Ελάχιστη απόσταση γραφήματος
Συντονιστής: Μπάμπης Στεργίου
-
- Δημοσιεύσεις: 3600
- Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
- Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ
Ελάχιστη απόσταση γραφήματος
Θεωρούμε την συνεχή συνάρτηση
για την οποία ισχύει
a)Να δείξετε ότι υπάρχει σημείο της
που απέχει ελάχιστη απόσταση από το
b)Αν επιπλέον η είναι παραγωγίσημη και
είναι ένα από τα σημεία της που απέχει ελάχιστη απόσταση από το
να δείξετε ότι το είναι κάθετο στην εφαπτομένη της στο
()
για την οποία ισχύει
a)Να δείξετε ότι υπάρχει σημείο της
που απέχει ελάχιστη απόσταση από το
b)Αν επιπλέον η είναι παραγωγίσημη και
είναι ένα από τα σημεία της που απέχει ελάχιστη απόσταση από το
να δείξετε ότι το είναι κάθετο στην εφαπτομένη της στο
()
Λέξεις Κλειδιά:
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 15764
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
Re: Ελάχιστη απόσταση γραφήματος
α) H απόσταση του τυπικού σημείου του γραφήματος από το είναι . Ως συνεχής και θετική συνάρτηση, έχει ολικό ελάχιστο.ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: ↑Πέμ Μαρ 26, 2020 11:27 pmΘεωρούμε την συνεχή συνάρτηση
για την οποία ισχύει
a)Να δείξετε ότι υπάρχει σημείο της
που απέχει ελάχιστη απόσταση από το
b)Αν επιπλέον η είναι παραγωγίσημη και
είναι ένα από τα σημεία της που απέχει ελάχιστη απόσταση από το
να δείξετε ότι το είναι κάθετο στην εφαπτομένη της στο
()
β) Σε ολικό ελάχιστο έχουμε . Άρα από τον μηδενισμό του αριθμητή έχουμε . Δεδομένου ότι η κλίση της εφαπτομένης είναι και της είναι , έπεται η ζητούμενη καθετότητα.
- Al.Koutsouridis
- Δημοσιεύσεις: 1798
- Εγγραφή: Πέμ Ιαν 30, 2014 11:58 pm
- Τοποθεσία: Αθήνα
Re: Ελάχιστη απόσταση γραφήματος
α) Θεωρούμε την συνάρτηση απόστασης στο διάστημα , που είναι συνεχής. Άρα υπάρχει σημείο στο οποίο λαμβάνει την ελάχιστη τιμή της σε αυτό το διάστημα. Έστω , με . Θα δείξουμε ότι για τα σημεία εκτός του παραπάνω διαστήματος η απόσταση δεν μπορεί να είναι μικρότερη από αυτή την ελάχιστη.ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: ↑Πέμ Μαρ 26, 2020 11:27 pmΘεωρούμε την συνεχή συνάρτηση
για την οποία ισχύει
a)Να δείξετε ότι υπάρχει σημείο της
που απέχει ελάχιστη απόσταση από το
b)Αν επιπλέον η είναι παραγωγίσημη και
είναι ένα από τα σημεία της που απέχει ελάχιστη απόσταση από το
να δείξετε ότι το είναι κάθετο στην εφαπτομένη της στο
()
Πράγματι, έστω , με σημείο για το οποίο η απόσταση του σημείου από το σημείο είναι μικρότερη από το . Τότε η προβολή του διαστήματος στον άξονα των είναι ίση με . Άτοπο.
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 15764
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
Re: Ελάχιστη απόσταση γραφήματος
Ας το δούμε και αλγεβρικά: Για σημείο ελαχίστου έχουμε , όπως θέλαμε.Al.Koutsouridis έγραψε: ↑Παρ Μαρ 27, 2020 1:01 amΠράγματι, έστω , με σημείο για το οποίο η απόσταση του σημείου από το σημείο είναι μικρότερη από το . Τότε η προβολή του διαστήματος στον άξονα των είναι ίση με . Άτοπο.
- exdx
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 1742
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 6:00 pm
- Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης
- Επικοινωνία:
Re: Ελάχιστη απόσταση γραφήματος
Η είναι κάθετη στην εφαπτομένη , διότι αν δεν ήταν , θα ήταν κάποια άλλη , ας πούμε η .
Τότε ,άτοπο .
Τότε ,άτοπο .
Kαλαθάκης Γιώργης
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 15764
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
Re: Ελάχιστη απόσταση γραφήματος
Προσοχή, το σημείο όπου η τέμνει την εφαπτομένη, δεν είναι κατ' ανάγκη σημείο της καμπύλης. Οπότε ισχύει με αλλά δεν δίνει άτοπο.
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 15764
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
Re: Ελάχιστη απόσταση γραφήματος
H λύση που έγραψα έχει δύο μικρά κενά, αλλά είναι εύκολο να συμπληρωθούν.
Εδώ το πεδίο ορισμού είναι όλο το , οπότε για να επικαλεστούμε το σχολικό βιβλίο πρέπει ακόμα να πούμε ότι αφού μπορούμε χωρίς βλάβη να περιοριστούμε σε διάστημα tτης μορφής όπου έξω από αυτό η συνάρτηση παίρνει μεγάλες τιμές (μας αρκεί )
Την περίπτωση , λόγω παρονομαστή, πρέπει να την δούμε χωριστά: Σε αυτή την περίπτωση η μεν εφαπτομένη στο γράφημα είναι οριζόντια το δε διάστημα με άκρα είναι κατακόρυφο. Άρα πάλι έχουμε την ζητούμενη καθετότητα.
Ευχαριστώ τον θεματοθέτη Σταύρο, που μου επεσήμανε τις ατασθαλίες.
.Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑Παρ Μαρ 27, 2020 12:11 amα) H απόσταση του τυπικού σημείου του γραφήματος από το είναι . Ως συνεχής και θετική συνάρτηση, έχει ολικό ελάχιστο.
Εδώ το πεδίο ορισμού είναι όλο το , οπότε για να επικαλεστούμε το σχολικό βιβλίο πρέπει ακόμα να πούμε ότι αφού μπορούμε χωρίς βλάβη να περιοριστούμε σε διάστημα tτης μορφής όπου έξω από αυτό η συνάρτηση παίρνει μεγάλες τιμές (μας αρκεί )
.Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑Παρ Μαρ 27, 2020 12:11 amΔεδομένου ότι η κλίση της εφαπτομένης είναι και της είναι , έπεται η ζητούμενη καθετότητα.
Την περίπτωση , λόγω παρονομαστή, πρέπει να την δούμε χωριστά: Σε αυτή την περίπτωση η μεν εφαπτομένη στο γράφημα είναι οριζόντια το δε διάστημα με άκρα είναι κατακόρυφο. Άρα πάλι έχουμε την ζητούμενη καθετότητα.
Ευχαριστώ τον θεματοθέτη Σταύρο, που μου επεσήμανε τις ατασθαλίες.
Re: Ελάχιστη απόσταση γραφήματος
θυμίζει λίγο το ότι
οι δυναμικές γραμμές είναι κάθετες στις ισοδυναμικές επιφάνειες?
οι δυναμικές γραμμές είναι κάθετες στις ισοδυναμικές επιφάνειες?
- Γιώργος Ρίζος
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 5285
- Εγγραφή: Δευ Δεκ 29, 2008 1:18 pm
- Τοποθεσία: Κέρκυρα
Re: Ελάχιστη απόσταση γραφήματος
Καλημέρα σε όλους. Εικάζω ότι ο Σταύρος εμπνεύστηκε από το θέμα του Θανάση ΕΔΩ.
Θα επιχειρήσω να προεκτείνω το συλλογισμό του Γιώργη, δίχως την αναγκαιότητα να είναι κυρτή η καμπύλη.
b) Έστω παραγωγίσιμη για κάθε , οπότε σε κάθε σημείο της δέχεται εφαπτομένη , (που δεν είναι κάθετη στον οριζόντιο άξονα).
Έστω ημιευθεία , με σημείο τομής . Τότε, είτε σχηματίζεται ορθογώνιο τρίγωνο , είτε η εφαπτομένη διέρχεται από το (δηλαδή ταυτίζονται τα ), είτε ταυτίζονται τα , οπότε στο έχουμε .
Στις δύο πρώτες περιπτώσεις είναι , ενώ στην τρίτη έχουμε .
Άρα για κάθε είναι , με το «ίσον» όταν ταυτίζονται. Αν δεν υπήρχαν τέτοια σημεία, τότε το δεν θα έπαιρνε ελάχιστη τιμή, άτοπο, αφού υπάρχει που απέχει την ελάχιστη απόσταση από το .
Οπότε είναι με το ίσον όταν ταυτίζονται, άρα .
edit: Τώρα, το ότι η συζήτηση αυτή έχει αριθμό #66666, ελπίζω να μην σας επηρεάσει στο να συμμετέχετε.
Θα επιχειρήσω να προεκτείνω το συλλογισμό του Γιώργη, δίχως την αναγκαιότητα να είναι κυρτή η καμπύλη.
b) Έστω παραγωγίσιμη για κάθε , οπότε σε κάθε σημείο της δέχεται εφαπτομένη , (που δεν είναι κάθετη στον οριζόντιο άξονα).
Έστω ημιευθεία , με σημείο τομής . Τότε, είτε σχηματίζεται ορθογώνιο τρίγωνο , είτε η εφαπτομένη διέρχεται από το (δηλαδή ταυτίζονται τα ), είτε ταυτίζονται τα , οπότε στο έχουμε .
Στις δύο πρώτες περιπτώσεις είναι , ενώ στην τρίτη έχουμε .
Άρα για κάθε είναι , με το «ίσον» όταν ταυτίζονται. Αν δεν υπήρχαν τέτοια σημεία, τότε το δεν θα έπαιρνε ελάχιστη τιμή, άτοπο, αφού υπάρχει που απέχει την ελάχιστη απόσταση από το .
Οπότε είναι με το ίσον όταν ταυτίζονται, άρα .
edit: Τώρα, το ότι η συζήτηση αυτή έχει αριθμό #66666, ελπίζω να μην σας επηρεάσει στο να συμμετέχετε.
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 15764
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
Re: Ελάχιστη απόσταση γραφήματος
Γιώργο, θα έλεγα πως δεν αληθεύει ο συνειρμός για πιθανή ρίζα της έμπνευσης, για πολλούς λόγους. Ο πρώτος είναι γιατί η άσκηση με την παραβολή είναι αρκετά κοινή. Π.χ. υπάρχει ακόμα και χωρίς χρήση παραγώγου στην παρ. 7.6 του βιβλίου του Niven, Maxima and minima without Calculus. Εκεί και γενίκευση καθώς και εκτενής συζήτηση. Επίσης υπάρχει σε σχεδόν όλα τα βιβλία Απειροστικού.Γιώργος Ρίζος έγραψε: ↑Σάβ Μαρ 28, 2020 10:46 amΚαλημέρα σε όλους. Εικάζω ότι ο Σταύρος εμπνεύστηκε από το θέμα του Θανάση ΕΔΩ.
Όμως υπάρχει και γενίκευση στις πολλές μεταβλητές η οποία βρίσκεται ως άσκηση σε σχεδόν όλα τα βιβλία Multivatate Calculus. Η γενίκευση είναι ότι για κλειστές ξένες καμπύλες, με "απαλές" συνθήκες διαφορισιμότητας, το ελάχιστο τμήμα με άκρα στις δύο καμπύλες είναι κάθετο και στις δύο.
Ας προσθέσω ότι και ο Απολλώνιος στα Κωνικά του, βιβλίο ε', έχει αρκετή συζήτηση για την ελάχιστη απόσταση σημείου από κωνική, Δείχνει (απίστευτο αλλά αληθινό γιατί εργάζεται χωρίς παραγώγους) την εν λόγω ιδιότητα καθετότητας.
-
- Δημοσιεύσεις: 3600
- Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
- Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ
Re: Ελάχιστη απόσταση γραφήματος
Ως προς την έμπνευση είναι όπως τα έγραψε ο Μιχάλης.Γιώργος Ρίζος έγραψε: ↑Σάβ Μαρ 28, 2020 10:46 amΚαλημέρα σε όλους. Εικάζω ότι ο Σταύρος εμπνεύστηκε από το θέμα του Θανάση ΕΔΩ.
Θα επιχειρήσω να προεκτείνω το συλλογισμό του Γιώργη, δίχως την αναγκαιότητα να είναι κυρτή η καμπύλη.
Ελάχιστη απόσταση από καμπύλη.png
b) Έστω παραγωγίσιμη για κάθε , οπότε σε κάθε σημείο της δέχεται εφαπτομένη , (που δεν είναι κάθετη στον οριζόντιο άξονα).
Έστω ημιευθεία , με σημείο τομής . Τότε, είτε σχηματίζεται ορθογώνιο τρίγωνο , είτε η εφαπτομένη διέρχεται από το (δηλαδή ταυτίζονται τα ), είτε ταυτίζονται τα , οπότε στο έχουμε .
Στις δύο πρώτες περιπτώσεις είναι , ενώ στην τρίτη έχουμε .
Άρα για κάθε είναι , με το «ίσον» όταν ταυτίζονται. Αν δεν υπήρχαν τέτοια σημεία, τότε το δεν θα έπαιρνε ελάχιστη τιμή, άτοπο, αφού υπάρχει που απέχει την ελάχιστη απόσταση από το .
Οπότε είναι με το ίσον όταν ταυτίζονται, άρα .
edit: Τώρα, το ότι η συζήτηση αυτή έχει αριθμό #66666, ελπίζω να μην σας επηρεάσει στο να συμμετέχετε.
Δεν καταλαβαίνω το
- Γιώργος Ρίζος
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 5285
- Εγγραφή: Δευ Δεκ 29, 2008 1:18 pm
- Τοποθεσία: Κέρκυρα
Re: Ελάχιστη απόσταση γραφήματος
Μιχάλη, Σταύρο ευχαριστώ για την άμεση απάντηση.
Εντάξει, επειδή ήταν πρόσφατη η ανάρτηση του Θανάση, νόμισα ότι αυτή ήταν η αφορμή. Ας μείνει η παρατήρηση για όποιον μελλοντικό αναγνώστη θα ήθελε να συνδυάσει τις δύο συζητήσεις.
Παραθέτω το κείμενο του Niven, που αναφέρει ο Μιχάλης, και στο οποίο γίνεται αναφορά σε κοινή εφαπτομένη της καμπύλης με τον μικρότερο κύκλο κέντρου , που έχει ένα κοινό σημείο με την καμπύλη.
Ξαναγράφω το σκεπτικό μου, με την παράκληση στον Σταύρο ή όποιον θα ήθελε, όταν θα έχει χρόνο, να μού υποδείξει με ακρίβεια το (ή τα) αδύνατα σημεία του συλλογισμού.
Για κάθε σημείο της είναι , (όπως ορίστηκε το ). Tο «ίσον» ισχύει όταν ταυτίζονται.
Υπάρχει (όπως δείξαμε) τουλάχιστον ένα σημείο που ταυτίζεται με το κάποιο από τα σημεία . Είναι το σημείο (ή τα σημεία) επαφής και . Ας τα πούμε .
Για κάθε ένα από αυτά τα σημεία, αφού είναι σημεία της καμπύλης, θα είναι , για κάθε .
Αφού λοιπόν υπάρχει που ταυτίζεται με το , τότε για τουλάχιστον ένα απ’ αυτά τα σημεία, π.χ. το είναι , οπότε το είναι κάθετο στην .
Εντάξει, επειδή ήταν πρόσφατη η ανάρτηση του Θανάση, νόμισα ότι αυτή ήταν η αφορμή. Ας μείνει η παρατήρηση για όποιον μελλοντικό αναγνώστη θα ήθελε να συνδυάσει τις δύο συζητήσεις.
Παραθέτω το κείμενο του Niven, που αναφέρει ο Μιχάλης, και στο οποίο γίνεται αναφορά σε κοινή εφαπτομένη της καμπύλης με τον μικρότερο κύκλο κέντρου , που έχει ένα κοινό σημείο με την καμπύλη.
Ξαναγράφω το σκεπτικό μου, με την παράκληση στον Σταύρο ή όποιον θα ήθελε, όταν θα έχει χρόνο, να μού υποδείξει με ακρίβεια το (ή τα) αδύνατα σημεία του συλλογισμού.
Για κάθε σημείο της είναι , (όπως ορίστηκε το ). Tο «ίσον» ισχύει όταν ταυτίζονται.
Υπάρχει (όπως δείξαμε) τουλάχιστον ένα σημείο που ταυτίζεται με το κάποιο από τα σημεία . Είναι το σημείο (ή τα σημεία) επαφής και . Ας τα πούμε .
Για κάθε ένα από αυτά τα σημεία, αφού είναι σημεία της καμπύλης, θα είναι , για κάθε .
Αφού λοιπόν υπάρχει που ταυτίζεται με το , τότε για τουλάχιστον ένα απ’ αυτά τα σημεία, π.χ. το είναι , οπότε το είναι κάθετο στην .
- Al.Koutsouridis
- Δημοσιεύσεις: 1798
- Εγγραφή: Πέμ Ιαν 30, 2014 11:58 pm
- Τοποθεσία: Αθήνα
Re: Ελάχιστη απόσταση γραφήματος
Οι αρχικές μου σκέψεις και για το (β) ερώτημα ήταν κάπως γεωμετρικές, δεν είμαι σίγουρως αν είναι αυστηρές και σωστές και δεν τις έγραψα. Αφού όμως συνέχισε η κουβέντα, ας τις γράψω.ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: ↑Πέμ Μαρ 26, 2020 11:27 pmΘεωρούμε την συνεχή συνάρτηση
για την οποία ισχύει
a)Να δείξετε ότι υπάρχει σημείο της
που απέχει ελάχιστη απόσταση από το
b)Αν επιπλέον η είναι παραγωγίσημη και
είναι ένα από τα σημεία της που απέχει ελάχιστη απόσταση από το
να δείξετε ότι το είναι κάθετο στην εφαπτομένη της στο
()
β) Θεωρώ την συνάρτηση στο διάστημα , όπου η ελάχιστη απόσταση της συνάρτησης από την αρχή των αξόνων και η συνάρτηση του ημικύκλιο ακτίνας με κέντρο την αρχή των αξόνων.
Στο παραπάνω διάστημα είναι γιατί διαφορετικά θα υπήρχε σημείο για το οποίο . Δηλαδή το σημείο θα ήταν εσωτερικό του κύκλου και η απόσταση από το θα ήταν μικρότερη του .
Η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη ως άθροισμα παραγωγίσιμων συναρτήσεων. Και επειδή τα σημεία ελαχίστου απόστασης είναι και σημεία στα οποία η λαμβάνει την ελάχιστη τιμή της , από το θεώρημα του Fermat θα είναι . Η εφαπτομένη όμως της σε ένα σημείο της (ημικυκλίου) είναι κάθετη στην ακτίνα που συνδέει αυτό το σημείο. Άρα και η εφαπτομένη της στη θέση ελαχίστου θα είναι κάθετη σε αυτό το ελάχιστο ευθύγραμμο τμήμα.
Ομοίως εργαζόμαστε στην περίπτωση που τα σημεία ελαχίστου απόστασης βρίσκονται στο άλλο ημικύκλιο.
Αν δεν κάνω λάθος μπορεί να δειχθεί ότι αν η συνάρτηση δέχεται κάθετη εφαπτομένη σε ένα σημείο τότε αυτό δεν μπορεί να είναι σημείο ελάχιστης απόστασης.
- Al.Koutsouridis
- Δημοσιεύσεις: 1798
- Εγγραφή: Πέμ Ιαν 30, 2014 11:58 pm
- Τοποθεσία: Αθήνα
Re: Ελάχιστη απόσταση γραφήματος
Καληπέρα κ.Γιώργο,
Η χρωματισμένη πρόταση νομίζω δεν είναι αυστηρή. Το είναι συναρτήσει του σημείου και όχι σταθερού μήκους. Το ότι το παίρνει ελάχιστη τιμή δεν σημαίνει απαραίτητα ότι υπάρχει σημείο ώστε να ταυτίζονται.
Γιώργος Ρίζος έγραψε: ↑Σάβ Μαρ 28, 2020 10:46 am
b) Έστω παραγωγίσιμη για κάθε , οπότε σε κάθε σημείο της δέχεται εφαπτομένη , (που δεν είναι κάθετη στον οριζόντιο άξονα).
Έστω ημιευθεία , με σημείο τομής . Τότε, είτε σχηματίζεται ορθογώνιο τρίγωνο , είτε η εφαπτομένη διέρχεται από το (δηλαδή ταυτίζονται τα ), είτε ταυτίζονται τα , οπότε στο έχουμε .
Στις δύο πρώτες περιπτώσεις είναι , ενώ στην τρίτη έχουμε .
Άρα για κάθε είναι , με το «ίσον» όταν ταυτίζονται. Αν δεν υπήρχαν τέτοια σημεία, τότε το δεν θα έπαιρνε ελάχιστη τιμή, άτοπο, αφού υπάρχει που απέχει την ελάχιστη απόσταση από το .
Οπότε είναι με το ίσον όταν ταυτίζονται, άρα .
Η χρωματισμένη πρόταση νομίζω δεν είναι αυστηρή. Το είναι συναρτήσει του σημείου και όχι σταθερού μήκους. Το ότι το παίρνει ελάχιστη τιμή δεν σημαίνει απαραίτητα ότι υπάρχει σημείο ώστε να ταυτίζονται.
-
- Δημοσιεύσεις: 3600
- Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
- Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ
Re: Ελάχιστη απόσταση γραφήματος
Η απόδειξη είναι σωστή με την εξης επιπλέον υπόθεσηAl.Koutsouridis έγραψε: ↑Σάβ Μαρ 28, 2020 2:33 pmΟι αρχικές μου σκέψεις και για το (β) ερώτημα ήταν κάπως γεωμετρικές, δεν είμαι σίγουρως αν είναι αυστηρές και σωστές και δεν τις έγραψα. Αφού όμως συνέχισε η κουβέντα, ας τις γράψω.ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: ↑Πέμ Μαρ 26, 2020 11:27 pmΘεωρούμε την συνεχή συνάρτηση
για την οποία ισχύει
a)Να δείξετε ότι υπάρχει σημείο της
που απέχει ελάχιστη απόσταση από το
b)Αν επιπλέον η είναι παραγωγίσημη και
είναι ένα από τα σημεία της που απέχει ελάχιστη απόσταση από το
να δείξετε ότι το είναι κάθετο στην εφαπτομένη της στο
()
elaxisth_apostash_grafhmatos.png
β) Θεωρώ την συνάρτηση στο διάστημα , όπου η ελάχιστη απόσταση της συνάρτησης από την αρχή των αξόνων και η συνάρτηση του ημικύκλιο ακτίνας με κέντρο την αρχή των αξόνων.
Στο παραπάνω διάστημα είναι γιατί διαφορετικά θα υπήρχε σημείο για το οποίο . Δηλαδή το σημείο θα ήταν εσωτερικό του κύκλου και η απόσταση από το θα ήταν μικρότερη του .
Η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη ως άθροισμα παραγωγίσιμων συναρτήσεων. Και επειδή τα σημεία ελαχίστου απόστασης είναι και σημεία στα οποία η λαμβάνει την ελάχιστη τιμή της , από το θεώρημα του Fermat θα είναι . Η εφαπτομένη όμως της σε ένα σημείο της (ημικυκλίου) είναι κάθετη στην ακτίνα που συνδέει αυτό το σημείο. Άρα και η εφαπτομένη της στη θέση ελαχίστου θα είναι κάθετη σε αυτό το ελάχιστο ευθύγραμμο τμήμα.
Ομοίως εργαζόμαστε στην περίπτωση που τα σημεία ελαχίστου απόστασης βρίσκονται στο άλλο ημικύκλιο.
Αν δεν κάνω λάθος μπορεί να δειχθεί ότι αν η συνάρτηση δέχεται κάθετη εφαπτομένη σε ένα σημείο τότε αυτό δεν μπορεί να είναι σημείο ελάχιστης απόστασης.
το έχει
Ελάχιστη γίνεται η απόσταση όταν ηAl.Koutsouridis έγραψε: ↑Σάβ Μαρ 28, 2020 2:33 pmΑν δεν κάνω λάθος μπορεί να δειχθεί ότι αν η συνάρτηση δέχεται κάθετη εφαπτομένη σε ένα σημείο τότε αυτό δεν μπορεί να είναι σημείο ελάχιστης απόστασης.
έχει ελάχιστο .
Εκεί όμως που έχει ελάχιστο πρέπει η δεξιά παράγωγος να είναι μη αρνητική και
η αριστερή μη θετική.
Αυτό δεν μπορεί να γίνει αν
Αν τότε μπορεί να γίνει.
(το παράδειγμα είναι απλό)
- Al.Koutsouridis
- Δημοσιεύσεις: 1798
- Εγγραφή: Πέμ Ιαν 30, 2014 11:58 pm
- Τοποθεσία: Αθήνα
Re: Ελάχιστη απόσταση γραφήματος
Σωστά στην περίπτωση (στο ) δε ξέρω αν σώζεται κάπως έτσι: ΕίναιΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: ↑Κυρ Μαρ 29, 2020 3:13 pm
Η απόδειξη είναι σωστή με την εξης επιπλέον υπόθεση
το έχει
Al.Koutsouridis έγραψε: ↑Σάβ Μαρ 28, 2020 2:33 pmΑν δεν κάνω λάθος μπορεί να δειχθεί ότι αν η συνάρτηση δέχεται κάθετη εφαπτομένη σε ένα σημείο τότε αυτό δεν μπορεί να είναι σημείο ελάχιστης απόστασης.
Άρα σε τέτοια περίπτωση η θα δέχεται κάθετη εφαπτομένη σε αυτό το σημείο, οπότε και πάλι κάθετο προς την εφαπτομένη. Ομοίως στην άλλη άκρη του ημικυκλίου. Έχοντας υπόψη δυο περιπτώσεις για την στο διάστημα να είναι θετική όπως παραπάνω ή αρνητική.
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: ↑Κυρ Μαρ 29, 2020 3:13 pmΕλάχιστη γίνεται η απόσταση όταν η
έχει ελάχιστο .
Εκεί όμως που έχει ελάχιστο πρέπει η δεξιά παράγωγος να είναι μη αρνητική και
η αριστερή μη θετική.
Αυτό δεν μπορεί να γίνει αν
Αν τότε μπορεί να γίνει.
(το παράδειγμα είναι απλό)
Ναι αντιπαράδειγμα λίγο "εκφυλισμένο" αλλά δουλεύει, είναι δυο ημικύκλια κολλημένα ανάποδα στο σημείο .
- Γιώργος Ρίζος
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 5285
- Εγγραφή: Δευ Δεκ 29, 2008 1:18 pm
- Τοποθεσία: Κέρκυρα
Re: Ελάχιστη απόσταση γραφήματος
Αλέξανδρε σε ευχαριστώ για την παρέμβαση. Το σημείο αυτό μού το διασαφήνισε με λεπτομέρεια ο Σταύρος σε ανταλλαγή προσωπικών μηνυμάτων.Al.Koutsouridis έγραψε: ↑Κυρ Μαρ 29, 2020 2:29 pm
Η χρωματισμένη πρόταση νομίζω δεν είναι αυστηρή. Το είναι συναρτήσει του σημείου και όχι σταθερού μήκους. Το ότι το παίρνει ελάχιστη τιμή δεν σημαίνει απαραίτητα ότι υπάρχει σημείο ώστε να ταυτίζονται.
"Κάτι ξέρει" ο Niven που γράφει ότι πρώτη μας επιλογή είναι η χρήση αλγεβρικών μεθόδων (τελευταία αράδα στο συνημμένο κείμενο). Εποπτικά το μήκος φαίνεται να διατρέχει ένα διάστημα με κλειστό κάτω άκρο το . Αυτό, όμως είναι εικασία "προς απόδειξη".
Σάς ευχαριστώ ξανά και τους δύο.
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 8 επισκέπτες