Συνεχής υπό όρους

Δυσκολότερα θέματα τα οποία όμως άπτονται της σχολικής ύλης και χρησιμοποιούν αποκλειστικά θεωρήματα που βρίσκονται μέσα σε αυτή. Σε διαφορετική περίπτωση η σύνταξη του μηνύματος θα πρέπει να γίνει στο υποφόρουμ "Ο ΦΑΚΕΛΟΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΥ"

Συντονιστής: Μπάμπης Στεργίου

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 11614
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Συνεχής υπό όρους

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Δευ Νοέμ 18, 2019 11:42 am

Δίνεται η συνάρτηση : f(x)=\left\{\begin{matrix}
 \dfrac{4^x-1}{x}& , x\neq 0\\
& \\ 
 k& ,  x=0
\end{matrix}\right. . Βρείτε την τιμή του πραγματικού k ,

η οποία καθιστά την f συνεχή . Απαράβατος όρος : Όχι χρήση παραγώγων !



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 9326
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Συνεχής υπό όρους

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Δευ Νοέμ 18, 2019 4:44 pm

KARKAR έγραψε:
Δευ Νοέμ 18, 2019 11:42 am
Δίνεται η συνάρτηση : f(x)=\left\{\begin{matrix} 
 \dfrac{4^x-1}{x}& , x\neq 0\\ 
& \\  
 k& ,  x=0 
\end{matrix}\right. . Βρείτε την τιμή του πραγματικού k ,

η οποία καθιστά την f συνεχή . Απαράβατος όρος : Όχι χρήση παραγώγων !
\displaystyle \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{{4^x} - 1}}{x} και για 4^x=t, το ζητούμενο όριο γράφεται: \displaystyle \ln 4\mathop {\lim }\limits_{t \to 1} \frac{{t - 1}}{{\ln t}}

\displaystyle \ln t \le t - 1 και αντικαθιστώντας το t με \dfrac{1}{t}, έχουμε: \displaystyle  - \ln t \le \frac{{1 - t}}{t} \Rightarrow \frac{{t - 1}}{t} \le \ln t \le t - 1, απ' όπου

\boxed{\frac{1}{t} \le \frac{{\ln t}}{{t - 1}} \le 1, t>1} και \boxed{\frac{1}{t} \ge \frac{{\ln t}}{{t - 1}} \ge 1, 0<t<1}

Με κριτήριο τώρα παρεμβολής \displaystyle \mathop {\lim }\limits_{t \to 1} \frac{{t - 1}}{{\ln t}} = \mathop {\lim }\limits_{t \to 1} \frac{{\ln t}}{{t - 1}} = 1, άρα \boxed{k=\ln 4}


Άβαταρ μέλους
R BORIS
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2233
Εγγραφή: Σάβ Ιαν 03, 2009 8:08 am
Επικοινωνία:

Re: Συνεχής υπό όρους

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από R BORIS » Δευ Νοέμ 18, 2019 6:01 pm

\displaystyle{\frac{4^x-1}{x}=\frac{e^{xln4-1}}{xln4}ln4=ln4\frac{e^y-1}{y},y\to 0}

Ξεκινώντας από την \displaystyle{e^y\ge y+1} και για \displaystyle{y } το \displaystyle{-y} χρησιμοποιούμε το ΚΠ και δείχνουμε το \displaystyle{\frac{e^y-1}{y}\to 1}

δεν νομίζω οτι η άσκηση βρίσκεται στον σωστό φάκελλο> Ίσως στον ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ-ΟΡΙΑ- ΣΥΝΕΧΕΙΑ


ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 3069
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Συνεχής υπό όρους

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Δευ Νοέμ 18, 2019 7:10 pm

KARKAR έγραψε:
Δευ Νοέμ 18, 2019 11:42 am
Δίνεται η συνάρτηση : f(x)=\left\{\begin{matrix} 
 \dfrac{4^x-1}{x}& , x\neq 0\\ 
& \\  
 k& ,  x=0 
\end{matrix}\right. . Βρείτε την τιμή του πραγματικού k ,

η οποία καθιστά την f συνεχή . Απαράβατος όρος : Όχι χρήση παραγώγων !
Δεν νομίζω ότι μπορεί να λυθεί χωρίς χρήση παραγώγων και συγχρόνως να είναι μέσα στα πλαίσια της σχολικής ύλης
Συγκεκριμένα αυτό που έγραψε ο Ροδόλφος και ο Γιώργος στην ουσία χρησιμοποιούν την παράγωγο
της e^{x},\ln x
στα 0,1 αντίστοιχα.
Δηλαδή πως θα βγάλουμε τις ανισότητες
e^{x}\geq 1+x,x\in \mathbb{R}\vee \ln x\leq x-1,x>0
(που στην ουσία είναι μια)
στα πλαίσια της σχολικής ύλης χωρίς να χρησιμοποιήσουμε παραγώγους;


Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 11614
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Re: Συνεχής υπό όρους

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Δευ Νοέμ 18, 2019 9:29 pm

Ξεκινώ όπως περίπου ο Γιώργος :

Θέτοντας 4^x-1=u , το ζητούμενο όριο γράφεται : \displaystyle \ln 4\cdot \mathop {\lim }\limits_{u \to 0} \frac{{u}}{{\ln (u+1)}}=\ln4 ,

Αφού : \mathop {\lim }\limits_{u \to 0} \dfrac{{u}}{{\ln (u+1)}}=\mathop {\lim }\limits_{u \to 0} \dfrac{{\ln(u+1)}}{{u}}=1

Πράγματι : \mathop {\lim }\limits_{u \to 0} \dfrac{{\ln(u+1)}}{{u}}=\mathop {\lim }\limits_{u \to 0} {\ln(u+1)}^\dfrac{1}{u}} . Αλλά : \mathop {\lim }\limits_{u \to 0} {{(u+1)}^\dfrac{1}{u}}=e

διότι θέτοντας : \dfrac{1}{u}=t , και u\rightarrow 0^{+} , t\rightarrow +\infty , ...=\mathop {\lim }\limits_{t \to +\infty} {{(\dfrac{1}{t}+1)}^t}}=e .

Χρησιμοποιήθηκε ο ορισμός του e , του σχολικού βιβλίου της Β' Λυκείου . Όμοια και για u\rightarrow 0^{-}


ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 3069
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Συνεχής υπό όρους

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Δευ Νοέμ 18, 2019 9:49 pm

KARKAR έγραψε:
Δευ Νοέμ 18, 2019 9:29 pm
Ξεκινώ όπως περίπου ο Γιώργος :

Θέτοντας 4^x-1=u , το ζητούμενο όριο γράφεται : \displaystyle \ln 4\cdot \mathop {\lim }\limits_{u \to 0} \frac{{u}}{{\ln (u+1)}}=\ln4 ,

Αφού : \mathop {\lim }\limits_{u \to 0} \dfrac{{u}}{{\ln (u+1)}}=\mathop {\lim }\limits_{u \to 0} \dfrac{{\ln(u+1)}}{{u}}=1

Πράγματι : \mathop {\lim }\limits_{u \to 0} \dfrac{{\ln(u+1)}}{{u}}=\mathop {\lim }\limits_{u \to 0} {\ln(u+1)}^\dfrac{1}{u}} . Αλλά : \mathop {\lim }\limits_{u \to 0} {{(u+1)}^\dfrac{1}{u}}=e

διότι θέτοντας : \dfrac{1}{u}=t , και u\rightarrow 0^{+} , t\rightarrow +\infty , ...=\mathop {\lim }\limits_{t \to +\infty} {{(\dfrac{1}{t}+1)}^t}}=e .

Χρησιμοποιήθηκε ο ορισμός του e , του σχολικού βιβλίου της Β' Λυκείου . Όμοια και για u\rightarrow 0^{-}
Αν δεν κάνω λάθος το σχολικό της Β Λυκείου έχει για ορισμό του e τον

\mathop {\lim }\limits_{n \to +\infty} {{(\dfrac{1}{n}+1)}^n}}=e

Από αυτό για να προκύψει ότι

\mathop {\lim }\limits_{t \to +\infty} {{(\dfrac{1}{t}+1)}^t}}=e

και

\mathop {\lim }\limits_{t \to -\infty} {{(\dfrac{1}{t}+1)}^t}}=e
θέλει αρκετή δουλειά και φυσικά να χρησιμοποιήσουμε ιδιότητες που δεν
υπάρχουν στο σχολικό αν και είναι τετριμμένες.

συμπλήρωμα.Εβαλα και την σχέση μετά το μπλέ.


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΘΕΜΑΤΑ ΜΕ ΑΠΑΙΤΗΣΕΙΣ Γ'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης