Γιώργος Ρίζος έγραψε: ↑Κυρ Φεβ 02, 2020 1:56 pm
Καλησπέρα σε όλους.
Αναρτώ ένα θέμα από μια συλλογή (αυτοέκδοση) του αγαπητού φίλου
Χρήστου Πατήλα με πρωτότυπα θέματα, που εκδόθηκε τον Ιανουάριο του 2020. Σε κάποια από αυτά συμμετείχε και ο (δικός μας)
Λάμπρος Μπαλός.
Δίνεται η συνάρτηση

με

.
Ισχύει
![\displaystyle \int_0^1 {f\left( x \right)dx} + \int_0^1 {f\left( {\sqrt x } \right)dx + \int_0^1 {f\left( {\sqrt[3]{x}} \right)dx + ...\int_0^1 {f\left( {\sqrt[n]{x}} \right)dx = \frac{{35}}{2}} } } \displaystyle \int_0^1 {f\left( x \right)dx} + \int_0^1 {f\left( {\sqrt x } \right)dx + \int_0^1 {f\left( {\sqrt[3]{x}} \right)dx + ...\int_0^1 {f\left( {\sqrt[n]{x}} \right)dx = \frac{{35}}{2}} } }](/forum/ext/geomar/texintegr/latexrender/pictures/7e2b7f2d55a78a6194308ba287481fdf.png)
.
α)Να αποδείξετε ότι
β) Να αποδείξετε ότι η

είναι γνησίως αύξουσα στο

.
γ) Να λύσετε στο

την εξίσωση
δ) Να αποδείξετε ότι η

παρουσιάζει σε θέση

μοναδικό σημείο καμπής.
...μια προσπάθεια...
α) Είναι
![\displaystyle \int_0^1 {f\left( x \right)dx} + \int_0^1 {f\left( {\sqrt x } \right)dx + \int_0^1 {f\left( {\sqrt[3]{x}} \right)dx + ...\int_0^1 {f\left( {\sqrt[n]{x}} \right)dx = \frac{{35}}{2}} } } \displaystyle \int_0^1 {f\left( x \right)dx} + \int_0^1 {f\left( {\sqrt x } \right)dx + \int_0^1 {f\left( {\sqrt[3]{x}} \right)dx + ...\int_0^1 {f\left( {\sqrt[n]{x}} \right)dx = \frac{{35}}{2}} } }](/forum/ext/geomar/texintegr/latexrender/pictures/b7468cbdc65904f4b62fb35b5ed4f883.png)
και με
![u=\sqrt{x},\,u=\sqrt[3]{x},...u=\sqrt[n]{x} u=\sqrt{x},\,u=\sqrt[3]{x},...u=\sqrt[n]{x}](/forum/ext/geomar/texintegr/latexrender/pictures/53791d5a47505a2ddbb5ca87f32b9e96.png)
έχουμε ότι

και κατόπιν
τα άκρα δεν αλλάζουν και η αρχική ισότητα γίνεται

ή

ή
β) ...το σκέπτομαι..
γ) Θεωρώντας την συνάρτηση

είναι συνεχής στο

αφού

και σύμφωνα με το (β) γνήσια αύξουσα .
Τώρα η εξίσωση
έχει προφανή ρίζα το

και με

ισοδύναμα έχουμε
ή
απ όπου ρίζα
![x=\frac{1}{\sqrt[3]{9}} x=\frac{1}{\sqrt[3]{9}}](/forum/ext/geomar/texintegr/latexrender/pictures/fc30f5c42d1fe0f33f357e9eec71c9b1.png)
και με
![x\ne \frac{1}{\sqrt[3]{9}} x\ne \frac{1}{\sqrt[3]{9}}](/forum/ext/geomar/texintegr/latexrender/pictures/649293695459996bd4cf492d3091f7fd.png)
ισοδύναμα έχουμε ότι
δ) Η συνάρτηση τώρα γίνεται

και με παράγωγο

και

και

οπότε η
είναι γνήσια αύξουσα συνάρτηση και συνεχής με
αρα σύμφωνα με το θεώρημα του Bolzano έχει ρίζα σε
μοναδική λόγω του ότι είναι γνήσια αύξουσα επομένως όταν

άρα κοίλη στο

και όταν

άρα κυρτή στο
Φιλικά και Μαθηματικά
Βασίλης