Ελάχιστη απόσταση γραφήματος

Δυσκολότερα θέματα τα οποία όμως άπτονται της σχολικής ύλης και χρησιμοποιούν αποκλειστικά θεωρήματα που βρίσκονται μέσα σε αυτή. Σε διαφορετική περίπτωση η σύνταξη του μηνύματος θα πρέπει να γίνει στο υποφόρουμ "Ο ΦΑΚΕΛΟΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΥ"

Συντονιστής: Μπάμπης Στεργίου

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 3069
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Ελάχιστη απόσταση γραφήματος

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Πέμ Μαρ 26, 2020 11:27 pm

Θεωρούμε την συνεχή συνάρτηση
f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}
για την οποία ισχύει
f(0)\neq 0

a)Να δείξετε ότι υπάρχει σημείο της C_{f}
που απέχει ελάχιστη απόσταση από το (0,0)

b)Αν επιπλέον η f είναι παραγωγίσημη και A=(x_0,f(x_0))
είναι ένα από τα σημεία της C_{f}που απέχει ελάχιστη απόσταση από το (0,0)
να δείξετε ότι το OA είναι κάθετο στην εφαπτομένη της C_{f} στο A
(O=(0,0))



Λέξεις Κλειδιά:
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 12181
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Ελάχιστη απόσταση γραφήματος

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Παρ Μαρ 27, 2020 12:11 am

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε:
Πέμ Μαρ 26, 2020 11:27 pm
Θεωρούμε την συνεχή συνάρτηση
f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}
για την οποία ισχύει
f(0)\neq 0

a)Να δείξετε ότι υπάρχει σημείο της C_{f}
που απέχει ελάχιστη απόσταση από το (0,0)

b)Αν επιπλέον η f είναι παραγωγίσημη και A=(x_0,f(x_0))
είναι ένα από τα σημεία της C_{f}που απέχει ελάχιστη απόσταση από το (0,0)
να δείξετε ότι το OA είναι κάθετο στην εφαπτομένη της C_{f} στο A
(O=(0,0))
α) H απόσταση του τυπικού σημείου (x,f(x)) του γραφήματος από το (0,0) είναι d(x) = \sqrt {x^2+f^2(x)}. Ως συνεχής και θετική συνάρτηση, έχει ολικό ελάχιστο.

β) Σε ολικό ελάχιστο έχουμε 0=d'(x_o) = \dfrac {x_o+f(x_o)f'(x_o)}{\sqrt {x_o^2+f^2(x_o)}}. Άρα από τον μηδενισμό του αριθμητή έχουμε \displaystyle{f'(x_o) \cdot \dfrac {f(x_o)}{x_o}=-1}. Δεδομένου ότι η κλίση της εφαπτομένης είναι f'(x_o) και της OA είναι  \dfrac {f(x_o)}{x_o}, έπεται η ζητούμενη καθετότητα.


Άβαταρ μέλους
Al.Koutsouridis
Δημοσιεύσεις: 1137
Εγγραφή: Πέμ Ιαν 30, 2014 11:58 pm
Τοποθεσία: Αθήνα

Re: Ελάχιστη απόσταση γραφήματος

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Al.Koutsouridis » Παρ Μαρ 27, 2020 1:01 am

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε:
Πέμ Μαρ 26, 2020 11:27 pm
Θεωρούμε την συνεχή συνάρτηση
f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}
για την οποία ισχύει
f(0)\neq 0

a)Να δείξετε ότι υπάρχει σημείο της C_{f}
που απέχει ελάχιστη απόσταση από το (0,0)

b)Αν επιπλέον η f είναι παραγωγίσημη και A=(x_0,f(x_0))
είναι ένα από τα σημεία της C_{f}που απέχει ελάχιστη απόσταση από το (0,0)
να δείξετε ότι το OA είναι κάθετο στην εφαπτομένη της C_{f} στο A
(O=(0,0))
α) Θεωρούμε την συνάρτηση απόστασης g(x)=\sqrt{f^2(x)+x^2} στο διάστημα [-|f(0)|, |f(0)|], που είναι συνεχής. Άρα υπάρχει σημείο στο οποίο λαμβάνει την ελάχιστη τιμή της σε αυτό το διάστημα. Έστω m, με m \leq f(0). Θα δείξουμε ότι για τα σημεία εκτός του παραπάνω διαστήματος η απόσταση δεν μπορεί να είναι μικρότερη από αυτή την ελάχιστη.

Πράγματι, έστω x_{1}, με |x_{1}| > |f(0)| σημείο για το οποίο η απόσταση OM του σημείου (x_{1}, f(x_{1})) από το σημείο (0,0) είναι μικρότερη από το m. Τότε η προβολή του διαστήματος OM στον άξονα των x είναι ίση με |x_{1}| \leq OM \leq |f(0)|. Άτοπο.


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 12181
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Ελάχιστη απόσταση γραφήματος

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Παρ Μαρ 27, 2020 8:01 am

Al.Koutsouridis έγραψε:
Παρ Μαρ 27, 2020 1:01 am
Πράγματι, έστω x_{1}, με |x_{1}| > |f(0)| σημείο για το οποίο η απόσταση OM του σημείου (x_{1}, f(x_{1})) από το σημείο (0,0) είναι μικρότερη από το m. Τότε η προβολή του διαστήματος OM στον άξονα των x είναι ίση με |x_{1}| \leq OM \leq |f(0)|. Άτοπο.
Ας το δούμε και αλγεβρικά: Για σημείο x_o ελαχίστου έχουμε |x_o| \le \sqrt {x_o^2+f^2(x_o)} \le \sqrt {0^2+f^2(0)} =|f(0)|, όπως θέλαμε.


Άβαταρ μέλους
exdx
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1453
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 6:00 pm
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης
Επικοινωνία:

Re: Ελάχιστη απόσταση γραφήματος

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από exdx » Παρ Μαρ 27, 2020 8:52 am

Η \displaystyle OA είναι κάθετη στην εφαπτομένη , διότι αν δεν ήταν , θα ήταν κάποια άλλη , ας πούμε η \displaystyle OB .
Τότε \displaystyle OB < OA ,άτοπο .


Kαλαθάκης Γιώργης
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 12181
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Ελάχιστη απόσταση γραφήματος

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Παρ Μαρ 27, 2020 10:17 am

exdx έγραψε:
Παρ Μαρ 27, 2020 8:52 am
Η \displaystyle OA είναι κάθετη στην εφαπτομένη , διότι αν δεν ήταν , θα ήταν κάποια άλλη , ας πούμε η \displaystyle OB .
Τότε \displaystyle OB < OA ,άτοπο .
Προσοχή, το σημείο όπου η OB τέμνει την εφαπτομένη, δεν είναι κατ' ανάγκη σημείο της καμπύλης. Οπότε ισχύει με OB<OA αλλά δεν δίνει άτοπο.


Άβαταρ μέλους
exdx
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1453
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 6:00 pm
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης
Επικοινωνία:

Re: Ελάχιστη απόσταση γραφήματος

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από exdx » Παρ Μαρ 27, 2020 11:36 am

Όντως. Είχα στο μυαλό μου μια κυρτή συνάρτηση .


Kαλαθάκης Γιώργης
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 12181
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Ελάχιστη απόσταση γραφήματος

#8

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Παρ Μαρ 27, 2020 2:09 pm

H λύση που έγραψα έχει δύο μικρά κενά, αλλά είναι εύκολο να συμπληρωθούν.
Mihalis_Lambrou έγραψε:
Παρ Μαρ 27, 2020 12:11 am
α) H απόσταση του τυπικού σημείου (x,f(x)) του γραφήματος από το (0,0) είναι d(x) = \sqrt {x^2+f^2(x)}. Ως συνεχής και θετική συνάρτηση, έχει ολικό ελάχιστο.
.
Εδώ το πεδίο ορισμού είναι όλο το \mathbb R, οπότε για να επικαλεστούμε το σχολικό βιβλίο πρέπει ακόμα να πούμε ότι αφού \displaystyle{\lim _{x\to \pm \infty} d (x)=\infty} μπορούμε χωρίς βλάβη να περιοριστούμε σε διάστημα tτης μορφής [-M,M] όπου έξω από αυτό η συνάρτηση παίρνει μεγάλες τιμές (μας αρκεί \ge|f(0)|)
Mihalis_Lambrou έγραψε:
Παρ Μαρ 27, 2020 12:11 am
Δεδομένου ότι η κλίση της εφαπτομένης είναι f'(x_o) και της OA είναι  \dfrac {f(x_o)}{x_o}, έπεται η ζητούμενη καθετότητα.
.
Την περίπτωση x_o=0, λόγω παρονομαστή, πρέπει να την δούμε χωριστά: Σε αυτή την περίπτωση η μεν εφαπτομένη στο γράφημα είναι οριζόντια το δε διάστημα με άκρα (0,0),\, (0, f(0)) είναι κατακόρυφο. Άρα πάλι έχουμε την ζητούμενη καθετότητα.

Ευχαριστώ τον θεματοθέτη Σταύρο, που μου επεσήμανε τις ατασθαλίες.


Άβαταρ μέλους
R BORIS
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2233
Εγγραφή: Σάβ Ιαν 03, 2009 8:08 am
Επικοινωνία:

Re: Ελάχιστη απόσταση γραφήματος

#9

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από R BORIS » Σάβ Μαρ 28, 2020 7:20 am

θυμίζει λίγο το ότι
οι δυναμικές γραμμές είναι κάθετες στις ισοδυναμικές επιφάνειες?


Άβαταρ μέλους
Γιώργος Ρίζος
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4644
Εγγραφή: Δευ Δεκ 29, 2008 1:18 pm
Τοποθεσία: Κέρκυρα

Re: Ελάχιστη απόσταση γραφήματος

#10

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Ρίζος » Σάβ Μαρ 28, 2020 10:46 am

Καλημέρα σε όλους. Εικάζω ότι ο Σταύρος εμπνεύστηκε από το θέμα του Θανάση ΕΔΩ.

Θα επιχειρήσω να προεκτείνω το συλλογισμό του Γιώργη, δίχως την αναγκαιότητα να είναι κυρτή η καμπύλη.
exdx έγραψε:
Παρ Μαρ 27, 2020 8:52 am
Η \displaystyle OA είναι κάθετη στην εφαπτομένη , διότι αν δεν ήταν , θα ήταν κάποια άλλη , ας πούμε η \displaystyle OB .
Τότε \displaystyle OB < OA ,άτοπο .
Ελάχιστη απόσταση από καμπύλη.png
Ελάχιστη απόσταση από καμπύλη.png (28.43 KiB) Προβλήθηκε 488 φορές

b) Έστω f παραγωγίσιμη για κάθε x \in R, οπότε σε κάθε σημείο της M(x, f(x) δέχεται εφαπτομένη (e), (που δεν είναι κάθετη στον οριζόντιο άξονα).

Έστω ημιευθεία  \displaystyle Ot \bot \left( e \right) , με σημείο τομής B. Τότε, είτε σχηματίζεται ορθογώνιο τρίγωνο MOB, είτε η εφαπτομένη (e) διέρχεται από το O (δηλαδή ταυτίζονται τα O, B), είτε ταυτίζονται τα M, B , οπότε στο M έχουμε  \displaystyle OM \bot \left( e \right) .
Στις δύο πρώτες περιπτώσεις είναι OM > OB, ενώ στην τρίτη έχουμε OM = OB.

Άρα για κάθε x \in R είναι OM \ge OB, με το «ίσον» όταν ταυτίζονται. Αν δεν υπήρχαν τέτοια σημεία, τότε το OM δεν θα έπαιρνε ελάχιστη τιμή, άτοπο, αφού υπάρχει  \displaystyle A({x_0},f({x_0})) που απέχει την ελάχιστη απόσταση m από το O(0,0).

Οπότε είναι OM \ge OA = m = OB με το ίσον όταν ταυτίζονται, άρα  \displaystyle OA \bot \left( e \right) .

edit: Τώρα, το ότι η συζήτηση αυτή έχει αριθμό #66666, ελπίζω να μην σας επηρεάσει στο να συμμετέχετε.


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 12181
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Ελάχιστη απόσταση γραφήματος

#11

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Σάβ Μαρ 28, 2020 11:47 am

Γιώργος Ρίζος έγραψε:
Σάβ Μαρ 28, 2020 10:46 am
Καλημέρα σε όλους. Εικάζω ότι ο Σταύρος εμπνεύστηκε από το θέμα του Θανάση ΕΔΩ.
Γιώργο, θα έλεγα πως δεν αληθεύει ο συνειρμός για πιθανή ρίζα της έμπνευσης, για πολλούς λόγους. Ο πρώτος είναι γιατί η άσκηση με την παραβολή είναι αρκετά κοινή. Π.χ. υπάρχει ακόμα και χωρίς χρήση παραγώγου στην παρ. 7.6 του βιβλίου του Niven, Maxima and minima without Calculus. Εκεί και γενίκευση καθώς και εκτενής συζήτηση. Επίσης υπάρχει σε σχεδόν όλα τα βιβλία Απειροστικού.

Όμως υπάρχει και γενίκευση στις πολλές μεταβλητές η οποία βρίσκεται ως άσκηση σε σχεδόν όλα τα βιβλία Multivatate Calculus. Η γενίκευση είναι ότι για κλειστές ξένες καμπύλες, με "απαλές" συνθήκες διαφορισιμότητας, το ελάχιστο τμήμα με άκρα στις δύο καμπύλες είναι κάθετο και στις δύο.

Ας προσθέσω ότι και ο Απολλώνιος στα Κωνικά του, βιβλίο ε', έχει αρκετή συζήτηση για την ελάχιστη απόσταση σημείου από κωνική, Δείχνει (απίστευτο αλλά αληθινό γιατί εργάζεται χωρίς παραγώγους) την εν λόγω ιδιότητα καθετότητας.


ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 3069
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Ελάχιστη απόσταση γραφήματος

#12

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Σάβ Μαρ 28, 2020 12:36 pm

Γιώργος Ρίζος έγραψε:
Σάβ Μαρ 28, 2020 10:46 am
Καλημέρα σε όλους. Εικάζω ότι ο Σταύρος εμπνεύστηκε από το θέμα του Θανάση ΕΔΩ.

Θα επιχειρήσω να προεκτείνω το συλλογισμό του Γιώργη, δίχως την αναγκαιότητα να είναι κυρτή η καμπύλη.
exdx έγραψε:
Παρ Μαρ 27, 2020 8:52 am
Η \displaystyle OA είναι κάθετη στην εφαπτομένη , διότι αν δεν ήταν , θα ήταν κάποια άλλη , ας πούμε η \displaystyle OB .
Τότε \displaystyle OB < OA ,άτοπο .
Ελάχιστη απόσταση από καμπύλη.png


b) Έστω f παραγωγίσιμη για κάθε x \in R, οπότε σε κάθε σημείο της M(x, f(x) δέχεται εφαπτομένη (e), (που δεν είναι κάθετη στον οριζόντιο άξονα).

Έστω ημιευθεία  \displaystyle Ot \bot \left( e \right) , με σημείο τομής B. Τότε, είτε σχηματίζεται ορθογώνιο τρίγωνο MOB, είτε η εφαπτομένη (e) διέρχεται από το O (δηλαδή ταυτίζονται τα O, B), είτε ταυτίζονται τα M, B , οπότε στο M έχουμε  \displaystyle OM \bot \left( e \right) .
Στις δύο πρώτες περιπτώσεις είναι OM > OB, ενώ στην τρίτη έχουμε OM = OB.

Άρα για κάθε x \in R είναι OM \ge OB, με το «ίσον» όταν ταυτίζονται. Αν δεν υπήρχαν τέτοια σημεία, τότε το OM δεν θα έπαιρνε ελάχιστη τιμή, άτοπο, αφού υπάρχει  \displaystyle A({x_0},f({x_0})) που απέχει την ελάχιστη απόσταση m από το O(0,0).

Οπότε είναι OM \ge OA = m = OB με το ίσον όταν ταυτίζονται, άρα  \displaystyle OA \bot \left( e \right) .

edit: Τώρα, το ότι η συζήτηση αυτή έχει αριθμό #66666, ελπίζω να μην σας επηρεάσει στο να συμμετέχετε.
Ως προς την έμπνευση είναι όπως τα έγραψε ο Μιχάλης.

Δεν καταλαβαίνω το
Γιώργος Ρίζος έγραψε:
Σάβ Μαρ 28, 2020 10:46 am
Οπότε είναι OM \ge OA = m = OB με το ίσον όταν ταυτίζονται, άρα  \displaystyle OA \bot \left( e \right) .


Άβαταρ μέλους
Γιώργος Ρίζος
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4644
Εγγραφή: Δευ Δεκ 29, 2008 1:18 pm
Τοποθεσία: Κέρκυρα

Re: Ελάχιστη απόσταση γραφήματος

#13

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Ρίζος » Σάβ Μαρ 28, 2020 2:12 pm

Μιχάλη, Σταύρο ευχαριστώ για την άμεση απάντηση.

Εντάξει, επειδή ήταν πρόσφατη η ανάρτηση του Θανάση, νόμισα ότι αυτή ήταν η αφορμή. Ας μείνει η παρατήρηση για όποιον μελλοντικό αναγνώστη θα ήθελε να συνδυάσει τις δύο συζητήσεις.

Παραθέτω το κείμενο του Niven, που αναφέρει ο Μιχάλης, και στο οποίο γίνεται αναφορά σε κοινή εφαπτομένη της καμπύλης με τον μικρότερο κύκλο κέντρου O, που έχει ένα κοινό σημείο με την καμπύλη.

Niven p.137.jpg
Niven p.137.jpg (131.87 KiB) Προβλήθηκε 440 φορές

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε:
Σάβ Μαρ 28, 2020 12:36 pm

Δεν καταλαβαίνω το
Γιώργος Ρίζος έγραψε:
Σάβ Μαρ 28, 2020 10:46 am
Οπότε είναι OM \ge OA = m = OB με το ίσον όταν ταυτίζονται, άρα  \displaystyle OA \bot \left( e \right) .

Ξαναγράφω το σκεπτικό μου, με την παράκληση στον Σταύρο ή όποιον θα ήθελε, όταν θα έχει χρόνο, να μού υποδείξει με ακρίβεια το (ή τα) αδύνατα σημεία του συλλογισμού.


Για κάθε σημείο M της C_f είναι OM \ge OB, (όπως ορίστηκε το B). Tο «ίσον» ισχύει όταν ταυτίζονται.

Υπάρχει (όπως δείξαμε) τουλάχιστον ένα σημείο Β που ταυτίζεται με το κάποιο από τα σημεία M. Είναι το σημείο (ή τα σημεία) επαφής C_f και (e). Ας τα πούμε B_i, i = 1,2 , …, k,….

Για κάθε ένα από αυτά τα σημεία, αφού είναι σημεία της καμπύλης, θα είναι OM \ge OB_i \ge OA, για κάθε M \in C_f.

Αφού λοιπόν υπάρχει M \in C_f που ταυτίζεται με το A, τότε για τουλάχιστον ένα απ’ αυτά τα σημεία, π.χ. το OB_k είναι OB_k = OA, οπότε το OA είναι κάθετο στην (e).


Άβαταρ μέλους
Al.Koutsouridis
Δημοσιεύσεις: 1137
Εγγραφή: Πέμ Ιαν 30, 2014 11:58 pm
Τοποθεσία: Αθήνα

Re: Ελάχιστη απόσταση γραφήματος

#14

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Al.Koutsouridis » Σάβ Μαρ 28, 2020 2:33 pm

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε:
Πέμ Μαρ 26, 2020 11:27 pm
Θεωρούμε την συνεχή συνάρτηση
f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}
για την οποία ισχύει
f(0)\neq 0

a)Να δείξετε ότι υπάρχει σημείο της C_{f}
που απέχει ελάχιστη απόσταση από το (0,0)

b)Αν επιπλέον η f είναι παραγωγίσημη και A=(x_0,f(x_0))
είναι ένα από τα σημεία της C_{f}που απέχει ελάχιστη απόσταση από το (0,0)
να δείξετε ότι το OA είναι κάθετο στην εφαπτομένη της C_{f} στο A
(O=(0,0))
Οι αρχικές μου σκέψεις και για το (β) ερώτημα ήταν κάπως γεωμετρικές, δεν είμαι σίγουρως αν είναι αυστηρές και σωστές και δεν τις έγραψα. Αφού όμως συνέχισε η κουβέντα, ας τις γράψω.
elaxisth_apostash_grafhmatos.png
elaxisth_apostash_grafhmatos.png (9.8 KiB) Προβλήθηκε 428 φορές
β) Θεωρώ την συνάρτηση h(x)=f(x)-g(x) στο διάστημα (-m,m), όπου m η ελάχιστη απόσταση της συνάρτησης f(x) από την αρχή των αξόνων και g(x) η συνάρτηση του ημικύκλιο ακτίνας m με κέντρο την αρχή των αξόνων.

Στο παραπάνω διάστημα είναι h(x) \geq 0 γιατί διαφορετικά θα υπήρχε σημείο x_{1} για το οποίο  f(x_{1}) < g(x_{1}). Δηλαδή το σημείο \left ( x_{1}, f(x_{1}) \right) θα ήταν εσωτερικό του κύκλου και η απόσταση από το (0,0) θα ήταν μικρότερη του m.

Η συνάρτηση h(x) είναι παραγωγίσιμη ως άθροισμα παραγωγίσιμων συναρτήσεων. Και επειδή τα σημεία ελαχίστου απόστασης x_{0} είναι και σημεία στα οποία η h(x) λαμβάνει την ελάχιστη τιμή της 0, από το θεώρημα του Fermat θα είναι h^{\prime}(x_{0})=0 \Rightarrow f^{\prime}(x_{0}) = g^{\prime}(x_{0}). Η εφαπτομένη όμως της g(x) σε ένα σημείο της (ημικυκλίου) είναι κάθετη στην ακτίνα που συνδέει αυτό το σημείο. Άρα και η εφαπτομένη της f(x) στη θέση ελαχίστου θα είναι κάθετη σε αυτό το ελάχιστο ευθύγραμμο τμήμα.

Ομοίως εργαζόμαστε στην περίπτωση που τα σημεία ελαχίστου απόστασης βρίσκονται στο άλλο ημικύκλιο.

Αν δεν κάνω λάθος μπορεί να δειχθεί ότι αν η συνάρτηση f(x) δέχεται κάθετη εφαπτομένη σε ένα σημείο τότε αυτό δεν μπορεί να είναι σημείο ελάχιστης απόστασης.


Άβαταρ μέλους
Al.Koutsouridis
Δημοσιεύσεις: 1137
Εγγραφή: Πέμ Ιαν 30, 2014 11:58 pm
Τοποθεσία: Αθήνα

Re: Ελάχιστη απόσταση γραφήματος

#15

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Al.Koutsouridis » Κυρ Μαρ 29, 2020 2:29 pm

Καληπέρα κ.Γιώργο,
Γιώργος Ρίζος έγραψε:
Σάβ Μαρ 28, 2020 10:46 am

b) Έστω f παραγωγίσιμη για κάθε x \in R, οπότε σε κάθε σημείο της M(x, f(x) δέχεται εφαπτομένη (e), (που δεν είναι κάθετη στον οριζόντιο άξονα).

Έστω ημιευθεία  \displaystyle Ot \bot \left( e \right) , με σημείο τομής B. Τότε, είτε σχηματίζεται ορθογώνιο τρίγωνο MOB, είτε η εφαπτομένη (e) διέρχεται από το O (δηλαδή ταυτίζονται τα O, B), είτε ταυτίζονται τα M, B , οπότε στο M έχουμε  \displaystyle OM \bot \left( e \right) .
Στις δύο πρώτες περιπτώσεις είναι OM > OB, ενώ στην τρίτη έχουμε OM = OB.

Άρα για κάθε x \in R είναι OM \ge OB, με το «ίσον» όταν ταυτίζονται. Αν δεν υπήρχαν τέτοια σημεία, τότε το OM δεν θα έπαιρνε ελάχιστη τιμή, άτοπο, αφού υπάρχει  \displaystyle A({x_0},f({x_0})) που απέχει την ελάχιστη απόσταση m από το O(0,0).

Οπότε είναι OM \ge OA = m = OB με το ίσον όταν ταυτίζονται, άρα  \displaystyle OA \bot \left( e \right) .

Η χρωματισμένη πρόταση νομίζω δεν είναι αυστηρή. Το OB είναι συναρτήσει του σημείου M και όχι σταθερού μήκους. Το ότι το OM παίρνει ελάχιστη τιμή δεν σημαίνει απαραίτητα ότι υπάρχει σημείο B ώστε B,M να ταυτίζονται.


ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 3069
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Ελάχιστη απόσταση γραφήματος

#16

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Κυρ Μαρ 29, 2020 3:13 pm

Al.Koutsouridis έγραψε:
Σάβ Μαρ 28, 2020 2:33 pm
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε:
Πέμ Μαρ 26, 2020 11:27 pm
Θεωρούμε την συνεχή συνάρτηση
f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}
για την οποία ισχύει
f(0)\neq 0

a)Να δείξετε ότι υπάρχει σημείο της C_{f}
που απέχει ελάχιστη απόσταση από το (0,0)

b)Αν επιπλέον η f είναι παραγωγίσημη και A=(x_0,f(x_0))
είναι ένα από τα σημεία της C_{f}που απέχει ελάχιστη απόσταση από το (0,0)
να δείξετε ότι το OA είναι κάθετο στην εφαπτομένη της C_{f} στο A
(O=(0,0))
Οι αρχικές μου σκέψεις και για το (β) ερώτημα ήταν κάπως γεωμετρικές, δεν είμαι σίγουρως αν είναι αυστηρές και σωστές και δεν τις έγραψα. Αφού όμως συνέχισε η κουβέντα, ας τις γράψω.

elaxisth_apostash_grafhmatos.png

β) Θεωρώ την συνάρτηση h(x)=f(x)-g(x) στο διάστημα (-m,m), όπου m η ελάχιστη απόσταση της συνάρτησης f(x) από την αρχή των αξόνων και g(x) η συνάρτηση του ημικύκλιο ακτίνας m με κέντρο την αρχή των αξόνων.

Στο παραπάνω διάστημα είναι h(x) \geq 0 γιατί διαφορετικά θα υπήρχε σημείο x_{1} για το οποίο  f(x_{1}) < g(x_{1}). Δηλαδή το σημείο \left ( x_{1}, f(x_{1}) \right) θα ήταν εσωτερικό του κύκλου και η απόσταση από το (0,0) θα ήταν μικρότερη του m.

Η συνάρτηση h(x) είναι παραγωγίσιμη ως άθροισμα παραγωγίσιμων συναρτήσεων. Και επειδή τα σημεία ελαχίστου απόστασης x_{0} είναι και σημεία στα οποία η h(x) λαμβάνει την ελάχιστη τιμή της 0, από το θεώρημα του Fermat θα είναι h^{\prime}(x_{0})=0 \Rightarrow f^{\prime}(x_{0}) = g^{\prime}(x_{0}). Η εφαπτομένη όμως της g(x) σε ένα σημείο της (ημικυκλίου) είναι κάθετη στην ακτίνα που συνδέει αυτό το σημείο. Άρα και η εφαπτομένη της f(x) στη θέση ελαχίστου θα είναι κάθετη σε αυτό το ελάχιστο ευθύγραμμο τμήμα.

Ομοίως εργαζόμαστε στην περίπτωση που τα σημεία ελαχίστου απόστασης βρίσκονται στο άλλο ημικύκλιο.

Αν δεν κάνω λάθος μπορεί να δειχθεί ότι αν η συνάρτηση f(x) δέχεται κάθετη εφαπτομένη σε ένα σημείο τότε αυτό δεν μπορεί να είναι σημείο ελάχιστης απόστασης.
Η απόδειξη είναι σωστή με την εξης επιπλέον υπόθεση
το A=(x_0,f(x_0)) έχει
f(x_0)\neq 0
Al.Koutsouridis έγραψε:
Σάβ Μαρ 28, 2020 2:33 pm
Αν δεν κάνω λάθος μπορεί να δειχθεί ότι αν η συνάρτηση f(x) δέχεται κάθετη εφαπτομένη σε ένα σημείο τότε αυτό δεν μπορεί να είναι σημείο ελάχιστης απόστασης.
Ελάχιστη γίνεται η απόσταση όταν η
g(x)=x^2+f^2(x) έχει ελάχιστο .
Εκεί όμως που έχει ελάχιστο πρέπει η δεξιά παράγωγος να είναι μη αρνητική και
η αριστερή μη θετική.
Αυτό δεν μπορεί να γίνει αν f(x_0)\neq 0
Αν f(x_0)=0 τότε μπορεί να γίνει.
(το παράδειγμα είναι απλό)


Άβαταρ μέλους
Al.Koutsouridis
Δημοσιεύσεις: 1137
Εγγραφή: Πέμ Ιαν 30, 2014 11:58 pm
Τοποθεσία: Αθήνα

Re: Ελάχιστη απόσταση γραφήματος

#17

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Al.Koutsouridis » Κυρ Μαρ 29, 2020 4:01 pm

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε:
Κυρ Μαρ 29, 2020 3:13 pm

Η απόδειξη είναι σωστή με την εξης επιπλέον υπόθεση
το A=(x_0,f(x_0)) έχει
f(x_0)\neq 0
Al.Koutsouridis έγραψε:
Σάβ Μαρ 28, 2020 2:33 pm
Αν δεν κάνω λάθος μπορεί να δειχθεί ότι αν η συνάρτηση f(x) δέχεται κάθετη εφαπτομένη σε ένα σημείο τότε αυτό δεν μπορεί να είναι σημείο ελάχιστης απόστασης.
Σωστά στην περίπτωση f(x_{0})=0 (στο -m ) δε ξέρω αν σώζεται κάπως έτσι: Είναι

\displaystyle{\lim_{x \to x^{+}_{0}} \dfrac{f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}} \geq \lim_{x \to x^{+}_{0}} \dfrac{g(x)-g(x_{0})}{x-x_{0}} = + \infty}

Άρα σε τέτοια περίπτωση η C_{f} θα δέχεται κάθετη εφαπτομένη σε αυτό το σημείο, οπότε και πάλι OA κάθετο προς την εφαπτομένη. Ομοίως στην άλλη άκρη του ημικυκλίου. Έχοντας υπόψη δυο περιπτώσεις για την f(x) στο διάστημα (-m,m) να είναι θετική όπως παραπάνω ή αρνητική.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε:
Κυρ Μαρ 29, 2020 3:13 pm
Ελάχιστη γίνεται η απόσταση όταν η
g(x)=x^2+f^2(x) έχει ελάχιστο .
Εκεί όμως που έχει ελάχιστο πρέπει η δεξιά παράγωγος να είναι μη αρνητική και
η αριστερή μη θετική.
Αυτό δεν μπορεί να γίνει αν f(x_0)\neq 0
Αν f(x_0)=0 τότε μπορεί να γίνει.
(το παράδειγμα είναι απλό)

Ναι αντιπαράδειγμα λίγο "εκφυλισμένο" αλλά δουλεύει, είναι δυο ημικύκλια κολλημένα ανάποδα στο σημείο x_{0}.


Άβαταρ μέλους
Γιώργος Ρίζος
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4644
Εγγραφή: Δευ Δεκ 29, 2008 1:18 pm
Τοποθεσία: Κέρκυρα

Re: Ελάχιστη απόσταση γραφήματος

#18

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Ρίζος » Κυρ Μαρ 29, 2020 4:57 pm

Al.Koutsouridis έγραψε:
Κυρ Μαρ 29, 2020 2:29 pm

Η χρωματισμένη πρόταση νομίζω δεν είναι αυστηρή. Το OB είναι συναρτήσει του σημείου M και όχι σταθερού μήκους. Το ότι το OM παίρνει ελάχιστη τιμή δεν σημαίνει απαραίτητα ότι υπάρχει σημείο B ώστε B,M να ταυτίζονται.
Αλέξανδρε σε ευχαριστώ για την παρέμβαση. Το σημείο αυτό μού το διασαφήνισε με λεπτομέρεια ο Σταύρος σε ανταλλαγή προσωπικών μηνυμάτων.

"Κάτι ξέρει" ο Niven που γράφει ότι πρώτη μας επιλογή είναι η χρήση αλγεβρικών μεθόδων (τελευταία αράδα στο συνημμένο κείμενο). Εποπτικά το μήκος OM φαίνεται να διατρέχει ένα διάστημα με κλειστό κάτω άκρο το m. Αυτό, όμως είναι εικασία "προς απόδειξη".

Σάς ευχαριστώ ξανά και τους δύο.


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΘΕΜΑΤΑ ΜΕ ΑΠΑΙΤΗΣΕΙΣ Γ'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης