Νιοστή παράγωγος

Δυσκολότερα θέματα τα οποία όμως άπτονται της σχολικής ύλης και χρησιμοποιούν αποκλειστικά θεωρήματα που βρίσκονται μέσα σε αυτή. Σε διαφορετική περίπτωση η σύνταξη του μηνύματος θα πρέπει να γίνει στο υποφόρουμ "Ο ΦΑΚΕΛΟΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΥ"

Συντονιστής: Μπάμπης Στεργίου

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 11354
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Νιοστή παράγωγος

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Δευ Δεκ 23, 2019 9:26 am

Δίνεται η συνάρτηση : f(x)=\dfrac{e^x-1}{x} , x\neq 0 . Υπολογίστε την : f^{(n)}(x) , n θετικός ακέραιος .

Είναι άραγε η f^{(n)}(x) , παραγωγίσιμη στο x_{0}=0 , αν δώσουμε κατάλληλη τιμή στο f^{(n-1)}(0) ;



Λέξεις Κλειδιά:
Λάμπρος Κατσάπας
Δημοσιεύσεις: 612
Εγγραφή: Σάβ Ιουν 17, 2017 10:17 pm
Τοποθεσία: Αθήνα

Re: Νιοστή παράγωγος

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Λάμπρος Κατσάπας » Δευ Δεκ 23, 2019 4:05 pm

KARKAR έγραψε:
Δευ Δεκ 23, 2019 9:26 am
Δίνεται η συνάρτηση : h(x)=\dfrac{e^x-1}{x} , x\neq 0 . Υπολογίστε την : h^{(n)}(x) , n θετικός ακέραιος .

Είναι άραγε η h^{(n)}(x) , παραγωγίσιμη στο x_{0}=0 , αν δώσουμε κατάλληλη τιμή στο h^{(n-1)}(0) ;
Άλλαξα το γράμμα από f σε h γιατί το f το χρησιμοποιώ για άλλη συνάρτηση παρακάτω.

Έτσι όπως είναι διαμορφωμένη η σχολική ύλη νομίζω δεν κάνει γι'αυτό τον φάκελο.

Χρειάζεται κάποιος να εξετάσει τις περιπτώσεις n=2,3,4,.. και έπειτα να γενικεύσει.

Η απόδειξη θα ολοκληρωθεί με επαγωγή (εκτός ύλης).

Βάζω μια λύση εκτός ύλης.

Από τον τύπο του Leibniz: \displaystyle\left ( fg \right )^{(n)}(x)=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}f^{(k)}(x)g^{(n-k)}(x)

και για x\neq 0, αν πάρουμε f(x)=\dfrac{1}{x} και g(x)=e^x-1 έχουμε

\displaystyle \left ( fg \right )^{(n)}(x)= f^{(n)}(x)g^{(0)}(x)+\sum_{k=0}^{n-1}\binom{n}{k}f^{(k)}(x)g^{(n-k)}(x)=

\displaystyle(-1)^n\dfrac{n!}{x^{n+1}}(e^x-1)+ e^x\sum_{k=0}^{n-1}\binom{n}{k}(-1)^k\dfrac{k!}{x^{k+1}}=

\displaystyle(-1)^{n+1}\dfrac{n!}{x^{n+1}}+ e^x\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}(-1)^k\dfrac{k!}{x^{k+1}}=

 \displaystyle(-1)^{n+1}\dfrac{n!}{x^{n+1}}+ \frac{e^x}{x^{n+1}}\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}(-1)^kk!x^{n-k}.

Για τη ζητούμενη παραγωγισιμότητα της n-οστής παραγώγου στο 0 το μόνο

που χρειάζεται να ορίσουμε είναι (fg)(0)=1 και επαγωγικά (fg)^{(n)}(0)=\dfrac{1}{n+1}.

Τότε (fg)^{(n)} συνεχής στο 0. Προχωραμε με επαγωγή.

Για n=0 εξ'ορισμού ισχύει (γνωστό όριο).

Για το επαγωγικό βήμα

\lim_{x\rightarrow 0}\dfrac{(fg)^{(n)}(x)-(fg)^{(n)}(0)}{x}= \lim_{x\rightarrow 0}(fg)^{(n+1)}(x)=

\displaystyle\lim_{x\rightarrow 0}\dfrac{(-1)^{n+2}(n+1)!+e^x\sum_{k=0}^{n+1}\binom{n+1}{k}(-1)^kk!x^{n+1-k}}{x^{n+2}}=

\displaystyle \lim_{x\rightarrow 0}\dfrac{e^xx^{n+1}}{(n+2)x^{n+1}}= \lim_{x\rightarrow 0}\dfrac{e^x}{n+2}=\dfrac{1}{n+2}.

Στην τρίτη ισότητα από το τέλος χρησιμοποίησα το γεγονός (εύκολα μπορεί να ελεγχθεί μετά από πράξεις) ότι

\displaystyle{\left (e^x\sum_{k=0}^{n+1}\binom{n+1}{k}(-1)^kk!x^{n+1-k} \right )}'=e^xx^{n+1}.

(το \displaystyle\sum_{k=0}^{n+1}\binom{n+1}{k}(-1)^kk!x^{n+1-k} είναι πολυώνυμο βαθμού n+1).


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 11904
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Νιοστή παράγωγος

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Δευ Δεκ 23, 2019 7:10 pm

KARKAR έγραψε:
Δευ Δεκ 23, 2019 9:26 am
Δίνεται η συνάρτηση : f(x)=\dfrac{e^x-1}{x} , x\neq 0 . Υπολογίστε την : f^{(n)}(x) , n θετικός ακέραιος .

Είναι άραγε η f^{(n)}(x) , παραγωγίσιμη στο x_{0}=0 , αν δώσουμε κατάλληλη τιμή στο f^{(n-1)}(0) ;
Αν πολύ σωστά επιτραπεί η εκτός Σχολικής ύλης αντιμετώπιση, μπορούμε και αλλιώς:

Από το ανάπτυγμα της e^x είναι \displaystyle{f(x)=\dfrac{e^x-1}{x} = \sum _{k=1}^{\infty} \dfrac {x^{k-1}}{k!}}. Παραγωγίζοντας n-φορές μέσα από το ολοκλήρωμα, που επιτρέπεται λόγω ομοιόμορφης σύγκλισης, έχουμε

\displaystyle{ f^{(n)}(x) = \sum _{k=n+1}^{\infty} \dfrac {(k-1)(k-2)...(k-n)x^{k-1-n}}{k!}} (οι όροι μέχρι και τον x^{n-1} μηδενίστηκαν).

Από συνέχεια διαβάζουμε και την \displaystyle{ f^{(n)}(0)}, που είναι ο σταθερός όρος της δυναμοσειράς, εδώ \displaystyle{ \dfrac{1}{n+1}}


Άβαταρ μέλους
R BORIS
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2226
Εγγραφή: Σάβ Ιαν 03, 2009 8:08 am
Επικοινωνία:

Re: Νιοστή παράγωγος

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από R BORIS » Τρί Δεκ 24, 2019 8:27 am

ακόμη ένας τρόπος για τον υπολογισμό της νιοστής παραγώγου

\displaystyle{xf(x)=e^x-1}
εύκολα επαγωγικά \displaystyle{(xf(x))^{(n)}=n(f(x))}^{(n-1)}+(f(x))^{(n)}x=e^x,n=1,2.3,...}
Θετουμε
\displaystyle{a_n=(f(x))^{(n)}}
Tότε αν
\displaystyle{ x^na_n(-1)^n/n!=b_n } θα έχουμε \displaystyle{b_n-b_{n-1}=e^xx^{n-1}(-1)^n/n!$
δίνουμε τιμές και προσθέτουμε κατά μέλη
...
τελευταία επεξεργασία από R BORIS σε Τρί Δεκ 24, 2019 1:31 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 11904
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Νιοστή παράγωγος

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Τρί Δεκ 24, 2019 8:36 am

R BORIS έγραψε:
Τρί Δεκ 24, 2019 8:27 am
ακόμη ένας τρόπος για τον υπολογισμό της νιοστής παραγώγου

\displaystyle{xf(x)=e^x-1}
εύκολα επαγωγικά \displaystyle{(xf(x))^{(n)}=n(f(x))}^{(n-1)}+(f(x))^{(n)}x=e^x,n=1,2.3,...}
Ροδόλφε, την θερμή μου Καλημέρα.

Είναι λίγο ευκολότερο επαγωγικά να πούμε \displaystyle{xf^{(n)}(x)+nf^{(n-1)}(x)=e^x,\, n=1,2.3,...}, και λοιπά.


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΘΕΜΑΤΑ ΜΕ ΑΠΑΙΤΗΣΕΙΣ Γ'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης