Τριγωνομετρική εκθετική ανισότητα

Δυσκολότερα θέματα τα οποία όμως άπτονται της σχολικής ύλης και χρησιμοποιούν αποκλειστικά θεωρήματα που βρίσκονται μέσα σε αυτή. Σε διαφορετική περίπτωση η σύνταξη του μηνύματος θα πρέπει να γίνει στο υποφόρουμ "Ο ΦΑΚΕΛΟΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΥ"

Συντονιστής: Μπάμπης Στεργίου

Άβαταρ μέλους
gbaloglou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2786
Εγγραφή: Παρ Φεβ 27, 2009 10:24 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονικη
Επικοινωνία:

Τριγωνομετρική εκθετική ανισότητα

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από gbaloglou » Τρί Δεκ 03, 2019 10:15 pm

Να δειχθεί, για 0<x<\dfrac{\pi}{4}, η ανισότητα

(cosx)^{cos^2x}>(sinx)^{sin^2x}.

[Εμφανίσθηκε πρόσφατα στο ΦΒ, μπορεί να έχει εμφανισθεί κάποτε και εδώ -- θα ήθελα να δω λύσεις πέραν της δικής μου ;) ]


Γιώργος Μπαλόγλου -- κρυσταλλογράφω άρα υπάρχω

Ὁρᾷς, τὸ κάλλος ὅσσον ἐστὶ τῆς λίθου, ἐν ταῖς ἀτάκτοις τῶν φλεβῶν εὐταξίαις. -- Παλατινή Ανθολογία 9.695 -- Ιδού του πετραδιού η άμετρη ομορφιά, μεσ' των φλεβών τις άναρχες πειθαρχίες.

Λέξεις Κλειδιά:
Λάμπρος Κατσάπας
Δημοσιεύσεις: 650
Εγγραφή: Σάβ Ιουν 17, 2017 10:17 pm
Τοποθεσία: Αθήνα

Re: Τριγωνομετρική εκθετική ανισότητα

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Λάμπρος Κατσάπας » Τετ Δεκ 04, 2019 12:37 am

gbaloglou έγραψε:
Τρί Δεκ 03, 2019 10:15 pm
Να δειχθεί, για 0<x<\dfrac{\pi}{4}, η ανισότητα

(cosx)^{cos^2x}>(sinx)^{sin^2x}.

[Εμφανίσθηκε πρόσφατα στο ΦΒ, μπορεί να έχει εμφανισθεί κάποτε και εδώ -- θα ήθελα να δω λύσεις πέραν της δικής μου ;) ]
Για διευκόλυνση ως προς τους υπολογισμούς θα γράψω την προς απόδειξη ανισότητα στην μορφή

\sqrt{(\cos^2 x)^{\cos^2x}}>\sqrt{(\sin^2 x)^{\sin^2x}} και θα θέσω u=\sin^2 x, u\in (0,1/2).

Πετώντας τα ριζικά και παίρνοντας λογαρίθμους αρκεί να δείξουμε ότι f(u):=(1-u)\ln (1-u)-u\ln u>0.

H πρώτη παράγωγος είναι {f}'(u)=-\ln(1-u)-\ln u -2.

Η δεύτερη παράγωγος είναι {f}''(u)=\dfrac{2u-1}{u(1-u)}<0 και επομένως

+\infty = \lim_{u\rightarrow 0+}{f}'(u)>{f}'(u)>\lim_{u\rightarrow \frac{1}{2}-}{f}'(u)=2\ln2-2(<0).

Η παράγωγος λοιπόν έχει μοναδική ρίζα u_0 στο (0,1/2) και τελικά η f

είναι γνησίως αύξουσα μέχρι το u_0 και γνησίως φθίνουσα από το u_0 μέχρι το

\dfrac{1}{2}. Είναι επίσης \lim_{u\rightarrow  \frac{1}{2}-}f(u)=\lim_{u\rightarrow  0+}f(u)=0

και επομένως f(u)>0 όπως θέλαμε να δείξουμε.


Άβαταρ μέλους
Λάμπρος Μπαλός
Δημοσιεύσεις: 926
Εγγραφή: Τρί Αύγ 13, 2013 12:21 pm
Τοποθεσία: Τρίκαλα

Re: Τριγωνομετρική εκθετική ανισότητα

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Λάμπρος Μπαλός » Τετ Δεκ 04, 2019 10:11 am

gbaloglou έγραψε:
Τρί Δεκ 03, 2019 10:15 pm
Να δειχθεί, για 0<x<\dfrac{\pi}{4}, η ανισότητα

(cosx)^{cos^2x}>(sinx)^{sin^2x}.

[Εμφανίσθηκε πρόσφατα στο ΦΒ, μπορεί να έχει εμφανισθεί κάποτε και εδώ -- θα ήθελα να δω λύσεις πέραν της δικής μου ;) ]
Γεια σας. Υπάρχει εδώ
viewtopic.php?f=55&t=59513&p=288357#p288357


Λάμπρος Μπαλός
lamprosbalos81@gmail.com
Άβαταρ μέλους
gbaloglou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2786
Εγγραφή: Παρ Φεβ 27, 2009 10:24 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονικη
Επικοινωνία:

Re: Τριγωνομετρική εκθετική ανισότητα

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από gbaloglou » Πέμ Δεκ 05, 2019 9:40 pm

Λάμπρος Μπαλός έγραψε:
Τετ Δεκ 04, 2019 10:11 am
gbaloglou έγραψε:
Τρί Δεκ 03, 2019 10:15 pm
Να δειχθεί, για 0<x<\dfrac{\pi}{4}, η ανισότητα

(cosx)^{cos^2x}>(sinx)^{sin^2x}.

[Εμφανίσθηκε πρόσφατα στο ΦΒ, μπορεί να έχει εμφανισθεί κάποτε και εδώ -- θα ήθελα να δω λύσεις πέραν της δικής μου ;) ]
Γεια σας. Υπάρχει εδώ
viewtopic.php?f=55&t=59513&p=288357#p288357
Λάμπρο ΝΑΙ, τώρα το θυμάμαι! Όσον αφορά την δική μου προσέγγιση, αυτή είναι πιο κοντά στην απόδειξη του άλλου Λάμπρου, βασιζόμενη στο εξής λήμμα (που κατά την γνώμη μου θα έπρεπε να διδάσκεται, και του οποίου η απόδειξη εμπεριέχεται στην προσέγγιση του Λάμπρου):

Λήμμα: Αν η f είναι κοίλη στο (a, b) και θετική στα a, b, τότε είναι θετική στο [a, b].

[Στην δική μου προσέγγιση κατέληξα να έχω μία συνάρτηση αύξουσα στο (a, d) και κοίλη στο (c, b), όπου a<c<d<b -- λεπτομέρειες εδώ.]


Γιώργος Μπαλόγλου -- κρυσταλλογράφω άρα υπάρχω

Ὁρᾷς, τὸ κάλλος ὅσσον ἐστὶ τῆς λίθου, ἐν ταῖς ἀτάκτοις τῶν φλεβῶν εὐταξίαις. -- Παλατινή Ανθολογία 9.695 -- Ιδού του πετραδιού η άμετρη ομορφιά, μεσ' των φλεβών τις άναρχες πειθαρχίες.
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΘΕΜΑΤΑ ΜΕ ΑΠΑΙΤΗΣΕΙΣ Γ'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης