Απαιτητική ύπαρξη

Δυσκολότερα θέματα τα οποία όμως άπτονται της σχολικής ύλης και χρησιμοποιούν αποκλειστικά θεωρήματα που βρίσκονται μέσα σε αυτή. Σε διαφορετική περίπτωση η σύνταξη του μηνύματος θα πρέπει να γίνει στο υποφόρουμ "Ο ΦΑΚΕΛΟΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΥ"

Συντονιστής: Μπάμπης Στεργίου

ΤΣΟΠΕΛΑΣ ΓΙΑΝΝΗΣ
Δημοσιεύσεις: 294
Εγγραφή: Σάβ Απρ 03, 2010 5:06 pm
Τοποθεσία: Αμαλιάδα - Ηλείας

Απαιτητική ύπαρξη

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΤΣΟΠΕΛΑΣ ΓΙΑΝΝΗΣ » Σάβ Μάιος 09, 2020 3:07 pm

Καλό απόγευμα σε όλα τα μέλη του :logo:
Παραθέτω μια υπαρξιακή..κάπως απαιτητική..Δείξτε ότι υπάρχει μοναδικό
\bol{ \xi }\epsilon (1, + \infty ): \xi^{\ln \xi}=\ln^{\xi}\xi



Λέξεις Κλειδιά:
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 3069
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Απαιτητική ύπαρξη

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Σάβ Μάιος 09, 2020 11:24 pm

ΤΣΟΠΕΛΑΣ ΓΙΑΝΝΗΣ έγραψε:
Σάβ Μάιος 09, 2020 3:07 pm
Καλό απόγευμα σε όλα τα μέλη του :logo:
Παραθέτω μια υπαρξιακή..κάπως απαιτητική..Δείξτε ότι υπάρχει μοναδικό
\bol{ \xi }\epsilon (1, + \infty ): \xi^{\ln \xi}=\ln^{\xi}\xi
Εχουμε την εξίσωση

\displaystyle x^{\ln x}=(\ln x) ^x όπου x>1

Λογαριθμίζοντας παίρνουμε την ισοδύναμη

\displaystyle (\ln x)^2=x\ln (\ln x) όπου x>1
Θέλουμε ότι υπάρχει μοναδική ρίζα.
Θέτοντας t=\ln x
καταλήγουμε στην ισοδύναμη

\displaystyle t^2=e^t \ln t
για t>0.

Θεωρούμε την
\displaystyle f(t)=e^t\ln t -t^2
για t>0.

Είναι f(1)=-1 και \displaystyle f(e)=e^e-e^2>0

Από Bolzano εχει τουλάχιστον μια ρίζα στο (1,e).
Είναι
\displaystyle f'(t)=e^t\ln t+\frac{e^t}{t}-2t
Είναι γνωστό ότι
\displaystyle \ln t+\frac{1}{t}\geq 1
και εύκολα αποδεικνύεται ότι
για t>0 είναι
e^t>2t
Ετσι
\displaystyle f'(t)=e^t(\ln t+\frac{1}{t})-2t\geq e^t-2t>0

Αρα η f είναι γνησίως αύξουσα και η ρίζα είναι μοναδική.

Παρατηρήσεις.
1)Γνωρίζω και άλλες αποδείξεις.Πιο φυσιολογικές αλλά και πιο μεγάλες.
2)Το εύκολα αποδεικνύεται γίνεται η με παραγώγους η
\displaystyle e^t\geq 1+t+\frac{t^2}{2}>2t


Άβαταρ μέλους
nsmavrogiannis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4286
Εγγραφή: Σάβ Δεκ 20, 2008 7:13 pm
Τοποθεσία: Αθήνα
Επικοινωνία:

Re: Απαιτητική ύπαρξη

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από nsmavrogiannis » Δευ Μάιος 11, 2020 11:44 pm

Η παρακάτω λύση δεν απευθύνεται σε μαθητές.
Χρησιμοποιεί εξωσχολικές γνώσεις αλλά, νομίζω, δείχνει κάπως πως δουλεύει η συγκεκριμένη άσκηση.
Ας ονομάσουμε g\left( x\right) =\ln x. Θέλουμε η εξίσωση x^{g\left( x\right) }=g\left( x\right) ^{x} να έχει μια τουλάχιστον λύση x>1. Η εξίσωση αυτή γράφεται
f\left( g\left( x\right) \right) =f\left( x\right) \,\,\,\,(1)
όπου f\left( x\right) =\frac{\ln x}{x} συνάρτηση γνωστή και από το σχολικό.
Η f είναι γνησίως αύξουσα στο I_{1}=\left( 0,e\right] και γνησίως φθίνουσα στο I_{2}=\left[ e,+\infty \right) . Αν ονομάσουμε f_1 και f_2 τους περιορισμούς της f στα I_{1}, I_{2} οι f_1, f_2 είναι συνεχείς, αντιστρέψιμες και οι αντίστροφες τους είναι συνεχείς. Η εξίσωση (1) δε μπορεί να έχει λύση x με g(x)=x και επομένως τα x, g(x) πρέπει να ανήκουν σε διαφορετικά διαστήματα από I_{1}, I_{2}. Αφού g(x)<x αναγκαστικά το x θα ανήκει στο I_2 και το g(x) στο I_1. Άρα η (1) γράφεται
f_{1}\left( g\left( x\right) \right) =f_{2}\left( x\right) και ισοδύναμα
f_{1}^{-1}\left( f_{2}\left( x\right) \right) -g\left( x\right) =0\,\,\,(2)
H h\left( x\right) =f_{1}^{-1}\left( f_{2}\left( x\right) \right) -g\left( x\right) είναι γνησίως φθίνουσα και συνεχής στο I_{2} και τα όρια στης στα e και +\infty είναι e-g(e) και -\lim\limits_{x\rightarrow +\infty }g\left( x\right) δηλαδή ετερόσημα. Άρα η h έχει ρίζα στο I_2 που λόγω μονοτονίας είναι μοναδική.
lnx x.png
lnx x.png (84.85 KiB) Προβλήθηκε 338 φορές
ΣΧΟΛΙΟ Από τις ιδιότητες της της g\left( x\right) =\ln x χρησιμοποιήθηκαν ότι είναι γνησίως αύξουσα , συνεχής ορισμένη στο (0,+\infty), το \lim\limits_{x\rightarrow +\infty }g\left( x\right) είναι θετικό και g(x)<x για όλα τα x.


Αν κανείς δεν ελπίζει, δεν θα βρεί το ανέλπιστο, οι δρόμοι για το ανεξερεύνητο θα είναι κλειστοί.
Ηράκλειτος
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 3069
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Απαιτητική ύπαρξη

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Τετ Μάιος 13, 2020 12:52 am

Για να δούμε ακόμα δύο λύσεις.
(Θα τις περιγράψω μόνο)
1)
Η εξίσωση είναι ισοδύναμη με την
\displaystyle (\ln x)^2=x\ln (\ln x)
η
\displaystyle \frac{(\ln x)^2}{x}- \ln (ln x)=0

Αν θεωρήσουμε την

\displaystyle f(x)=\frac{(\ln x)^2}{x}- \ln (ln x) για x>1

τότε \displaystyle f(e)f(e^e)<0
και είναι γνησίως φθίνουσα.
Για να αποδείξουμε το τελευταίο παίρνουμε την παράγωγο και στον
αριθμητή το -x το βάζουμε -\ln x -1
2)
Αν θέσουμε \displaystyle f(x)=x^{\frac{1}{x}}
η εξίσωση είναι ισοδύναμη με την
\displaystyle f(x)-f(\ln x)=0

Αν θέσουμε
\displaystyle g(x)=f(x)-f(\ln x)
από Θ.Μ.Τ έχουμε
\displaystyle g(x)=(x-\ln x)f'(c) όπου \ln x<c<x.

Εύκολα βλέπουμε ότι g(x)<0 για x>e^e
ενώ g(x)>0 για x<e.

Αν γράψουμε κάτω την g'(x) θα δούμε ότι είναι αρνητική για e<x<e^e

Στην ουσία η δεύτερη λύση είναι ίδια με αυτή του Νίκου παραπάνω.
Απλά τώρα είναι φτιαγμένη θα πλαίσια του σχολικού βιβλίου.
τελευταία επεξεργασία από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ σε Τετ Μάιος 13, 2020 12:55 am, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


ΤΣΟΠΕΛΑΣ ΓΙΑΝΝΗΣ
Δημοσιεύσεις: 294
Εγγραφή: Σάβ Απρ 03, 2010 5:06 pm
Τοποθεσία: Αμαλιάδα - Ηλείας

Re: Απαιτητική ύπαρξη

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΤΣΟΠΕΛΑΣ ΓΙΑΝΝΗΣ » Τετ Μάιος 13, 2020 12:52 am

Θα αποδείξουμε ότι η εξίσωση x ^{\ln x }=\ln ^{x }x έχει ακριβώς μια ρίζα στο \left ( 1,+\infty \right ).
Η εξίσωση αυτή ισοδύναμα γράφεται \ln \left ( x^{\ln x} \right )=\ln \left ( \ln ^{x} \right x)\Leftrightarrow \left ( \ln x \right )^{2}=x\ln \left ( \ln x \right )\Leftrightarrow\frac{\ln x}{x}=\frac{\ln \left ( \ln x \right )}{lnx}\Leftrightarrow f\left ( x \right )=f\left ( \ln x \right )(1)
όπουf\left ( t \right )=\frac{lnt}{t},t>0.
Εύκολα αποδεικνύεται ότι η f είναι γνησίως αύξουσα στο (0,e] και γνησίως φθίνουσα στο \left [e,+\infty \right ).
Διακρίνουμε περιπτώσεις για το x> 1.
α)1<x\leq e \Rightarrow 0< lnx< x\leq e\Rightarrow f\left ( lnx \right )<f\left ( x \right ) άρα η (1)αδύνατη.
β)e^{e}\leqslant x\Rightarrow \ln e^{e}\leqslant\ln x\Rightarrow e\leqslant \ln x< x\Rightarrow f\left ( \ln x \right )> f\left ( x \right ) άρα η (1) αδύνατη.
Θα αποδείξουμε ότι η (1) έχει ακριβώς μια ρίζα στο \left ( e,e^{e} \right ).Θεωρούμε τη συνάρτηση
g\left ( x \right )=f\left ( lnx \right )-f\left ( x \right ),x\epsilon \left [ e,e^{e} \right ].
Η g είναι συνεχής στο \left [ e,e^{e} \right ] και g\left ( e \right )g\left ( e^{e} \right )<0
άρα από θ.Bolzano η εξίσωση g(x)=0 έχει στο\left ( e,e^{e} \right )τουλάχιστον μία ρίζα η οποία είναι μοναδική γιατί
η g είναι γνησίως αύξουσα στο \left ( e,e^{e} \right ).//
(Η μονοτονία της g στο \left ( e,e^{e} \right )μπορεί να προκύψει και με τον ορισμό ...)


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΘΕΜΑΤΑ ΜΕ ΑΠΑΙΤΗΣΕΙΣ Γ'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης