Ώρα εφαπτομένης 67

Δυσκολότερα θέματα τα οποία όμως άπτονται της σχολικής ύλης και χρησιμοποιούν αποκλειστικά θεωρήματα που βρίσκονται μέσα σε αυτή. Σε διαφορετική περίπτωση η σύνταξη του μηνύματος θα πρέπει να γίνει στο υποφόρουμ "Ο ΦΑΚΕΛΟΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΥ"

Συντονιστής: Μπάμπης Στεργίου

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 12683
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Ώρα εφαπτομένης 67

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Σάβ Νοέμ 28, 2020 12:36 pm

Ώρα  εφαπτομένης  67.png
Ώρα εφαπτομένης 67.png (72.41 KiB) Προβλήθηκε 588 φορές
Σημείο S του πρώτου τεταρτημορίου , κινείται πάνω στην γραφική παράσταση της συνάρτησης :

f(x)=\dfrac{x^2}{2} . Η εφαπτομένη της καμπύλης στο S , σχηματίζει με την OS , ( οξεία ) γωνία \theta .

Υπολογίστε την μέγιστη τιμή της \tan\theta .



Λέξεις Κλειδιά:
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 13465
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Ώρα εφαπτομένης 67

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Σάβ Νοέμ 28, 2020 5:21 pm

KARKAR έγραψε:
Σάβ Νοέμ 28, 2020 12:36 pm
Ώρα εφαπτομένης 67.pngΣημείο S του πρώτου τεταρτημορίου , κινείται πάνω στην γραφική παράσταση της συνάρτησης :

f(x)=\dfrac{x^2}{2} . Η εφαπτομένη της καμπύλης στο S , σχηματίζει με την OS , ( οξεία ) γωνία \theta .

Υπολογίστε την μέγιστη τιμή της \tan\theta .
Aν το S είναι το S(2t,2t^2), τότε η μέν κλίση της OS είναι \frac{2t^2}{2t}= t και της εφαπτομένης μέσω της f'(x)=x η κλίση είναι 2t.

Άρα \tan \theta = \dfrac {2t-t}{1+2t\cdot t} = \dfrac {t}{1+2t^2} . To μέγιστο αυτού άμεσο. Π.χ. με παραγώγιση έχουμε να λύσουμε την (1+2t^2)-t(4t)=0, που είναι απλό θέμα ρουτίνας. Και λοιπά.


Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 12683
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Re: Ώρα εφαπτομένης 67

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Σάβ Νοέμ 28, 2020 6:28 pm

Σπεύδω να "κάψω" το θέμα , καθώς είχα κάνει γενικότερη διαπίστωση , εδώ .

Μιχάλη , με κάθε εκτίμηση θα μου επιτρέψεις να το ξαναπώ : Όταν μια άσκηση ζητά αποτέλεσμα ,

γράψε τουλάχιστον το αποτέλεσμα . Πίστεψέ με , αυτό το "και λοιπά " είναι ενοχλητικό ...


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 13465
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Ώρα εφαπτομένης 67

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Σάβ Νοέμ 28, 2020 8:45 pm

KARKAR έγραψε:
Σάβ Νοέμ 28, 2020 6:28 pm
Μιχάλη , με κάθε εκτίμηση θα μου επιτρέψεις να το ξαναπώ : Όταν μια άσκηση ζητά αποτέλεσμα ,

γράψε τουλάχιστον το αποτέλεσμα . Πίστεψέ με , αυτό το "και λοιπά " είναι ενοχλητικό ...
Θανάση, θα διαφωνήσω σε αυτό το σημείο και το έχω ξαναπεί.

Το δικό μου ύφος διδασκαλίας είναι προφανώς διαφορετικό από το δικό σου (σεβαστό μεν, αλλά όχι καθοριστικός οδηγός).

Στο δικό μου ύφος τα μηνύματα είναι δύο:

α) Στη καταγραφή μιας λύσης συχνά χρειάζεται χαρτί και μολύβι από τον αναγνώστη, αρκεί να μην αποκρύπτονται τα ουσιαστικά μέρη της λύσης.

β) Στα Μαθηματικά έχει ιδιαίτερο βάρος να ξεχωρίζουμε το σημαντικό από το ασήμαντο. Στην συγκεκριμένη άσκηση έφερα την εξίσωση στην μορφή

 (1+2t^2)-t(4t)=0. H επίλυσή της, μέσω του 1=2t^2, είναι απόλυτα τετριμμένη, και δεν νομίζω ότι έχει κανείς ανάγκη να δει ότι οι ρίζες της είναι t=\pm \sqrt 2 /2. Ξέρει να το κάνει και δεν έχει ενδιαφέρον αυτό το βήμα. Η ουσία της άσκησης είναι να βρεις την \tan \theta μέσω κάποιου συλλογισμού (όπως έκανα) και όχι να ξαναδεί τα χιλιοειπωμένα στο τελευταίο βήμα, που παρέλειψα.

Κοντολογίς, επειδή επισημαίνεις το αντίθετο (στο σημείο που αναφέρεις "Πίστεψέ με , αυτό το "και λοιπά " είναι ενοχλητικό" ) η δική μου διάθεση να μην γράψω το τελευταίο βήμα ήταν ακριβώς η αντίθετη. Συγκεκριμένα, να τιμήσω την άσκηση κρατώντας το αξιόλογο τμήμα της. Το δάσος και όχι το δένδρο, την ουσία και όχι τα "παράσιτα". Για εμένα το ενοχλητικό θα ήταν να γράψω τα περιττά.

Ας κλείσω με ένα παράδειγμα: Αν σε μία άσκηση έφτανα στο σημείο η απάντηση να είναι, λέω τώρα, x=17 \times 32, κανείς δεν θα είχε πρόβλημα να έγραφα x=17\times 32= 544 αντί να έκανα τις πράξεις ως εξής

\displaystyle{ \begin{matrix} 
 &  &  & 1 &7 \\  
 &X  &  & 3 &2 \\  
 & - &-  & - & -\\  
 &  &  & 3 &4 \\  
 &  & 5 &1  & \\  
 & - &-  &-  &- \\  
 &  &5  &4  &4 \\  
 &  &  &  &  
\end{matrix}}

Γιατί άραγε προτιμάμε το πρώτο από το δεύτερο; Γιατί απλούστατα είναι θέμα ρουτίνας, άκρως περιττό και ανιαρό. Ολοι, μα όλοι θα ήσαν ικανοποιημένοι αν το άφηνα όπως είναι ή, έστω, αν έγραφα σκέτο x=17\times 32= 544 , χωρίς να τους γεμίσω το χαρτί με τον πλήρη πολλαπλασιασμό.

Ε, το λοιπόν, αυτό ακριβώς έκανα με την μη πλήρη λύση που έδωσα. Και θα συνεχίσω στο ίδιο ύφος γιατί μαζί με την λύση που γράφω, κάνω και διδασκαλία, το αποκύημα 42 χρόνων εμπειρίας με την κιμωλία στον πίνακα. Το οφείλω στους μαθητές μας που μας διαβάζουν.

Ο καθένας ακολουθεί τον δικό του δρόμο, με τον βέλτιστο τρόπο που κρίνει. Σεβαστός ο κάθε τρόπος.


Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 12683
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Re: Ώρα εφαπτομένης 67

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Σάβ Νοέμ 28, 2020 9:24 pm

Mihalis_Lambrou έγραψε:
Σάβ Νοέμ 28, 2020 8:45 pm
KARKAR έγραψε:
Σάβ Νοέμ 28, 2020 6:28 pm
Μιχάλη , με κάθε εκτίμηση θα μου επιτρέψεις να το ξαναπώ : Όταν μια άσκηση ζητά αποτέλεσμα ,

γράψε τουλάχιστον το αποτέλεσμα . Πίστεψέ με , αυτό το "και λοιπά " είναι ενοχλητικό ...
Ας κλείσω με ένα παράδειγμα: Αν σε μία άσκηση έφτανα στο σημείο η απάντηση να είναι, λέω τώρα, x=17 \times 32,

κανείς δεν θα είχε πρόβλημα να έγραφα x=17\times 32= 544
Μιχάλη , το ενοχλητικό δεν είναι το x=17\times 32= 544 , δηλαδή η περληπτικότητα της λύσης .

Αλλά το : \displaystyle{x=17\times 32=... } και λοιπά , δηλαδή η μη αναγραφή του αποτελέσματος ...


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 13465
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Ώρα εφαπτομένης 67

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Σάβ Νοέμ 28, 2020 11:17 pm

KARKAR έγραψε:
Σάβ Νοέμ 28, 2020 9:24 pm
Μιχάλη , το ενοχλητικό δεν είναι το x=17\times 32= 544 , δηλαδή η περληπτικότητα της λύσης .

Αλλά το : \displaystyle{x=17\times 32=... } και λοιπά , δηλαδή η μη αναγραφή του αποτελέσματος ...
Θανάση, το εξήγησα. Κάνω άλλη μία προσπάθεια.

Το ενοχλητικό είναι να εξηγείς, σε μία λύση, μέχρι ρανίδος τα ευκόλως εννούμενα και άρα παραλειπόμενα. Είναι σημαντικότερο να μένουμε στο ουσιαστικό μέρος μιας άσκησης παρά να την φορτώνουμε με τα επουσιώδη και ασήμαντα. Είναι θέμα ύφους. Για μένα η πεμπτουσία της διδασκαλίας (πάντα με γνώμονα τον μαθητή) είναι να αναδεικνύεις το νευραλγικό κομμάτι ενός θέματος και όχι ο σχολαστικισμός, τον οποίο θεωρώ εχθρό της γνώσης.

Με όλο τον σεβασμό, επέτρεψέ μου να έχω τις δικές μου νόρμες για το τι κρίνω ως αποτελεσματική μεθοδολογία στην μετάδοση γνώσης.


Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 12683
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Re: Ώρα εφαπτομένης 67

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Κυρ Νοέμ 29, 2020 8:34 am

Μιχάλη έχω την αίσθηση ότι δεν εξηγήσει επαρκώς αυτό στο οποίο επιμένω . Ας δώσω λοιπόν κι εγώ ένα παράδειγμα :

"Να βρεθεί ο θετικός αριθμός στον οποίο προσθέτοντας 1 , προκύπτει το τετράγωνό του .

Απάντηση 1

Έστω x ο ζητούμενος αριθμός . Τότε : x^2=x+1\Leftrightarrow x^2-x-1=0 .

Η διακρίνουσα της δευτεροβάθμιας αυτής εξίσωσης είναι : \Delta=5

συνεπώς : x=\dfrac{1+\sqrt{5}}{2} , δεκτή , ή : x=\dfrac{1-\sqrt{5}}{2} , απορρίπτεται ( αρνητική )

Απάντηση 2

Μια λύση είναι η x=\phi και η δεύτερη (λόγω Vieta ) η : x=-\dfrac{1}{\phi} η οποία απορρίπτεται .

Απάντηση 3

\phi

Απάντηση 4

Η εξίσωση είναι δευτεροβάθμια , έχει διακρίνουσα \Delta=5 και λοιπά .

Θεωρώ ότι η τέταρτη απάντηση δεν αρέσει .....


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 13465
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Ώρα εφαπτομένης 67

#8

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Κυρ Νοέμ 29, 2020 9:37 am

KARKAR έγραψε:
Κυρ Νοέμ 29, 2020 8:34 am
Απάντηση 4

Η εξίσωση είναι δευτεροβάθμια , έχει διακρίνουσα \Delta=5 και λοιπά .

Θεωρώ ότι η τέταρτη απάντηση δεν αρέσει .....
Άστοχο το παράδειγμα γιατί εδώ το κεντρικό σημείο της άσκησης δεν είναι η επίλυση της δευτεροβάθμιας, θέμα τετριμμένο, αλλά
η απάντηση (*). Στο θέμα που συζητάμε, το κεντρικό σημείο είναι πώς θα καταλήξουμε στην παράσταση για το \tan \theta, που έχει την πλοκή του. Από εκείνο το σημείο και πέρα, για την τάξη που απευθύνεται, τα υπόλοιπα δεν έχουν αληθινή ουσία, ως κοινοτυπίες.


(*) στην πραγματικότητα δεν θα είχα πρόβλημα να αφήσω την άσκηση με την δευτεροβάθμια σε εκείνο το σημείο: Ας επαναλάβω, τα Μαθηματικά θέλουν χαρτί και μολύβι. Δεν υπάρχει λόγος να γράφουμε σχολαστικά και την τελευταία γραμμίτσα στον πίνακα. Αυτό είναι ΑΝΤΙΠΑΡΑΓΩΓΙΚΟ. Κάνουμε περισσότερο κακό παρά καλό, ιδίως στους καλούς μαθητές (που το παίρνω ως δεδομένο ότι αυτοί που παρακολουθούν το φόρουμ έχουν αυξημένα ενδιαφέροντα) στους οποίους τέτοια διδασκαλία τους δυσανασχετεί και τους κάνει το μάθημα ανιαρό. Η ουσία μετράει. Σε αυτή την φιλοσοφία περιστρέφεται η διδασκαλία μου.

Με λίγα λόγια, η παραπάνω απάντηση στην δευτεροβάθμια μπορεί να μην σου αρέσει (δεκτό), εμένα πάντως μου αρέσει πάρα πολύ: De gustibus et coloribus non est disputandum.


Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 12683
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Re: Ώρα εφαπτομένης 67

#9

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Κυρ Νοέμ 29, 2020 10:01 am

Μιχάλη , συμφωνώ σε όλα όσα γράφεις , εκτός από ένα σημείο : Όταν η εκφώνηση ζητά αποτέλεσμα ,

όσο περιληπτικά και να γράψει ο λύτης την λύση του , ένα δεν πρέπει να παραλείψει : Το αποτέλεσμα ...


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 13465
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Ώρα εφαπτομένης 67

#10

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Κυρ Νοέμ 29, 2020 11:08 am

KARKAR έγραψε:
Κυρ Νοέμ 29, 2020 10:01 am
Μιχάλη , συμφωνώ σε όλα όσα γράφεις , εκτός από ένα σημείο : Όταν η εκφώνηση ζητά αποτέλεσμα ,

όσο περιληπτικά και να γράψει ο λύτης την λύση του , ένα δεν πρέπει να παραλείψει : Το αποτέλεσμα ...
Θανάση, δεν ξέρω γιατί επιμένεις, ιδίως αφού σου έγραψα το ρητό.

Επί της ουσίας: Στην δική σου διδασκαλία, για την συγκεκριμένη άσκηση, μπορεί το αποτέλεσμα να είναι σημαντικό (θεμιτό και αδιαπραγμάτευτο). Στην δική μου, δεν είναι (επίσης θεμιτό και αδιαπραγμάτευτο). Και θέλω να φανεί το ουσιώδες στον μαθητή γιατί επιμένω να διαχωρίζω την ήρα από το στάρι.


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΘΕΜΑΤΑ ΜΕ ΑΠΑΙΤΗΣΕΙΣ Γ'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης