Ανυπαρξία

Δυσκολότερα θέματα τα οποία όμως άπτονται της σχολικής ύλης και χρησιμοποιούν αποκλειστικά θεωρήματα που βρίσκονται μέσα σε αυτή. Σε διαφορετική περίπτωση η σύνταξη του μηνύματος θα πρέπει να γίνει στο υποφόρουμ "Ο ΦΑΚΕΛΟΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΥ"

Συντονιστής: Μπάμπης Στεργίου

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 11665
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Ανυπαρξία

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Τρί Μάιος 19, 2020 7:41 pm

Ανυπαρξία.png
Ανυπαρξία.png (10.83 KiB) Προβλήθηκε 686 φορές
Υπάρχει σημείο A της γραφικής παράστασης της συνάρτησης : f(x)=\l n(x+\dfrac{1}{x} ) ,

τέτοιο ώστε η εφαπτομένη της C_{f} στο A , να διέρχεται από την αρχή των αξόνων ;



Λέξεις Κλειδιά:
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 3135
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Ανυπαρξία

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Τρί Μάιος 19, 2020 9:55 pm

KARKAR έγραψε:
Τρί Μάιος 19, 2020 7:41 pm
Ανυπαρξία.pngΥπάρχει σημείο A της γραφικής παράστασης της συνάρτησης : f(x)=\l n(x+\dfrac{1}{x} ) ,

τέτοιο ώστε η εφαπτομένη της C_{f} στο A , να διέρχεται από την αρχή των αξόνων ;
Οχι δεν υπάρχει.
Αν η εφαπτομένη είναι στο (x_0,f(x_0) τότε για να περνάει από το (0,0)
πρέπει και αρκεί να έχουμε

f(x_0)=x_0f'(x_0)

Δηλαδή \ln(x_0+\dfrac{1}{x_0})=x_0-1

που δεν γίνεται λόγω της \ln x\leq x-1

Εχει υπολογισθεί ΛΑΘΟΣ η παράγωγος της συνάρτησης.Ετσι η και η λύση δεν είναι σωστή. Ευχαριστώ τον KARKARπου μου το επεσήμανε. Αργότερα θα γράψω σωστή λύση.
τελευταία επεξεργασία από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ σε Τετ Μάιος 20, 2020 3:27 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 9456
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Ανυπαρξία

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Τετ Μάιος 20, 2020 10:01 am

KARKAR έγραψε:
Τρί Μάιος 19, 2020 7:41 pm
Ανυπαρξία.pngΥπάρχει σημείο A της γραφικής παράστασης της συνάρτησης : f(x)=\l n(x+\dfrac{1}{x} ) ,

τέτοιο ώστε η εφαπτομένη της C_{f} στο A , να διέρχεται από την αρχή των αξόνων ;
Η απάντηση είναι όχι. Αν B είναι το σημείο τομής της εφαπτομένης στο x_0 με τον άξονα y'y, τότε αρκεί να δείξουμε ότι

OB\ne 0. Θέτω \displaystyle OB = g(x) = f(x) - \frac{{{x^2} - 1}}{{{x^2} + 1}} και \displaystyle g'(x) = \frac{{{x^4} - 4{x^2} - 1}}{{x{{({x^2} + 1)}^2}}}, x>0

Η g παρουσιάζει για \displaystyle x = \sqrt {2 + \sqrt 5 } ελάχιστο ίσο με \displaystyle O{B_{\min }} = \ln \frac{{3 + \sqrt 5 }}{{\sqrt {2 + \sqrt 5 } }} - \frac{{\sqrt 5  - 1}}{2} > 0

(Κατά προσέγγιση \displaystyle O{B_{\min }} \simeq 0,31572).


ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 3135
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Ανυπαρξία

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Τετ Μάιος 20, 2020 8:53 pm

Η εξίσωση εφαπτομένης είναι \displaystyle y=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)
Για να περνάει από το (0,0) πρέπει και αρκεί να ισχύει
\displaystyle f(x_0)=f'(x_0)x_0

Δηλαδή πρέπει η εξίσωση \displaystyle f(x)=f'(x)x
να έχει λύση.
Εδώ η εξίσωση γράφεται
 \displaystyle \ln (x+\frac{1}{x})=\frac{x^2-1}{x^2+1}
Αν δείξουμε ότι για x>0 είναι

 \displaystyle \ln (x+\frac{1}{x})>\frac{x^2-1}{x^2+1}
τότε δεν θα υπάρχει τέτοια εφαπτομένη.

1)x>e
Είναι  \displaystyle \ln (x+\frac{1}{x})>\ln e=1>\frac{x^2-1}{x^2+1}

2)0<x\leq e

Θα χρειασθούμε ότι e<3και  \displaystyle \ln x \geq  1-\frac{1}{x}
Να σημειώσω ότι δεν χρειάζεται λογισμός για αυτές τις ανισότητες.
Προκύπτουν άμεσα από τους αυστηρούς ορισμούς του eκαι \ln
Είναι

\displaystyle \ln (x+\frac{1}{x})=\ln (\frac{x^2+1}{x})=\ln (e\frac{x^2+1}{ex})=1+\ln (\frac{x^2+1}{ex})\geq

\displaystyle 1+1-\frac{xe}{x^2+1}> 2-\frac{3x}{x^2+1}=\frac{2x^2+2-3x}{x^2+1}=\frac{x^2-1+x^2-3x+3}{x^2+1}> \frac{x^2-1}{x^2+1}


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΘΕΜΑΤΑ ΜΕ ΑΠΑΙΤΗΣΕΙΣ Γ'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες