Εκθετική κυρτότητα

Δυσκολότερα θέματα τα οποία όμως άπτονται της σχολικής ύλης και χρησιμοποιούν αποκλειστικά θεωρήματα που βρίσκονται μέσα σε αυτή. Σε διαφορετική περίπτωση η σύνταξη του μηνύματος θα πρέπει να γίνει στο υποφόρουμ "Ο ΦΑΚΕΛΟΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΥ"

Συντονιστής: Μπάμπης Στεργίου

Άβαταρ μέλους
gbaloglou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2692
Εγγραφή: Παρ Φεβ 27, 2009 10:24 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονικη
Επικοινωνία:

Εκθετική κυρτότητα

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από gbaloglou » Παρ Νοέμ 22, 2019 10:55 pm

Για x\geq1 ας είναι f(x) ο μοναδικός πραγματικός για τον οποίο ισχύει η f(x)^{f(x)}=x. Να μελετηθεί η f ως προς την κυρτότητα.


Γιώργος Μπαλόγλου -- κρυσταλλογράφω άρα υπάρχω

Ὁρᾷς, τὸ κάλλος ὅσσον ἐστὶ τῆς λίθου, ἐν ταῖς ἀτάκτοις τῶν φλεβῶν εὐταξίαις. -- Παλατινή Ανθολογία 9.695 -- Ιδού του πετραδιού η άμετρη ομορφιά, μεσ' των φλεβών τις άναρχες πειθαρχίες.

Λέξεις Κλειδιά:
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 2681
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Εκθετική κυρτότητα

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Σάβ Νοέμ 23, 2019 12:59 am

gbaloglou έγραψε:
Παρ Νοέμ 22, 2019 10:55 pm
Για x\geq1 ας είναι f(x) ο μοναδικός πραγματικός για τον οποίο ισχύει η f(x)^{f(x)}=x. Να μελετηθεί η f ως προς την κυρτότητα.
Υποθέτω ότι θεωρείς δεδομένη την παραγωγισιμότητα της f.

Εχουμε \displaystyle e^{f(x)\ln f(x)}=x

παραγωγίζοντας παίρνουμε

\displaystyle e^{f(x)\ln f(x)}(f'(x)\ln f(x)+f'(x))=1

και ξανά παραγωγίζοντας

\displaystyle e^{f(x)\ln f(x)}(f'(x)\ln f(x)+f'(x))^{2}+
e^{f(x)\ln f(x)}(f''(x)\ln f(x)+f''(x)+\frac{(f'(x))^{2}}{f(x)})=0

Επειδή για x>1 είναι  f(x)>1 άμεσα προκύπτει ότι είναι f''(x)<0.
Αρα είναι κοίλη όπως αναμενόταν.


Άβαταρ μέλους
R BORIS
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2178
Εγγραφή: Σάβ Ιαν 03, 2009 8:08 am
Επικοινωνία:

Re: Εκθετική κυρτότητα

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από R BORIS » Σάβ Νοέμ 23, 2019 10:03 am

μια παρατήρηση
αν η αντίστροφη είναι αύξουσα και κυρτή η \displaystyle{f} είναι κοίλη(θέλει απόδειξη)
Θεωρούμε ότι η συνάρτηση είναι 2 φορές παραγωγίσιμη
Εδώ η αντίστροφη είναι η \displaystyle{f^{-1}(x)=x^x,x>1} που πληρεί τις προϋποθέσεις άρα...
τελευταία επεξεργασία από R BORIS σε Τρί Νοέμ 26, 2019 7:55 am, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Άβαταρ μέλους
gbaloglou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2692
Εγγραφή: Παρ Φεβ 27, 2009 10:24 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονικη
Επικοινωνία:

Re: Εκθετική κυρτότητα

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από gbaloglou » Δευ Νοέμ 25, 2019 6:33 pm

R BORIS έγραψε:
Σάβ Νοέμ 23, 2019 10:03 am
μια παρατήρηση
αν η αντίστροφη είναι αύξουσα και κυρτή η \displaystyle{f} είναι κοίλη(θέλει απόδειξη)
Θεωρούμε ότι η συνάρτηση είναι 2 φορές παραγωγίσιμη
Εδώ η αντίστροφη είναι η \displaystyle{f^{-1}(x)=xe^x,x>1} που πληρεί τις προϋποθέσεις άρα...
Ροδόλφε δεν σε παρακολουθώ, για παράδειγμα η συνάρτηση σου στέλνει το 3 στο 60,25, ενώ η δική μου συνάρτηση στέλνει το 60,25 στο 3,37 -- δεν φαίνονται δηλσδή να είναι αντίστροφες η μία της άλλης...


Γιώργος Μπαλόγλου -- κρυσταλλογράφω άρα υπάρχω

Ὁρᾷς, τὸ κάλλος ὅσσον ἐστὶ τῆς λίθου, ἐν ταῖς ἀτάκτοις τῶν φλεβῶν εὐταξίαις. -- Παλατινή Ανθολογία 9.695 -- Ιδού του πετραδιού η άμετρη ομορφιά, μεσ' των φλεβών τις άναρχες πειθαρχίες.
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 2681
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Εκθετική κυρτότητα

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Δευ Νοέμ 25, 2019 8:11 pm

gbaloglou έγραψε:
Δευ Νοέμ 25, 2019 6:33 pm
R BORIS έγραψε:
Σάβ Νοέμ 23, 2019 10:03 am
μια παρατήρηση
αν η αντίστροφη είναι αύξουσα και κυρτή η \displaystyle{f} είναι κοίλη(θέλει απόδειξη)
Θεωρούμε ότι η συνάρτηση είναι 2 φορές παραγωγίσιμη
Εδώ η αντίστροφη είναι η \displaystyle{f^{-1}(x)=xe^x,x>1} που πληρεί τις προϋποθέσεις άρα...
Ροδόλφε δεν σε παρακολουθώ, για παράδειγμα η συνάρτηση σου στέλνει το 3 στο 60,25, ενώ η δική μου συνάρτηση στέλνει το 60,25 στο 3,37 -- δεν φαίνονται δηλσδή να είναι αντίστροφες η μία της άλλης...
Πρέπει να είναι τυπογραφικό Γιώργο.

Η αντίστροφη είναι η f^{-1}(x)=x^{x}=e^{x \ln x},x> 1


Άβαταρ μέλους
gbaloglou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2692
Εγγραφή: Παρ Φεβ 27, 2009 10:24 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονικη
Επικοινωνία:

Re: Εκθετική κυρτότητα

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από gbaloglou » Δευ Νοέμ 25, 2019 11:29 pm

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε:
Δευ Νοέμ 25, 2019 8:11 pm
gbaloglou έγραψε:
Δευ Νοέμ 25, 2019 6:33 pm
R BORIS έγραψε:
Σάβ Νοέμ 23, 2019 10:03 am
μια παρατήρηση
αν η αντίστροφη είναι αύξουσα και κυρτή η \displaystyle{f} είναι κοίλη(θέλει απόδειξη)
Θεωρούμε ότι η συνάρτηση είναι 2 φορές παραγωγίσιμη
Εδώ η αντίστροφη είναι η \displaystyle{f^{-1}(x)=xe^x,x>1} που πληρεί τις προϋποθέσεις άρα...
Ροδόλφε δεν σε παρακολουθώ, για παράδειγμα η συνάρτηση σου στέλνει το 3 στο 60,25, ενώ η δική μου συνάρτηση στέλνει το 60,25 στο 3,37 -- δεν φαίνονται δηλσδή να είναι αντίστροφες η μία της άλλης...
Πρέπει να είναι τυπογραφικό Γιώργο.

Η αντίστροφη είναι η f^{-1}(x)=x^{x}=e^{x \ln x},x> 1
Σταύρο πολύ σωστά, σ' ευχαριστώ, όπως και για την λύση σου (το ίδιο και τον Ροδόλφο).


Γιώργος Μπαλόγλου -- κρυσταλλογράφω άρα υπάρχω

Ὁρᾷς, τὸ κάλλος ὅσσον ἐστὶ τῆς λίθου, ἐν ταῖς ἀτάκτοις τῶν φλεβῶν εὐταξίαις. -- Παλατινή Ανθολογία 9.695 -- Ιδού του πετραδιού η άμετρη ομορφιά, μεσ' των φλεβών τις άναρχες πειθαρχίες.
Άβαταρ μέλους
gbaloglou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2692
Εγγραφή: Παρ Φεβ 27, 2009 10:24 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονικη
Επικοινωνία:

Re: Εκθετική κυρτότητα

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από gbaloglou » Δευ Δεκ 02, 2019 4:25 pm

gbaloglou έγραψε:
Δευ Νοέμ 25, 2019 11:29 pm
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε:
Δευ Νοέμ 25, 2019 8:11 pm
gbaloglou έγραψε:
Δευ Νοέμ 25, 2019 6:33 pm
R BORIS έγραψε:
Σάβ Νοέμ 23, 2019 10:03 am
μια παρατήρηση
αν η αντίστροφη είναι αύξουσα και κυρτή η \displaystyle{f} είναι κοίλη(θέλει απόδειξη)
Θεωρούμε ότι η συνάρτηση είναι 2 φορές παραγωγίσιμη
Εδώ η αντίστροφη είναι η \displaystyle{f^{-1}(x)=xe^x,x>1} που πληρεί τις προϋποθέσεις άρα...
Ροδόλφε δεν σε παρακολουθώ, για παράδειγμα η συνάρτηση σου στέλνει το 3 στο 60,25, ενώ η δική μου συνάρτηση στέλνει το 60,25 στο 3,37 -- δεν φαίνονται δηλσδή να είναι αντίστροφες η μία της άλλης...
Πρέπει να είναι τυπογραφικό Γιώργο.

Η αντίστροφη είναι η f^{-1}(x)=x^{x}=e^{x \ln x},x> 1
Σταύρο πολύ σωστά, σ' ευχαριστώ, όπως και για την λύση σου (το ίδιο και τον Ροδόλφο).
Ας δούμε λίγο το λήμμα που χρησιμοποίησε ο Ροδόλφος στην πολύ όμορφη απόδειξη του:

Λήμμα: Αν η f είναι αύξουσα και κυρτή τότε η f^{-1} είναι κοίλη.

Απόδειξη: θέτοντας g=f^{-1}, λαμβάνουμε από την f(g(x))=x τις f'(g(x))\cdot g'(x)=1 και f''(g(x))\cdot g'(x)^2+f'(g(x))\cdot g''(x)=0, οπότε από τις f'(g(x))>0 και f''(g(x))>0 προκύπτει η ζητούμενη g''(x)<0.

[Παρατηρούμε ενδιαφέρουσες, ενδεχομένως αναπόφευκτες, ομοιότητες ανάμεσα στις δύο αποδείξεις (Ροδόλφου και Σταύρου). Την δική μου απόδειξη την θυμάμαι πιο μπλεγμένη, αλλά και με ένα αρκετά ενδιαφέρον λήμμα: δυστυχώς και απροόπτως δεν καταφέρνω να την αναπαράξω, αν και όταν θυμηθώ κάτι ενδιαφέρον θα επανέλθω.]


Γιώργος Μπαλόγλου -- κρυσταλλογράφω άρα υπάρχω

Ὁρᾷς, τὸ κάλλος ὅσσον ἐστὶ τῆς λίθου, ἐν ταῖς ἀτάκτοις τῶν φλεβῶν εὐταξίαις. -- Παλατινή Ανθολογία 9.695 -- Ιδού του πετραδιού η άμετρη ομορφιά, μεσ' των φλεβών τις άναρχες πειθαρχίες.
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 2681
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Εκθετική κυρτότητα

#8

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Δευ Δεκ 02, 2019 8:03 pm

gbaloglou έγραψε:
Δευ Δεκ 02, 2019 4:25 pm



Ας δούμε λίγο το λήμμα που χρησιμοποίησε ο Ροδόλφος στην πολύ όμορφη απόδειξη του:

Λήμμα: Αν η f είναι αύξουσα και κυρτή τότε η f^{-1} είναι κοίλη.

Απόδειξη: θέτοντας g=f^{-1}, λαμβάνουμε από την f(g(x))=x τις f'(g(x))\cdot g'(x)=1 και f''(g(x))\cdot g'(x)^2+f'(g(x))\cdot g''(x)=0, οπότε από τις f'(g(x))>0 και f''(g(x))>0 προκύπτει η ζητούμενη g''(x)<0.

[Παρατηρούμε ενδιαφέρουσες, ενδεχομένως αναπόφευκτες, ομοιότητες ανάμεσα στις δύο αποδείξεις (Ροδόλφου και Σταύρου). Την δική μου απόδειξη την θυμάμαι πιο μπλεγμένη, αλλά και με ένα αρκετά ενδιαφέρον λήμμα: δυστυχώς και απροόπτως δεν καταφέρνω να την αναπαράξω, αν και όταν θυμηθώ κάτι ενδιαφέρον θα επανέλθω.]
Ας το δούμε και χωρίς να υποθέσουμε παραγωγισιμότητα. (εκτός φακέλλου)
Είναι γνωστό ότι η f:[a,b]\rightarrow \mathbb{R}
είναι κυρτή αν
x_{1},x_{2}\in [a,b],0<t<1\Rightarrow tf(x_{1})+(1-t)f(x_{2})\geq f(tx_{1}+(1-t)x_{2})
και κοίλη αν ισχύει η ανάποδη ανισότητα.

Θα δείξω ότι

Αν f:[a,b]\rightarrow \mathbb{R} είναι ,γνησίως αύξουσα και κυρτή
τότε η f^{-1}:f([a,b])\rightarrow [a,b]
είναι κοίλη.
Απόδειξη.
Εστω y_{1}=f(x_{1}),y_{2}=f(x_{2}),0<t<1

Επειδή η f είναι κυρτή ισχύει

f(tf^{-1}(y_{1})+(1-t)f^{-1}(y_{2}))\leq ty_{1}+(1-t)y_{2}

Επειδή και η f^{-1} είναι γνησίως αύξουσα αν την εφαρμόσουμε στην τελευταία δίνει

tf^{-1}(y_{1})+(1-t)f^{-1}(y_{2})\leq f^{-1}(ty_{1}+(1-t)y_{2})

που δείχνει ότι ηf^{-1} είναι κοίλη.


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΘΕΜΑΤΑ ΜΕ ΑΠΑΙΤΗΣΕΙΣ Γ'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης