΜΑΤΑ ΜΕ ΑΠΑΙΤΗΣΕΙΣ Γ'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες