U 510 ΑΠΟ MATHEMATICAL REFLECTIONS

ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ · #1

Σας προτείνω το θέμα U 510 από το πρώτο τεύχος των Mathematical Reflections του 2020.
Η καταληκτική ημερομηνία υποβολής λύσεων ήταν η 15η Μαρτίου 2020 η οποία παρήλθε.
Το θέμα πρότεινε ο Titu Andreescu από το Πανεπιστήμιο του Texas στο Dallas.
Όπως θα διαπιστώσετε , ένας μαθητής της Τρίτης Λυκείου που έχει μελετήσει πολύ καλά το σχολικό βιβλίο μπορεί να το αντιμετωπίσει...

Υπολογίστε το $\displaystyle\int_{0}^{\pi } \frac{x sinx}{2021+4sin^{2}x} dx$

panagiotis iliopoulos · #2

Μετά από υπολογισμούς βρίσκω $I=\frac{\pi ln(47/43)}{180}$ .

#3

ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ έγραψε: ↑
Δευ Μαρ 16, 2020 7:16 am
Υπολογίστε το $\displaystyle\int_{0}^{\pi } \frac{x sinx}{2021+4sin^{2}x} dx$

Η αλλαγή μεταβλητής $y=\pi -x$ δίνει

$\displaystyle I= \int_{0}^{\pi } \frac{(\pi-y) \sin y}{2021+4sin^{2}y} dy = \int_{0}^{\pi } \frac{(\pi-x) \sin x}{2021+4\sin ^{2}x} dx$ άρα με πρόσθεση

$\displaystyle{ 2I = \pi \int_{0}^{\pi } \frac{ \sin x}{2021+4\sin ^{2}x} dx= \pi \int_{0}^{\pi } \frac{ \sin x}{2025-4\cos ^{2}x} dx = \pi \int_{-1}^{1 } \frac{ dt}{2025-4t ^{2}} }$

$\displaystyle{=\frac { \pi} {90} \int_{-1}^{1 }\left ( \frac{ 1}{45 -2t} + \frac{ 1}{45 +2t} \right ) dt= \frac { \pi} {90} \left (\frac{ 1}{2}( \ln {47}-\ln {43})+\frac{ 1}{2} ( \ln {47}-\ln {43})\right ) = \frac { \pi} {90} \ln \frac { 47} {43} }$ και λοιπά.

ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ · #4

ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ έγραψε: ↑
Δευ Μαρ 16, 2020 7:16 am

Όπως θα διαπιστώσετε , ένας μαθητής της Τρίτης Λυκείου που έχει μελετήσει πολύ καλά το σχολικό βιβλίο μπορεί να το αντιμετωπίσει...

H άσκηση 1 της Γ' Ομάδας στην σελίδα 234 του τρέχοντος σχολικού βιβλίου είναι παρόμοια με το U 510...

#5

αν $\displaystyle{f }$ συνεχής να δειχθεί ότι:

$\int_{0}^{\pi }xf(sinx)dx=\frac{\pi }{2}\int_{0}^{\pi }f(sinx)dx$

panagiotis iliopoulos · #6

Θέτοντας $x=\pi -y$ έχουμε:

$I=\int_{0}^{\pi }(\pi -x)f(sinx)dx$ και ύστερα με πρόσθεση κατά μέλη με το αρχικό ολοκλήρωμα λαμβάνουμε $2I=\int_{0}^{\pi }\pi f(sinx)dx\Rightarrow I=\int_{0}^{\pi }\frac{\pi }{2}f(sinx)dx$ $=\frac{\pi }{2}\int_{0}^{\pi }f(sinx)dx$ .

Tolaso J Kos · #7

R BORIS έγραψε: ↑
Δευ Μαρ 16, 2020 9:40 pm
αν $\displaystyle{f }$ συνεχής να δειχθεί ότι:

$\displaystyle{\int_{0}^{\pi }xf(sinx)dx=\frac{\pi }{2}\int_{0}^{\pi }f(sinx)dx}$

Κάνουμε την αλλαγή μεταβλητής $u=\pi-x$ και έχουμε:

$\displaystyle{\begin{aligned} \int_{0}^{\pi} x f \left (\sin x \right )\, \mathrm{d}x &\overset{u=\pi-x}{=\! =\! =\!=\!=\!} \int_{0}^{\pi} \left ( \pi - x \right ) f \left ( \sin \left ( \pi-x \right ) \right ) \, \mathrm{d}x \\ &=\pi \int_{0}^{\pi} f \left ( \sin x \right )\, \mathrm{d} x - \int_{0}^{\pi} x f \left ( \sin x \right ) \, \mathrm{d}x \end{aligned}}$
και το αποτέλεσμα έπεται.

U 510 ΑΠΟ MATHEMATICAL REFLECTIONS

U 510 ΑΠΟ MATHEMATICAL REFLECTIONS

Re: U 510 ΑΠΟ MATHEMATICAL REFLECTIONS

Re: U 510 ΑΠΟ MATHEMATICAL REFLECTIONS

Re: U 510 ΑΠΟ MATHEMATICAL REFLECTIONS

Re: U 510 ΑΠΟ MATHEMATICAL REFLECTIONS

Re: U 510 ΑΠΟ MATHEMATICAL REFLECTIONS

Re: U 510 ΑΠΟ MATHEMATICAL REFLECTIONS

Μέλη σε σύνδεση