Συνδυαστικό θέμα

Δυσκολότερα θέματα τα οποία όμως άπτονται της σχολικής ύλης και χρησιμοποιούν αποκλειστικά θεωρήματα που βρίσκονται μέσα σε αυτή. Σε διαφορετική περίπτωση η σύνταξη του μηνύματος θα πρέπει να γίνει στο υποφόρουμ "Ο ΦΑΚΕΛΟΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΥ"

Συντονιστής: Μπάμπης Στεργίου

Άβαταρ μέλους
Γιώργος Ρίζος
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4644
Εγγραφή: Δευ Δεκ 29, 2008 1:18 pm
Τοποθεσία: Κέρκυρα

Συνδυαστικό θέμα

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Ρίζος » Κυρ Φεβ 02, 2020 1:56 pm

Καλησπέρα σε όλους.

Αναρτώ ένα θέμα από μια συλλογή (αυτοέκδοση) του αγαπητού φίλου Χρήστου Πατήλα με πρωτότυπα θέματα, που εκδόθηκε τον Ιανουάριο του 2020. Σε κάποια από αυτά συμμετείχε και ο (δικός μας) Λάμπρος Μπαλός.

Δίνεται η συνάρτηση  \displaystyle f:\;\;R \to R με  \displaystyle f\left( x \right) = {x^n} + {x^{n - 1}} + ... + x + 1, n \in N .

Ισχύει  \displaystyle \int_0^1 {f\left( x \right)dx}  + \int_0^1 {f\left( {\sqrt x } \right)dx + \int_0^1 {f\left( {\sqrt[3]{x}} \right)dx + ...\int_0^1 {f\left( {\sqrt[n]{x}} \right)dx = \frac{{35}}{2}} } } .

α)Να αποδείξετε ότι n=5

β) Να αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα στο R.

γ) Να λύσετε στο R την εξίσωση  \displaystyle {3^{12}}{x^{21}} - {x^3} = \left( {9{x^3} - 1} \right)\left[ {{{\left( {{x^3} + 1} \right)}^6} - 1} \right]

δ) Να αποδείξετε ότι η f παρουσιάζει σε θέση  \displaystyle a \in \left( { - 1,0} \right) μοναδικό σημείο καμπής.

edit: Συμπλήρωσα τη σχέση  n \in N.
τελευταία επεξεργασία από Γιώργος Ρίζος σε Κυρ Φεβ 02, 2020 6:14 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.



Λέξεις Κλειδιά:
KAKABASBASILEIOS
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 1538
Εγγραφή: Κυρ Φεβ 01, 2009 1:46 pm

Re: Συνδυαστικό θέμα

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KAKABASBASILEIOS » Κυρ Φεβ 02, 2020 5:53 pm

Γιώργος Ρίζος έγραψε:
Κυρ Φεβ 02, 2020 1:56 pm
Καλησπέρα σε όλους.

Αναρτώ ένα θέμα από μια συλλογή (αυτοέκδοση) του αγαπητού φίλου Χρήστου Πατήλα με πρωτότυπα θέματα, που εκδόθηκε τον Ιανουάριο του 2020. Σε κάποια από αυτά συμμετείχε και ο (δικός μας) Λάμπρος Μπαλός.

Δίνεται η συνάρτηση  \displaystyle f:\;\;R \to R με  \displaystyle f\left( x \right) = {x^n} + {x^{n - 1}} + ... + x + 1 .

Ισχύει  \displaystyle \int_0^1 {f\left( x \right)dx}  + \int_0^1 {f\left( {\sqrt x } \right)dx + \int_0^1 {f\left( {\sqrt[3]{x}} \right)dx + ...\int_0^1 {f\left( {\sqrt[n]{x}} \right)dx = \frac{{35}}{2}} } } .

α)Να αποδείξετε ότι n=5

β) Να αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα στο R.

γ) Να λύσετε στο R την εξίσωση  \displaystyle {3^{12}}{x^{21}} - {x^3} = \left( {9{x^3} - 1} \right)\left[ {{{\left( {{x^3} + 1} \right)}^6} - 1} \right]

δ) Να αποδείξετε ότι η f παρουσιάζει σε θέση  \displaystyle a \in \left( { - 1,0} \right) μοναδικό σημείο καμπής.
...μια προσπάθεια...

α) Είναι \displaystyle \int_0^1 {f\left( x \right)dx}  + \int_0^1 {f\left( {\sqrt x } \right)dx + \int_0^1 {f\left( {\sqrt[3]{x}} \right)dx + ...\int_0^1 {f\left( {\sqrt[n]{x}} \right)dx = \frac{{35}}{2}} } } και με

u=\sqrt{x},\,u=\sqrt[3]{x},...u=\sqrt[n]{x} έχουμε ότι

{{u}^{2}}=x,\,{{u}^{3}}=x,...{{u}^{n}}=x και κατόπιν

2udu=dx,\,\,\,3{{u}^{2}}du=dx,...,n{{u}^{n-1}}du=dx

τα άκρα δεν αλλάζουν και η αρχική ισότητα γίνεται

\int\limits_{0}^{1}{f\left( x \right)dx}+\int\limits_{0}^{1}{f\left( u \right)2udu+\int\limits_{0}^{1}{f\left( u \right)3{{u}^{2}}du+...\int\limits_{0}^{1}{f\left( u \right)n{{u}^{n}}du=\frac{35}{2}}}} ή

\int\limits_{0}^{1}{f\left( x \right)(1+2x+3{{x}^{2}}+...+n{{x}^{n-1}})dx}=\frac{35}{2} ή \int\limits_{0}^{1}{f\left( x \right){f}'(x)dx}=\frac{35}{2}\Leftrightarrow \int\limits_{0}^{1}{2f\left( x \right){f}'(x)dx}=35\Leftrightarrow

\left[ {{f}^{2}}(x) \right]_{0}^{1}=35\Leftrightarrow {{(n+1)}^{2}}-1=35\Leftrightarrow n=5

β) ...το σκέπτομαι.. :ewpu:

γ) Θεωρώντας την συνάρτηση g(x)=\left\{ \begin{matrix} 
  & f\left( x \right)={{x}^{5}}+{{x}^{4}}+...+x+1=\frac{{{x}^{6}}-1}{x-1},\,\,x\ne 1 \\  
 & 6,\,\,\,\,x=1 \\  
\end{matrix} \right. είναι συνεχής στο R αφού

\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,\frac{{{x}^{6}}-1}{x-1}\underset{DLH}{\overset{\frac{0}{0}}{\mathop{=}}}\,\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,\frac{6{{x}^{5}}}{1}=6 και σύμφωνα με το (β) γνήσια αύξουσα .

Τώρα η εξίσωση \displaystyle {3^{12}}{x^{21}} - {x^3} = \left( {9{x^3} - 1} \right)\left[ {{{\left( {{x^3} + 1} \right)}^6} - 1} \right]

έχει προφανή ρίζα το 0 και με x\ne 0 ισοδύναμα έχουμε

{{3}^{12}}{{x}^{18}}-1=\left( 9{{x}^{3}}-1 \right)\left[ \frac{{{\left( {{x}^{3}}+1 \right)}^{6}}-1}{{{x}^{3}}} \right]\Leftrightarrow {{({{3}^{2}}{{x}^{3}})}^{6}}-1=\left( 9{{x}^{3}}-1 \right)\left[ \frac{{{\left( {{x}^{3}}+1 \right)}^{6}}-1}{{{x}^{3}}} \right]

ή {{(9{{x}^{3}})}^{6}}-1=\left( 9{{x}^{3}}-1 \right)\left[ \frac{{{\left( {{x}^{3}}+1 \right)}^{6}}-1}{{{x}^{3}}} \right]

απ όπου ρίζα x=\frac{1}{\sqrt[3]{9}} και με x\ne \frac{1}{\sqrt[3]{9}} ισοδύναμα έχουμε ότι

\frac{{{(9{{x}^{3}})}^{6}}-1}{9{{x}^{3}}-1}=\left[ \frac{{{\left( {{x}^{3}}+1 \right)}^{6}}-1}{{{x}^{3}}} \right]\Leftrightarrow  
 
g(9{{x}^{3}})=g({{x}^{3}}+1)\underset{{}}{\overset{g:1-1}{\mathop{\Leftrightarrow }}}\,9{{x}^{3}}={{x}^{3}}+1\Leftrightarrow x=\frac{1}{2}

δ) Η συνάρτηση τώρα γίνεται f\left( x \right)={{x}^{5}}+{{x}^{4}}+...+x+1 και με παράγωγο

{f}'\left( x \right)=5{{x}^{4}}+4{{x}^{3}}+3{{x}^{2}}+2x+1 και {f}''\left( x \right)=20{{x}^{3}}+12{{x}^{2}}+6x+2 και

{f}'''\left( x \right)=60{{x}^{2}}+24x+6=6(10{{x}^{2}}+4x+1)>0 οπότε η {f}''\left( x \right)=20{{x}^{3}}+12{{x}^{2}}+6x+2

είναι γνήσια αύξουσα συνάρτηση και συνεχής με {f}''\left( 0 \right)=2>0\,\,,\,{f}''\left( -1 \right)=-12<0

αρα σύμφωνα με το θεώρημα του Bolzano έχει ρίζα σε \displaystyle a \in \left( { - 1,0} \right)

μοναδική λόγω του ότι είναι γνήσια αύξουσα επομένως όταν

x<a\Rightarrow {f}''(x)<0 άρα κοίλη στο \left( -\infty ,\,\alpha  \right) και όταν

x>a\Rightarrow {f}''(x)>0 άρα κυρτή στο \left( \alpha ,\,\,+\infty  \right)

Φιλικά και Μαθηματικά
Βασίλης


f ανοιγοντας τους δρομους της Μαθηματικης σκεψης, f' παραγωγος επιτυχιας
Τα Μαθηματικά είναι απλά...όταν σκέπτεσαι σωστά...
Τα Μαθηματικά είναι αυτά...για να δεις πιό μακρυά...
Τα Μαθηματικά είναι μαγεία...όταν έχεις φαντασία...
Άβαταρ μέλους
Christos.N
Δημοσιεύσεις: 1842
Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 26, 2009 2:28 pm
Τοποθεσία: Ίλιον

Re: Συνδυαστικό θέμα

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Christos.N » Κυρ Φεβ 02, 2020 7:11 pm

Βασίλη Φίλε για το β έκανα την εξής σκέψη

f(x)=h(x)g(x),~h(x)=x+1,~g(x)=x^4+x^2+1
όπου h γνησίως αύξουσα, g γνησίως φθίνουσα ως το 0 και γνησίως αύξουσα μετά.
Επιπλέον h μικρότερη του 1 στο διάστημα [-1,0]

Έστω x_1<x_2 στο (-\infty,-1] τότε .....f(x_1)<f(x_2)
Έστω x_1<x_2 στο [-1,0] τότε .....f(x_1)<f(x_2)
Έστω x_1<x_2 στο [0,+\infty) τότε .....f(x_1)<f(x_2)

προφανώς οι τελίτσες είναι προς τεκμηρίωση, μια άλλη σκέψη είναι η επανατοποθέτηση της εργασίας του ερωτήματος δ , η f' παρουσιάζει μοναδικό ακρότατο και μάλιστα ολικό ελάχιστο στο διάστημα (-1,0) μένει να δείξουμε ότι αυτό είναι θετικό.

Διόρθωσα τα διαστήματα


Χρήστος Ντάβας
Wir müssen wissen — wir werden wissen! D.Hilbert
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 3069
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Συνδυαστικό θέμα

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Κυρ Φεβ 02, 2020 9:44 pm

Για x\leq 0
είναι
f(x)=\frac{x^{6}-1}{x-1}

και
f'(x)=\frac{6x^{5}(x-1)-(x^{6}-1)}{(x-1)^{2}}=\frac{5x^{6}-6x^{5}+1}{(x-1)^{2}}> 0

ενώ για

x\geq 0

είναι f'(x)=5x^{4}+4x^{3}+3x^{2}+2x+1>0
κλπ


Άβαταρ μέλους
silouan
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1282
Εγγραφή: Τρί Ιαν 27, 2009 10:52 pm

Re: Συνδυαστικό θέμα

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από silouan » Δευ Φεβ 03, 2020 12:13 am

Άλλη μια σκέψη
\displaystyle{{f}'\left( x \right)=5{{x}^{4}}+4{{x}^{3}}+3{{x}^{2}}+2x+1=x^2(5x^2+4x+2)+(x+1)^2>0,}
αφού το τριώνυμο στην παρένθεση έχει αρνητική διακρίνουσα.


Σιλουανός Μπραζιτίκος
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΘΕΜΑΤΑ ΜΕ ΑΠΑΙΤΗΣΕΙΣ Γ'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης