ΕΝΑ ΘΕΜΑ

Δυσκολότερα θέματα τα οποία όμως άπτονται της σχολικής ύλης και χρησιμοποιούν αποκλειστικά θεωρήματα που βρίσκονται μέσα σε αυτή. Σε διαφορετική περίπτωση η σύνταξη του μηνύματος θα πρέπει να γίνει στο υποφόρουμ "Ο ΦΑΚΕΛΟΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΥ"

Συντονιστής: Μπάμπης Στεργίου

Λάμπρος Κατσάπας
Δημοσιεύσεις: 650
Εγγραφή: Σάβ Ιουν 17, 2017 10:17 pm
Τοποθεσία: Αθήνα

ΕΝΑ ΘΕΜΑ

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Λάμπρος Κατσάπας » Παρ Μαρ 20, 2020 11:16 pm

Έστω η δύο φορές παραγωγίσιμη συνάρτηση f:[1,+\infty)\rightarrow \mathbb{R} με f(1)=e,{f}'(1)=2e

και f(x)\neq 0, για κάθε x\geq 1.

Αν για κάθε x\geq 1 ισχύει {f}''(x)f(x)>\left ( {f}'(x) \right )^2+2\left ( f(x) \right )^2

i) Να δείξετε ότι η f είναι κυρτή.

ii) Να δείξετε ότι f(x)>e^{x^2}, για κάθε x > 1.

iii) Να βρείτε το σύνολο τιμών της f.

iv) Να λύσετε στο διάστημα [1,+\infty) την εξίσωση f(x)+\sigma \upsilon \nu \dfrac{\pi }{x}=e-1.



Λέξεις Κλειδιά:
KAKABASBASILEIOS
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 1538
Εγγραφή: Κυρ Φεβ 01, 2009 1:46 pm

Re: ΕΝΑ ΘΕΜΑ

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KAKABASBASILEIOS » Σάβ Μαρ 21, 2020 1:13 am

Λάμπρος Κατσάπας έγραψε:
Παρ Μαρ 20, 2020 11:16 pm
Έστω η δύο φορές παραγωγίσιμη συνάρτηση f:[1,+\infty)\rightarrow \mathbb{R} με f(1)=e,{f}'(1)=2e

και f(x)\neq 0, για κάθε x\geq 1.

Αν για κάθε x\geq 1 ισχύει {f}''(x)f(x)>\left ( {f}'(x) \right )^2+2\left ( f(x) \right )^2

i) Να δείξετε ότι η f είναι κυρτή.

ii) Να δείξετε ότι f(x)>e^{x^2}, για κάθε x > 1.

iii) Να βρείτε το σύνολο τιμών της f.

iv) Να λύσετε στο διάστημα [1,+\infty) την εξίσωση f(x)+\sigma \upsilon \nu \dfrac{\pi }{x}=e-1.
...λίγο πριν :sleeping: ...

i) Είναι {f}''(x)f(x)>{{\left( {f}'(x) \right)}^{2}}+2{{\left( f(x) \right)}^{2}} και επειδή f(x)\neq 0, συνεχής έχει σταθερό πρόσημο ,

f(1)=e>0 άρα f(x)>0 ισχύει {f}''(x)>\frac{{{\left( {f}'(x) \right)}^{2}}+2{{\left( f(x) \right)}^{2}}}{f(x)}>0 άρα f είναι κυρτή.

ii) Θέλουμε f(x)>{{e}^{{{x}^{2}}}}\Leftrightarrow \ln (f(x))>{{x}^{2}}\Leftrightarrow \ln (f(x))-{{x}^{2}}>0,\,\,x>1 γι αυτό θεωρούμε

την συνάρτηση g(x)=\ln (f(x))-{{x}^{2}},\,\,x\in [1,\,\,+\infty ) με g(1)=\ln (f(1))-1=0 και

{g}'(x)=\frac{{f}'(x)}{f(x)}-2x,\,\,x\in [1,\,\,+\infty ) και {g}'(1)=\frac{{f}'(1)}{f(1)}-2=0,\,\,x\in [1,\,\,+\infty ) και

{g}''(x)=\frac{{f}''(x)f(x)-{{({f}'(x))}^{2}}}{{{f}^{2}}(x)}-2,\,\,x\in [1,\,\,+\infty ) που από δεδομένα

{g}''(x)=\frac{{f}''(x)f(x)-{{({f}'(x))}^{2}}}{{{f}^{2}}(x)}-2>0,\,\,x\in [1,\,\,+\infty ) επομένως η {g}' γνήσια αύξουσα στο

[1,\,\,+\infty ) άρα {g}'(x)>{g}'(1)=0 που σημαίνει g γνήσια αύξουσα στο [1,\,\,+\infty )

άρα g(x)>g(1)=0 που είναι αυτό που θέλαμε.

ιιι) Από f(x)>e^{x^2}, επειδή \underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,{{e}^{{{x}^{2}}}}=+\infty το

\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,f(x)=+\infty και από {g}'(x)=\frac{{f}'(x)}{f(x)}-2x>0,\,\,x\in [1,\,\,+\infty ) έχουμε ότι

\frac{{f}'(x)}{f(x)}>2x\Leftrightarrow {f}'(x)>2xf(x)>0,\,\,x\in [1,\,\,+\infty ) άρα η f είναι γνήσια αύξουσα στο

\Delta =[1,\,\,+\infty ) έτσι f(\Delta )=[f(1),\,\,\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,f(x))=[e,\,\,+\infty )

iv) Η εξίσωση γίνεται ισοδύναμα (f(x)-e)+(\sigma \upsilon \nu \frac{\pi }{x}+1)=0 και επειδή f(x)-e\ge 0 από (ιιι) και

\sigma \upsilon \nu \frac{\pi }{x}+1\ge 0 η ισότητα ισχύει όταν f(x)-e=0\Leftrightarrow x=1

και \sigma \upsilon \nu \frac{\pi }{x}+1=0 που επαληθεύεται όταν x=1, έτσι μοναδική λύση της εξίσωσης είναι το x=1.

Φιλικά και Μαθηματικά
Βασίλης


f ανοιγοντας τους δρομους της Μαθηματικης σκεψης, f' παραγωγος επιτυχιας
Τα Μαθηματικά είναι απλά...όταν σκέπτεσαι σωστά...
Τα Μαθηματικά είναι αυτά...για να δεις πιό μακρυά...
Τα Μαθηματικά είναι μαγεία...όταν έχεις φαντασία...
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 3069
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: ΕΝΑ ΘΕΜΑ

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Σάβ Μαρ 21, 2020 3:29 am

Το f(x)\neq 0, για κάθε x\geq 1. δεν χρειάζεται στις υποθέσεις.
Αν υπαρχει c με f(c)=0 τότε η σχέση δίνει \left ( {f}'(c) \right )^2<0 ΑΤΟΠΟ.

Επίσης στο iii) μπορεί να αποδειχθεί οτι έιναι αύξουσα ως εξης:
Αφου f''>0 η f' είναι γνησίως αύξουσα.
Επειδή f'(1)>0 θα είναι f'>0 οπότε η f γνησίως αύξουσα.


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΘΕΜΑΤΑ ΜΕ ΑΠΑΙΤΗΣΕΙΣ Γ'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες