Συνδυαστικό θέμα

#1

Καλησπέρα σε όλους.

Αναρτώ ένα θέμα από μια συλλογή (αυτοέκδοση) του αγαπητού φίλου Χρήστου Πατήλα με πρωτότυπα θέματα, που εκδόθηκε τον Ιανουάριο του 2020. Σε κάποια από αυτά συμμετείχε και ο (δικός μας) Λάμπρος Μπαλός.

Δίνεται η συνάρτηση $\displaystyle f:\;\;R \to R$ με $\displaystyle f\left( x \right) = {x^n} + {x^{n - 1}} + ... + x + 1, n \in N$ .

Ισχύει $\displaystyle \int_0^1 {f\left( x \right)dx} + \int_0^1 {f\left( {\sqrt x } \right)dx + \int_0^1 {f\left( {\sqrt[3]{x}} \right)dx + ...\int_0^1 {f\left( {\sqrt[n]{x}} \right)dx = \frac{{35}}{2}} } }$ .

α)Να αποδείξετε ότι n=5

β) Να αποδείξετε ότι η

είναι γνησίως αύξουσα στο

.

γ) Να λύσετε στο

την εξίσωση $\displaystyle {3^{12}}{x^{21}} - {x^3} = \left( {9{x^3} - 1} \right)\left[ {{{\left( {{x^3} + 1} \right)}^6} - 1} \right]$

δ) Να αποδείξετε ότι η

παρουσιάζει σε θέση $\displaystyle a \in \left( { - 1,0} \right)$ μοναδικό σημείο καμπής.

edit: Συμπλήρωσα τη σχέση $n \in N$ .

#2

Γιώργος Ρίζος έγραψε: ↑
Κυρ Φεβ 02, 2020 1:56 pm
Καλησπέρα σε όλους.

Αναρτώ ένα θέμα από μια συλλογή (αυτοέκδοση) του αγαπητού φίλου Χρήστου Πατήλα με πρωτότυπα θέματα, που εκδόθηκε τον Ιανουάριο του 2020. Σε κάποια από αυτά συμμετείχε και ο (δικός μας) Λάμπρος Μπαλός.

Δίνεται η συνάρτηση $\displaystyle f:\;\;R \to R$ με $\displaystyle f\left( x \right) = {x^n} + {x^{n - 1}} + ... + x + 1$ .

Ισχύει $\displaystyle \int_0^1 {f\left( x \right)dx} + \int_0^1 {f\left( {\sqrt x } \right)dx + \int_0^1 {f\left( {\sqrt[3]{x}} \right)dx + ...\int_0^1 {f\left( {\sqrt[n]{x}} \right)dx = \frac{{35}}{2}} } }$ .

α)Να αποδείξετε ότι

β) Να αποδείξετε ότι η είναι γνησίως αύξουσα στο .

γ) Να λύσετε στο την εξίσωση $\displaystyle {3^{12}}{x^{21}} - {x^3} = \left( {9{x^3} - 1} \right)\left[ {{{\left( {{x^3} + 1} \right)}^6} - 1} \right]$

δ) Να αποδείξετε ότι η παρουσιάζει σε θέση $\displaystyle a \in \left( { - 1,0} \right)$ μοναδικό σημείο καμπής.

...μια προσπάθεια...

α) Είναι $\displaystyle \int_0^1 {f\left( x \right)dx} + \int_0^1 {f\left( {\sqrt x } \right)dx + \int_0^1 {f\left( {\sqrt[3]{x}} \right)dx + ...\int_0^1 {f\left( {\sqrt[n]{x}} \right)dx = \frac{{35}}{2}} } }$ και με

$u=\sqrt{x},\,u=\sqrt[3]{x},...u=\sqrt[n]{x}$ έχουμε ότι

${{u}^{2}}=x,\,{{u}^{3}}=x,...{{u}^{n}}=x$ και κατόπιν

$2udu=dx,\,\,\,3{{u}^{2}}du=dx,...,n{{u}^{n-1}}du=dx$

τα άκρα δεν αλλάζουν και η αρχική ισότητα γίνεται

$\int\limits_{0}^{1}{f\left( x \right)dx}+\int\limits_{0}^{1}{f\left( u \right)2udu+\int\limits_{0}^{1}{f\left( u \right)3{{u}^{2}}du+...\int\limits_{0}^{1}{f\left( u \right)n{{u}^{n}}du=\frac{35}{2}}}}$ ή

$\int\limits_{0}^{1}{f\left( x \right)(1+2x+3{{x}^{2}}+...+n{{x}^{n-1}})dx}=\frac{35}{2}$ ή $\int\limits_{0}^{1}{f\left( x \right){f}'(x)dx}=\frac{35}{2}\Leftrightarrow \int\limits_{0}^{1}{2f\left( x \right){f}'(x)dx}=35\Leftrightarrow$

$\left[ {{f}^{2}}(x) \right]_{0}^{1}=35\Leftrightarrow {{(n+1)}^{2}}-1=35\Leftrightarrow n=5$

β) ...το σκέπτομαι..

γ) Θεωρώντας την συνάρτηση $g(x)=\left\{ \begin{matrix} & f\left( x \right)={{x}^{5}}+{{x}^{4}}+...+x+1=\frac{{{x}^{6}}-1}{x-1},\,\,x\ne 1 \\ & 6,\,\,\,\,x=1 \\ \end{matrix} \right.$ είναι συνεχής στο

αφού

$\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,\frac{{{x}^{6}}-1}{x-1}\underset{DLH}{\overset{\frac{0}{0}}{\mathop{=}}}\,\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,\frac{6{{x}^{5}}}{1}=6$ και σύμφωνα με το (β) γνήσια αύξουσα .

Τώρα η εξίσωση $\displaystyle {3^{12}}{x^{21}} - {x^3} = \left( {9{x^3} - 1} \right)\left[ {{{\left( {{x^3} + 1} \right)}^6} - 1} \right]$

έχει προφανή ρίζα το

και με $x\ne 0$ ισοδύναμα έχουμε

${{3}^{12}}{{x}^{18}}-1=\left( 9{{x}^{3}}-1 \right)\left[ \frac{{{\left( {{x}^{3}}+1 \right)}^{6}}-1}{{{x}^{3}}} \right]\Leftrightarrow {{({{3}^{2}}{{x}^{3}})}^{6}}-1=\left( 9{{x}^{3}}-1 \right)\left[ \frac{{{\left( {{x}^{3}}+1 \right)}^{6}}-1}{{{x}^{3}}} \right]$

ή ${{(9{{x}^{3}})}^{6}}-1=\left( 9{{x}^{3}}-1 \right)\left[ \frac{{{\left( {{x}^{3}}+1 \right)}^{6}}-1}{{{x}^{3}}} \right]$

απ όπου ρίζα $x=\frac{1}{\sqrt[3]{9}}$ και με $x\ne \frac{1}{\sqrt[3]{9}}$ ισοδύναμα έχουμε ότι

$\frac{{{(9{{x}^{3}})}^{6}}-1}{9{{x}^{3}}-1}=\left[ \frac{{{\left( {{x}^{3}}+1 \right)}^{6}}-1}{{{x}^{3}}} \right]\Leftrightarrow g(9{{x}^{3}})=g({{x}^{3}}+1)\underset{{}}{\overset{g:1-1}{\mathop{\Leftrightarrow }}}\,9{{x}^{3}}={{x}^{3}}+1\Leftrightarrow x=\frac{1}{2}$

δ) Η συνάρτηση τώρα γίνεται $f\left( x \right)={{x}^{5}}+{{x}^{4}}+...+x+1$ και με παράγωγο

${f}'\left( x \right)=5{{x}^{4}}+4{{x}^{3}}+3{{x}^{2}}+2x+1$ και ${f}''\left( x \right)=20{{x}^{3}}+12{{x}^{2}}+6x+2$ και

${f}'''\left( x \right)=60{{x}^{2}}+24x+6=6(10{{x}^{2}}+4x+1)>0$ οπότε η ${f}''\left( x \right)=20{{x}^{3}}+12{{x}^{2}}+6x+2$

είναι γνήσια αύξουσα συνάρτηση και συνεχής με ${f}''\left( 0 \right)=2>0\,\,,\,{f}''\left( -1 \right)=-12<0$

αρα σύμφωνα με το θεώρημα του Bolzano έχει ρίζα σε $\displaystyle a \in \left( { - 1,0} \right)$

μοναδική λόγω του ότι είναι γνήσια αύξουσα επομένως όταν

$x<a\Rightarrow {f}''(x)<0$ άρα κοίλη στο $\left( -\infty ,\,\alpha \right)$ και όταν

$x>a\Rightarrow {f}''(x)>0$ άρα κυρτή στο $\left( \alpha ,\,\,+\infty \right)$

Φιλικά και Μαθηματικά
Βασίλης

Christos.N · #3

Βασίλη Φίλε για το β έκανα την εξής σκέψη

f(x)=h(x)g(x),~h(x)=x+1,~g(x)=x^4+x^2+1

όπου

γνησίως αύξουσα,

γνησίως φθίνουσα ως το

και γνησίως αύξουσα μετά.
Επιπλέον

μικρότερη του

στο διάστημα [-1,0]

Έστω

στο $(-\infty,-1]$ τότε ..... f(x_1)<f(x_2)

Έστω

στο

τότε ..... f(x_1)<f(x_2)

Έστω

στο $[0,+\infty)$ τότε ..... f(x_1)<f(x_2)

προφανώς οι τελίτσες είναι προς τεκμηρίωση, μια άλλη σκέψη είναι η επανατοποθέτηση της εργασίας του ερωτήματος δ , η

παρουσιάζει μοναδικό ακρότατο και μάλιστα ολικό ελάχιστο στο διάστημα (-1,0)

μένει να δείξουμε ότι αυτό είναι θετικό.

Διόρθωσα τα διαστήματα

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #4

Για $x\leq 0$
είναι
$f(x)=\frac{x^{6}-1}{x-1}$

και
$f'(x)=\frac{6x^{5}(x-1)-(x^{6}-1)}{(x-1)^{2}}=\frac{5x^{6}-6x^{5}+1}{(x-1)^{2}}> 0$

ενώ για

$x\geq 0$

είναι $f'(x)=5x^{4}+4x^{3}+3x^{2}+2x+1>0$
κλπ

#5

Άλλη μια σκέψη
$\displaystyle{{f}'\left( x \right)=5{{x}^{4}}+4{{x}^{3}}+3{{x}^{2}}+2x+1=x^2(5x^2+4x+2)+(x+1)^2>0,}$
αφού το τριώνυμο στην παρένθεση έχει αρνητική διακρίνουσα.

Συνδυαστικό θέμα

Συνδυαστικό θέμα

Re: Συνδυαστικό θέμα

Re: Συνδυαστικό θέμα

Re: Συνδυαστικό θέμα

Re: Συνδυαστικό θέμα

Μέλη σε σύνδεση