Ακρότατα υπό συνθήκη
Συντονιστής: Μπάμπης Στεργίου
- exdx
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 1741
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 6:00 pm
- Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης
- Επικοινωνία:
Ακρότατα υπό συνθήκη
Έστω ότι τα ικανοποιούν την
Βρείτε τη μέγιστη και την ελάχιστη τιμή της ποσότητας :
Βρείτε τη μέγιστη και την ελάχιστη τιμή της ποσότητας :
Kαλαθάκης Γιώργης
Λέξεις Κλειδιά:
- Ορέστης Λιγνός
- Δημοσιεύσεις: 1835
- Εγγραφή: Κυρ Μάιος 08, 2016 7:19 pm
- Τοποθεσία: Χαλάνδρι Αττικής
- Επικοινωνία:
Re: Ακρότατα υπό συνθήκη
Μία εκτός φακέλου
Ισχυρίζομαι ότι η μέγιστη τιμή είναι και η ελάχιστη τιμή .
Μέγιστη τιμή: Αρκεί να δείξουμε ότι . Όμως, είναι , οπότε . Η ισότητα, προφανώς μπορεί να ισχύει (όταν και ).
Ελάχιστη τιμή: Αρκεί να δείξουμε ότι . Όμως, είναι , οπότε . Και εδώ η ισότητα προφανώς μπορεί να ισχύει.
Κερδίζουμε ό,τι τολμούμε!
Re: Ακρότατα υπό συνθήκη
Η ποσότητα γράφεται:
άρα
ή
είναι η σχέση
Η γίνεται
ή
είναι η σχέση
η σχέση γίνεται
ή
είναι η σχέση
η γίνεται
ή
ή ή
ή είναι η σχέση
Προσθέτωντας κατά μέλη τις σχέσεις και έχουμε:
ή ή ή
ή...ή
είναι η σχέση
Προσθέτωντας κατά μέλη τις σχέσεις και προκύπτει:
οπότε
Η ελάχιστη τιμή της ποσότητας είναι:
Η μέγιστη τιμή της ποσότητας είναι:
άρα
ή
είναι η σχέση
Η γίνεται
ή
είναι η σχέση
η σχέση γίνεται
ή
είναι η σχέση
η γίνεται
ή
ή ή
ή είναι η σχέση
Προσθέτωντας κατά μέλη τις σχέσεις και έχουμε:
ή ή ή
ή...ή
είναι η σχέση
Προσθέτωντας κατά μέλη τις σχέσεις και προκύπτει:
οπότε
Η ελάχιστη τιμή της ποσότητας είναι:
Η μέγιστη τιμή της ποσότητας είναι:
-
- Δημοσιεύσεις: 838
- Εγγραφή: Σάβ Ιουν 17, 2017 10:17 pm
- Τοποθεσία: Αθήνα
Re: Ακρότατα υπό συνθήκη
Καλημέρα!nikhtas30 έγραψε: ↑Πέμ Σεπ 03, 2020 7:01 amΗ ποσότητα γράφεται:
άρα
ή
είναι η σχέση
Η γίνεται
ή
είναι η σχέση
η σχέση γίνεται
ή
είναι η σχέση
η γίνεται
ή
ή ή
ή είναι η σχέση
Προσθέτωντας κατά μέλη τις σχέσεις και έχουμε:
ή ή ή
ή...ή
είναι η σχέση
Προσθέτωντας κατά μέλη τις σχέσεις και προκύπτει:
οπότε
Η ελάχιστη τιμή της ποσότητας είναι:
Η μέγιστη τιμή της ποσότητας είναι:
Χρειάζεται προσοχή! Δεν έχεις αποδείξει ότι το μέγιστο και το ελάχιστο είναι οι αριθμοί που βρήκες. Είναι σαν να έχεις δείξει ότι ένας άνθρωπος είναι μεταξύ και μέτρων σε ύψος, που προφανώς είναι σωστό. Όταν προσθέτεις κατά μέλη χάνεται η ισοδυναμία οπότε δεν μπορείς να γυρίσεις τά βήματα προς τα πίσω και να δεις πότε και αν ισχύει η ισότητα.
Re: Ακρότατα υπό συνθήκη
Ορέστης Λιγνός έγραψε: ↑Πέμ Σεπ 03, 2020 12:21 amΜία εκτός φακέλου
Ισχυρίζομαι ότι η μέγιστη τιμή είναι και η ελάχιστη τιμή .
Μέγιστη τιμή: Αρκεί να δείξουμε ότι . Όμως, είναι , οπότε . Η ισότητα, προφανώς μπορεί να ισχύει (όταν και ).
Ελάχιστη τιμή: Αρκεί να δείξουμε ότι . Όμως, είναι , οπότε . Και εδώ η ισότητα προφανώς μπορεί να ισχύει.
Ορέστης Λιγνός έγραψε: ↑Πέμ Σεπ 03, 2020 12:21 amΜία εκτός φακέλου
Ισχυρίζομαι ότι η μέγιστη τιμή είναι και η ελάχιστη τιμή .
Μέγιστη τιμή: Αρκεί να δείξουμε ότι . Όμως, είναι , οπότε . Η ισότητα, προφανώς μπορεί να ισχύει (όταν και ).
Ελάχιστη τιμή: Αρκεί να δείξουμε ότι . Όμως, είναι , οπότε . Και εδώ η ισότητα προφανώς μπορεί να ισχύει.
Να ρωτήσω κάτι,(πραγματικά θέλω να μάθω)
θεωρώ ότι η λύση δεν είναι επαρκώς επεξηγηματική αφού,
π.χ.
για να αποδειχθεί πως η μέγιστη τιμή είναι το νομίζω θα έπρεπε για κάθε :
*το να μας οδηγεί σε άτοπο αλλά δεν μπήκες στην διαδικασία να το αποδείξεις, χωρίς να αμφισβητώ πως δεν μπορείς να το δείξεις αν θες.
και
*το να ισχύει, μαλλον το απέδειξες δυσκολεύομαι να παρακολουθήσω.
Με ομοίο τρόπο θα εργαζόμασταν και για το ελάχιστο.
Αν είπα κάτι λάθος μέχρι εδώ παρακαλώ διορθώστε με.
Όμως, έτυχε και βρήκαμε κατά τύχη τα ακρότατα; πώς; δεν θεωρείται αποδειξη. και που ξέρω ότι δεν είναι ακρότατο το ή το ;
Σέβομαι ότι πας Β γυμνασίου λύνοντας Γ λυκείου πρόβλημα και ότι κερδίζεις διαγωνισμούς και σε έχω σε υψηλή εκτίμηση.
Φιλικά
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 15762
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
Re: Ακρότατα υπό συνθήκη
.
Νικήτα, το παραπάνω δεν είναι ακριβές. Είναι ένας τρόπος αλλά υπάρχει και δεύτερος. Συγκεκριμένα να αποδείξεις ότι
και μετά να αποδείξεις ότι δεν υπάρχει κάποιος μικρότερος αριθμός στην θέση του (δεξιά). Αυτό το πετυχαίνεις
δίχνοντας ότι για κάποιες τιμές των έχεις ισότητα . Το λοιπόν, αυτό ακριβώς έκανε ο Ορέστης. Είναι στο βήμα
.
.
Με άλλα λόγια όταν και . Ποιες εϊναι αυτές οι τιμές των ; Μα είναι προφανές, όπως σωστά λέει η λύση του Ορέστη. Υπόδειξη: Η τελευταία γράφεται .
Όμοια για το ελάχιστο.
Re: Ακρότατα υπό συνθήκη
Σας ευχαριστώ για την διευκρίνιση κύριε ΛάμπρουMihalis_Lambrou έγραψε: ↑Πέμ Σεπ 03, 2020 9:46 am.
Νικήτα, το παραπάνω δεν είναι ακριβές. Είναι ένας τρόπος αλλά υπάρχει και δεύτερος. Συγκεκριμένα να αποδείξεις ότι
και μετά να αποδείξεις ότι δεν υπάρχει κάποιος μικρότερος αριθμός στην θέση του (δεξιά). Αυτό το πετυχαίνεις
δίχνοντας ότι για κάποιες τιμές των έχεις ισότητα . Το λοιπόν, αυτό ακριβώς έκανε ο Ορέστης. Είναι στο βήμα
..
Με άλλα λόγια όταν και . Ποιες εϊναι αυτές οι τιμές των ; Μα είναι προφανές, όπως σωστά λέει η λύση του Ορέστη. Υπόδειξη: Η τελευταία γράφεται .
Όμοια για το ελάχιστο.
-
- Δημοσιεύσεις: 3600
- Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
- Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ
Re: Ακρότατα υπό συνθήκη
Μετά την καταπληκτική λύση του Ορέστη με ύλη Α Λυκείου
ας δούμε μια με ύλη Β Λυκείου.
Εχουμε συνθήκη
και θέλουμε τα ακρότατα της
Θέτουμε
Είναι
Παίρνοντας οξεία γωνία με
βρίσκουμε
Μετά όλα είναι εύκολα.
- george visvikis
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 13275
- Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am
Re: Ακρότατα υπό συνθήκη
Έστω με όπου
διαπιστώνουμε ότι παρουσιάζει μέγιστο για και ελάχιστο για
Ομοίως και για
Re: Ακρότατα υπό συνθήκη
Καλησπέρα!
Μια λύση με τριγωνομετρία και διαφορικό λογισμό.
Θέτω .
Τότε .
Θέτω
και .
Τότε
Οπότε η συνθήκη γράφεται
.
Θεωρώ τη συνάρτηση με
.
Μελετώντας τη συνάρτηση , βρίσκω ότι έχει ολικά ακρότατα τα
Άρα .
Μια λύση με τριγωνομετρία και διαφορικό λογισμό.
Θέτω .
Τότε .
Θέτω
και .
Τότε
Οπότε η συνθήκη γράφεται
.
Θεωρώ τη συνάρτηση με
.
Μελετώντας τη συνάρτηση , βρίσκω ότι έχει ολικά ακρότατα τα
Άρα .
Κώστας
- exdx
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 1741
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 6:00 pm
- Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης
- Επικοινωνία:
Re: Ακρότατα υπό συνθήκη
Είναι ευχάριστο να βλέπει κανείς τέτοια ποικιλία λύσεων
Άλλη μία για να αιτιολογήσω και την επιλογή του φακέλου :
Επειδή οι σχέσεις είναι ομογενείς ως προς και , μπορούμε να εμφανίσουμε μια σχέση με μία μόνο μεταβλητή .
Επειδή , σχηματίζουμε το κλάσμα
Αν . Αν , διαιρούμε με και αντικαθιστούμε .
Έτσι παίρνουμε την με
Με πίνακα μονοτονίας και όρια βλέπουμε ότι η για
(δηλαδή για ) έχει μέγιστο το και για (δηλαδή για ), ελάχιστο το , κλπ .
Άλλη μία για να αιτιολογήσω και την επιλογή του φακέλου :
Επειδή οι σχέσεις είναι ομογενείς ως προς και , μπορούμε να εμφανίσουμε μια σχέση με μία μόνο μεταβλητή .
Επειδή , σχηματίζουμε το κλάσμα
Αν . Αν , διαιρούμε με και αντικαθιστούμε .
Έτσι παίρνουμε την με
Με πίνακα μονοτονίας και όρια βλέπουμε ότι η για
(δηλαδή για ) έχει μέγιστο το και για (δηλαδή για ), ελάχιστο το , κλπ .
Kαλαθάκης Γιώργης
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 5 επισκέπτες