Μέγιστο μήκος και μέγιστη επιφάνεια ορθογωνίου

Δυσκολότερα θέματα τα οποία όμως άπτονται της σχολικής ύλης και χρησιμοποιούν αποκλειστικά θεωρήματα που βρίσκονται μέσα σε αυτή. Σε διαφορετική περίπτωση η σύνταξη του μηνύματος θα πρέπει να γίνει στο υποφόρουμ "Ο ΦΑΚΕΛΟΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΥ"

Συντονιστής: Μπάμπης Στεργίου

Stelios V8
Δημοσιεύσεις: 31
Εγγραφή: Κυρ Ιαν 14, 2018 10:42 pm

Μέγιστο μήκος και μέγιστη επιφάνεια ορθογωνίου

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Stelios V8 » Πέμ Απρ 02, 2020 3:00 pm

Θεωρούμε τη συμβολή δύο κάθετων διαδρόμων πλάτους α όπως στο σχήμα .
Θεωρούμε ορθογώνιο παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ που τοποθετείτε έτσι ώστε οι δύο κορυφές του να ακουμπούν στους τοίχους των διαδρόμων και η πλευρά ΒΓ να ακουμπά στην κορυφή Ο της γωνίας θ (όπως στο σχήμα) .
Οι διαστάσεις του ορθογωνίου είναι ΑΔ=δ και ΑΒ=γ με \gamma \leq \alpha .
(1) Να δειχθεί ότι \delta = \alpha \left ( \frac{1}{\sin\left ( \theta  \right ) }+\frac{1}{\cos \left ( \theta  \right )} \right )-\gamma \left ( \tan \left ( \theta  \right )+\cot \left ( \theta  \right ) \right ) για 0< \theta <\frac{\pi }{2} .
(2) Να υπολογιστεί το μέγιστο μήκος ενός ορθογωνίου που μπορεί να περάσει από τους διαδρόμους .
(3) Να υπολογιστούν οι διαστάσεις του ορθογωνίου αν θέλουμε να έχει τη μέγιστη δυνατή επιφάνεια .
Εικόνα
Συνημμένα
σχήμα.png
σχήμα.png (21.23 KiB) Προβλήθηκε 394 φορές



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Γιώργος Ρίζος
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4644
Εγγραφή: Δευ Δεκ 29, 2008 1:18 pm
Τοποθεσία: Κέρκυρα

Re: Μέγιστο μήκος και μέγιστη επιφάνεια ορθογωνίου

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Ρίζος » Πέμ Απρ 02, 2020 11:31 pm

Καλησπέρα σε όλους.

Επιχειρώ μια διαφορετική αντιμετώπιση του προβλήματος.

02-04-2020 Μέγιστο ορθογώνιο.jpg
02-04-2020 Μέγιστο ορθογώνιο.jpg (27.14 KiB) Προβλήθηκε 325 φορές


Επιλέγουμε ως σημείο περιστροφής του ορθογωνίου την κορυφή O. Για να μπορεί να στρίψει, πρέπει οι αποστάσεις του O από τις απέναντι κορυφές του ορθογωνίου να έχουν μήκος μικρότερο από a, δηλαδή να βρίσκονται μέσα στον κυκλικό τομέα με κέντρο το O και ακτίνα a, που εφάπτεται στις πλευρές του διαδρόμου στα A, B.

Πρέπει, λοιπόν, το ορθογώνιο να είναι ολόκληρο στο εσωτερικό ημικυκλικού δίσκου ακτίνας a.

Αναζητούμε, λοιπόν, το ορθογώνιο μέγιστου εμβαδού που είναι εγγεγραμμένο σε ημικύκλιο ακτίνας a.

Έστω AB=x, AD=y οι διαστάσεις του ορθογωνίου, με 0<y<a, 0<x<2a. Λόγω συμμετρίας, το O είναι μέσο του CD. Οπότε, στο ορθογώνιο ADO, από το Πυθαγόρειο Θεώρημα, είναι

 \displaystyle {y^2} + \frac{{{x^2}}}{4} = {a^2} \Leftrightarrow y = \sqrt {{a^2} - \frac{{{x^2}}}{4}} .

Το εμβαδό του ορθογωνίου είναι  \displaystyle E = xy = x\sqrt {{a^2} - \frac{{{x^2}}}{4}}  = \sqrt {{a^2}{x^2} - \frac{{{x^4}}}{4}} ,\;\;x \in \left( {0,\;2a} \right) .

Η παράσταση παίρνει μέγιστη τιμή, όταν μεγιστοποιείται το υπόρριζο.

Η συνάρτηση  \displaystyle f\left( x \right) = {a^2}{x^2} - \frac{{{x^4}}}{4},\;\;x \in \left( {0,\;2a} \right) έχει παράγωγο  \displaystyle f'\left( x \right) = 2{a^2}x - {x^3} .

Είναι  \displaystyle f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x = 0\;\; \vee \;x = a\sqrt 2 \; \vee \;\;x =  - a\sqrt 2

Με πίνακα μονοτονίας, διαπιστώνουμε ότι παρουσιάζει μέγιστο για  \displaystyle x = a\sqrt 2 , οπότε  \displaystyle y = \frac{{a\sqrt 2 }}{2} . Το μέγιστο εμβαδό είναι E=a^2.

Κάποια επιπλέον σχόλια μετά από τον διάλογο που περιμένω να ακολουθήσει.


Άβαταρ μέλους
Γιώργος Ρίζος
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4644
Εγγραφή: Δευ Δεκ 29, 2008 1:18 pm
Τοποθεσία: Κέρκυρα

Re: Μέγιστο μήκος και μέγιστη επιφάνεια ορθογωνίου

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Ρίζος » Παρ Απρ 03, 2020 12:18 am

Ξεκινώ και τη διαπραγμάτευση του θέματος, σύμφωνα με την εκφώνηση.

02-04-2020 Μέγιστο ορθογώνιο 2.jpg
02-04-2020 Μέγιστο ορθογώνιο 2.jpg (31.29 KiB) Προβλήθηκε 310 φορές


Στο KBA είναι  \displaystyle \sigma \upsilon \nu \theta  = \frac{{{\rm K}{\rm B}}}{{{\rm A}{\rm B}}} και στο BLO είναι  \displaystyle \eta \mu \theta  = \frac{{BL}}{{BO}} , οπότε

 \displaystyle {\rm K}{\rm B} + BL = a = c \cdot \sigma \upsilon \nu \theta  + {\rm B}{\rm O} \cdot \eta \mu \theta (1)

Στο MOC είναι  \displaystyle \eta \mu \theta  = \frac{{CN}}{{DC}} και στο MOC είναι  \displaystyle \sigma \upsilon \nu \theta  = \frac{{MC}}{{OC}}

οπότε  \displaystyle CN + CM = a = c \cdot \eta \mu \theta  + {\rm O}C \cdot \sigma \upsilon \nu \theta (2)

Από (1) είναι  \displaystyle {\rm B}{\rm O} = \frac{a}{{\eta \mu \theta }} - c \cdot \sigma \varphi \theta
και από (2) είναι  \displaystyle {\rm O}C = \frac{a}{{\sigma \upsilon \nu \theta }} - c \cdot \varepsilon \varphi \theta

Προσθέτοντας, είναι  \displaystyle d = a \cdot \left( {\frac{1}{{\eta \mu \theta }} + \frac{1}{{\sigma \upsilon \nu \theta }}} \right) - c \cdot \left( {\varepsilon \varphi \theta  + \sigma \varphi \theta } \right)

(Λόγω ώρας, αν δεν συνεχίσει κάποιος άλλος, θα συνεχίσω το ταχύτερο δυνατόν).


Άβαταρ μέλους
Γιώργος Ρίζος
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4644
Εγγραφή: Δευ Δεκ 29, 2008 1:18 pm
Τοποθεσία: Κέρκυρα

Re: Μέγιστο μήκος και μέγιστη επιφάνεια ορθογωνίου

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Ρίζος » Παρ Απρ 03, 2020 11:41 am

Συνεχίζω με τα άλλα ερωτήματα:

Αν  \displaystyle \theta  = 0\;\; \vee \;\;\theta  = \frac{\pi }{2} , τότε το μέγιστο μήκος AD είναι ίσο με a και χωράει να περάσει τετράγωνο πλευράς a, δίχως να το στρέψουμε, (εφόσον μπορούμε να το σύρουμε).

Για  \displaystyle \theta  \in \left( {0,\;\frac{\pi }{2}} \right) , θεωρώντας το c σταθερό, είναι

 \displaystyle d\left( \theta  \right) = a \cdot \left( {\frac{1}{{\eta \mu \theta }} + \frac{1}{{\sigma \upsilon \nu \theta }}} \right) - c \cdot \left( {\varepsilon \varphi \theta  + \sigma \varphi \theta } \right) .

 \displaystyle d'\left( \theta  \right) = a\left( { - \frac{{\sigma \upsilon \nu \theta }}{{\eta {\mu ^2}\theta }} + \frac{{\eta \mu \theta }}{{\sigma \upsilon {\nu ^2}\theta }}} \right) - c\left( {\frac{1}{{\sigma \upsilon {\nu ^2}\theta }} - \frac{1}{{\eta {\mu ^2}\theta }}} \right)

 \displaystyle  = \frac{{a\eta {\mu ^3}\theta  - a\sigma \upsilon {\nu ^3}\theta  + c\sigma \upsilon {\nu ^2}\theta  - c\eta {\mu ^2}\theta }}{{\eta {\mu ^2}\theta  \cdot \sigma \upsilon {\nu ^2}\theta }}

 \displaystyle d'\left( \theta  \right) = 0 \Leftrightarrow \left( {\eta \mu \theta  - \sigma \upsilon \nu \theta } \right)\left( {a\eta {\mu ^3}\theta  - a\sigma \upsilon {\nu ^3}\theta  + c\sigma \upsilon {\nu ^2}\theta  - c\eta {\mu ^2}\theta } \right) = 0

 \displaystyle  \Leftrightarrow \left( {\eta \mu \theta  = \sigma \upsilon \nu \theta  \Leftrightarrow \theta  = \frac{\pi }{4}} \right)\; \vee \;\;\left( {a\eta {\mu ^3}\theta  - a\sigma \upsilon {\nu ^3}\theta  + c\sigma \upsilon {\nu ^2}\theta  - c\eta {\mu ^2}\theta  = 0} \right)

Είναι  \displaystyle 1 + \eta \mu \theta  \cdot \sigma \upsilon \nu \theta  - \eta \mu \theta  - \sigma \upsilon \nu \theta  = \left( {\eta \mu \theta  - 1} \right)\left( {\sigma \upsilon \nu \theta  - 1} \right) > 0 για κάθε  \displaystyle \theta  \in \left( {0,\;\frac{\pi }{2}} \right) ,

οπότε  \displaystyle 1 + \eta \mu \theta  \cdot \sigma \upsilon \nu \theta  > \eta \mu \theta  + \sigma \upsilon \nu \theta  \Rightarrow a\left( {1 + \eta \mu \theta  \cdot \sigma \upsilon \nu \theta } \right) > a\left( {\eta \mu \theta  + \sigma \upsilon \nu \theta } \right) \ge c\left( {\eta \mu \theta  + \sigma \upsilon \nu \theta } \right) , αφού  \displaystyle a \ge c ,

οπότε η μόνη ρίζα της  \displaystyle d'\left( \theta  \right) = 0 είναι  \displaystyle \theta  = \frac{\pi }{4} .

Τότε η συνάρτηση d(x) παρουσιάζει ελάχιστο με τιμή  \displaystyle d\left( {\frac{\pi }{4}} \right) = 2\sqrt 2 a - 2c .

Για να μπορεί να περάσει το ορθογώνιο πρέπει το μήκος του να είναι μικρότερο απ’ αυτήν την τιμή, οπότε η μέγιστη δυνατή του μήκους είναι  \displaystyle 2\sqrt 2 a - 2c .


Για το (3). Θεωρώ μεταβλητό το c και μελετώ τη συνάρτηση του εμβαδού για τυχαία (προς στιγμήν σταθερή) τιμή της γωνίας \theta.
Κρατώ μια επιφύλαξη για την ορθότητα της μεθόδου, που δεν έχω δει κάπου την τεκμηρίωσή της. Θα χαιρόμουν αν κάποιος που γνωρίζει κάτι σχετικά παρέμβει διορθώνοντας ή και συμπληρώνοντας.

Αν c=a, τότε για να χωρά το ορθογώνιο, πρέπει να είναι d = a, δηλαδή να είναι τετράγωνο.

Για  \displaystyle c \in \left( {0,\;a} \right) είναι  \displaystyle E\left( c \right) = cd = ca \cdot \left( {\frac{1}{{\eta \mu \theta }} + \frac{1}{{\sigma \upsilon \nu \theta }}} \right) - {c^2} \cdot \left( {\varepsilon \varphi \theta  + \sigma \varphi \theta } \right) , για κάθε τιμή της γωνίας  \displaystyle \theta  \in \left( {0,\;\frac{\pi }{2}} \right) .

 \displaystyle E'\left( c \right) = a \cdot \left( {\frac{1}{{\eta \mu \theta }} + \frac{1}{{\sigma \upsilon \nu \theta }}} \right) - 2c \cdot \left( {\varepsilon \varphi \theta  + \sigma \varphi \theta } \right) .

Είναι  \displaystyle E'\left( c \right) = 0 \Leftrightarrow c = \frac{{a \cdot \left( {\eta \mu \theta  + \sigma \upsilon \nu \theta } \right)}}{2} = \frac{{a \cdot \sqrt 2 \eta \mu \left( {\frac{\pi }{4} + \theta } \right)}}{2} \le \frac{{a\sqrt 2 }}{2} με το ίσον όταν  \displaystyle \theta  = \frac{\pi }{4}.

Με πίνακα μονοτονίας, βρίσκουμε ότι αυτή είναι η θέση μεγίστου, με  \displaystyle {E_{\max }} = \frac{{a\sqrt 2 }}{2} \cdot \sqrt 2 a = {a^2}


Stelios V8
Δημοσιεύσεις: 31
Εγγραφή: Κυρ Ιαν 14, 2018 10:42 pm

Re: Μέγιστο μήκος και μέγιστη επιφάνεια ορθογωνίου

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Stelios V8 » Κυρ Απρ 05, 2020 12:53 am

Αρχικά, ευχαριστώ πολύ για την ενασχόλησή σας με το θέμα.
Λίγο διαφορετικά για το (3) έχουμε πως για να περάσει το ορθογώνιο στην περίπτωση 0< \theta < \frac{\pi }{2}
θα πρέπει \delta \leq 2\sqrt{2}\alpha -2\gamma και έτσι για το εμβαδόν έχουμε διαδοχικά πως:
\varepsilon = \delta\gamma \leq 2\left ( \sqrt{2}\alpha -\gamma  \right ) \gamma \leq \frac{\left (\sqrt{2}\alpha -\gamma +\gamma  \right )^{2}}{2}=\alpha ^{2}

με ισότητα να επιτυγχάνεται όταν \delta =  2\left ( \sqrt{2}\alpha -\gamma  \right ) και \sqrt{2}\alpha -\gamma  \right= \gamma .
Επίσης όπως πολύ σωστά τονίσατε είναι δύο τα ορθογώνια, αυτά διαστάσεων \left ( \gamma ,\delta  \right )=\left ( \alpha ,\alpha  \right ) και \left ( \gamma ,\delta  \right )=\left (\frac{\alpha }{\sqrt{2}},\alpha\sqrt{2}  \right ) , που μπορούν να περάσουν .


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΘΕΜΑΤΑ ΜΕ ΑΠΑΙΤΗΣΕΙΣ Γ'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης