Ελάχιστη απόσταση γραφικών παραστάσεων

Δυσκολότερα θέματα τα οποία όμως άπτονται της σχολικής ύλης και χρησιμοποιούν αποκλειστικά θεωρήματα που βρίσκονται μέσα σε αυτή. Σε διαφορετική περίπτωση η σύνταξη του μηνύματος θα πρέπει να γίνει στο υποφόρουμ "Ο ΦΑΚΕΛΟΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΥ"

Συντονιστής: Μπάμπης Στεργίου

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 11614
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Ελάχιστη απόσταση γραφικών παραστάσεων

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Κυρ Απρ 12, 2020 7:10 pm

Απαιτητικό.png
Απαιτητικό.png (6.07 KiB) Προβλήθηκε 758 φορές
Δίνεται η συνάρτηση : f(x)=1+\sqrt{x-2} .

α) Δείξτε ότι η f αντιστρέφεται και βρείτε την αντίστροφή της .

β) Δείξτε ότι οι C_{f} , C_{f^{-1}} , δεν έχουν κοινά σημεία .

γ) Βρείτε την ελάχιστη απόσταση μεταξύ των C_{f} , C_{f^{-1}} .



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
matha
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 6260
Εγγραφή: Παρ Μάιος 21, 2010 7:40 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη

Re: Ελάχιστη απόσταση γραφικών παραστάσεων

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από matha » Κυρ Απρ 12, 2020 10:17 pm

Το ζουμί είναι το γ) Θανάση, δεν ξέρω τι είχες κατά νου όταν πρότεινες το θέμα, αλλά δεν ξέρω κατά πόσο είμαστε εξασφαλισμένοι να θεωρήσουμε ότι η ελάχιστη απόσταση πιάνεται όταν \displaystyle{AB\perp y=x} ή ότι η ελάχιστη απόσταση πιάνεται σε αντίστοιχα σημεία των \displaystyle{f,f^{-1},} δηλαδή αν \displaystyle{A(m,n)}, τότε \displaystyle{B(n,m).}

Παραθέτω μια απόδειξη που δεν θεωρεί τίποτα δεδομένο και βλέπουμε.

Ας είναι \displaystyle{A(x,1+\sqrt{x-2})} με \displaystyle{x\geq 2}

και \displaystyle{B(y,y^2-2y+3)} με \displaystyle{y\geq 1.}

Τότε είναι

\displaystyle{AB^2=(x-y)^2+(\sqrt{x-2}-y^2+2y-2)^2.}

Από την \displaystyle{2(a^2+b^2)\geq (a+b)^2} έχουμε

\displaystyle{2AB^2\geq (\color{red}y-x \color{black}+\sqrt{x-2}-y^2+2y-2)^2}.

Το κόκκινο το τονίζω, γιατί αν κανείς βάλει αντί αυτού το \displaystyle{x-y} δεν θα βρει το ελάχιστο.

Άρα \displaystyle{2AB^2\geq \left((y-\frac{3}{2})^2+(\sqrt{x-2}-\frac{1}{2})^2+\frac{3}{2}\right)^2\implies 2AB^2\geq \frac{9}{4}\implies AB\geq \frac{3}{2\sqrt{2}}}

και η ισότητα πιάνεται όταν \displaystyle{x=\frac{9}{4}, y=\frac{3}{2}.}


Μάγκος Θάνος
Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 11614
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Re: Ελάχιστη απόσταση γραφικών παραστάσεων

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Δευ Απρ 13, 2020 7:58 am

Θάνο , εξαιρετική προσέγγιση , νάσαι καλά :clap2: ( μάλλον όμως για "Ευκλείδη" )

Αλλά ( παραβλέποντας το ελλιπές της απάντησης :lol: :mrgreen: ) , θέλουμε αντιμετώπιση "εντός ύλης" ( όχι απαραίτητα

της περικεκομμένης τωρινής ) , στην οποία ούτε τα - σχεδόν προφανή - που δίνεις στην αρχή του κειμένου σου

θεωρούνται γνωστά ...


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 9326
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Ελάχιστη απόσταση γραφικών παραστάσεων

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Δευ Απρ 13, 2020 9:02 am

Για το τρίτο ερώτημα (Δεν ξέρω κατά πόσο είναι "νόμιμο"). Η f είναι κοίλη και η f^{-1} κυρτή.

Αναζητούμε δύο σημεία A, B ώστε οι εφαπτόμενες σε αυτά των C_f,C_{f^{-1}} αντίστοιχα, να είναι παράλληλες.

Αρκεί να βρω σημείο A της C_f στο οποίο η εφαπτομένη να είναι παράλληλη στην ευθεία \varepsilon: y=x.

\displaystyle f'(x) = 1 \Rightarrow \frac{1}{{2\sqrt {x - 2} }} = 1 \Leftrightarrow A\left( {\frac{9}{4},\frac{3}{2}} \right) και \boxed{{(AB)_{\min }} = 2d(A,\varepsilon ) = \frac{{3\sqrt 2 }}{4}}


ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 3069
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Ελάχιστη απόσταση γραφικών παραστάσεων

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Δευ Απρ 13, 2020 8:23 pm

george visvikis έγραψε:
Δευ Απρ 13, 2020 9:02 am
Για το τρίτο ερώτημα (Δεν ξέρω κατά πόσο είναι "νόμιμο"). Η f είναι κοίλη και η f^{-1} κυρτή.

Αναζητούμε δύο σημεία A, B ώστε οι εφαπτόμενες σε αυτά των C_f,C_{f^{-1}} αντίστοιχα, να είναι παράλληλες.

Αρκεί να βρω σημείο A της C_f στο οποίο η εφαπτομένη να είναι παράλληλη στην ευθεία \varepsilon: y=x.

\displaystyle f'(x) = 1 \Rightarrow \frac{1}{{2\sqrt {x - 2} }} = 1 \Leftrightarrow A\left( {\frac{9}{4},\frac{3}{2}} \right) και \boxed{{(AB)_{\min }} = 2d(A,\varepsilon ) = \frac{{3\sqrt 2 }}{4}}
Γενικά δεν είναι νόμιμο.
Μπορεί να αποδειχθεί(θα το βάλω σαν θέμα σε άλλο φάκελλο)
οτι οι εφαπτομένες είναι παράλληλες αν το ελάχιστο πιάνεται σε εσωτερικό σημείο.
Μάλιστα δεν έχει σχέση ούτε με κυρτότητα ούτε αν η μια είναι αντίστροφη της άλλης.
Αν πιάνεται σε άκρο δεν είναι απαραίτητο να είναι παράλληλες οι εφαπτομένες.


Άβαταρ μέλους
nsmavrogiannis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4286
Εγγραφή: Σάβ Δεκ 20, 2008 7:13 pm
Τοποθεσία: Αθήνα
Επικοινωνία:

Re: Ελάχιστη απόσταση γραφικών παραστάσεων

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από nsmavrogiannis » Τετ Απρ 15, 2020 12:36 am

Συμπληρώνω απλώς μερικές λεπτομέρειες για μία σχολική απάντηση στο γ). όπως ζητάει ο Θανάσης και πάνω στην βασική ιδέα του Θάνου.

Η εξίσωση f(x)-x=0 είναι αδύνατη (απλό). Επομένως η συνεχής f(x)-x διατηρεί πρόσημο που είναι αρνητικό. Άρα η γραφική παράσταση της \mathcal{C}_f είναι κάτω από την γραφική παράσταση της y=x η οποία με την σειρά της λόγω συμμετρίας είναι κάτω από εκείνη της \mathcal{C}_{f^{-1}}. Είναι (AB) \geq d_{1}+d_{2}=d_{2}+d_{3}. O τελευταίος αριθμός έχει ως ελάχιστη τιμή το διπλάσιο της ελάχιστης απόστασης m της \mathcal{C}_f από την y=x. Η m είναι το ελάχιστο της \frac{\left| x-f\left( x\right) \right| }{\sqrt{2}}=\frac{x-f\left( x\right) }{\sqrt{2}} που βρίσκουμε εύκολα ότι επιτυγχάνεται όταν x=\frac{9}{4} που δίνει 2m=\frac{3\sqrt{2}}{4}.
mindist.png
mindist.png (11.56 KiB) Προβλήθηκε 530 φορές


Αν κανείς δεν ελπίζει, δεν θα βρεί το ανέλπιστο, οι δρόμοι για το ανεξερεύνητο θα είναι κλειστοί.
Ηράκλειτος
Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 11614
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Re: Ελάχιστη απόσταση γραφικών παραστάσεων

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Τετ Απρ 15, 2020 7:39 am

Ελάχιστη  απόσταση  αντίστροφων.png
Ελάχιστη απόσταση αντίστροφων.png (6.21 KiB) Προβλήθηκε 487 φορές
Αναδιατυπώνω την λύση του Νίκου προσαρμοσμένη πλήρως στη "σχολική" θεώρηση : Λόγω συμμετρίας ,

αρκεί να βρω την ελάχιστη απόσταση της μιας των καμπυλών από την ευθεία \epsilon : x-y=0 .

Χρησιμοποιώ λόγω ευκολίας την : f^{-1}(x)=x^2-2x+3 , x\geq 1 . Για το : B(x , x^2-2x+3) ,

είναι : d(B , \epsilon)=d(x)=\dfrac{x^2-3x+3}{\sqrt{2}} , με : d'(x)=\dfrac{2x-3}{\sqrt{2}} ... άρα : d_{min}=\dfrac{3}{4\sqrt{2}} ,

επομένως η ελάχιστη απόσταση των καμπυλών είναι το : 2d_{min}=\dfrac{3}{2\sqrt{2}} .


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΘΕΜΑΤΑ ΜΕ ΑΠΑΙΤΗΣΕΙΣ Γ'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης