Σύνολο τιμών
Συντονιστής: Μπάμπης Στεργίου
Re: Σύνολο τιμών
Ευκολα τα ορια στο και στο είναι αντίστοιχα το kai αντίστοιχα
το οριο στο μετα 2 DLH είναι το
δείχνουμε ότι για αρκεί
ή oπου
για αρκεί ή oπου με την αρα φθίνουσα και επειδή πάλι
Αρα συνολο τιμών είναι το
Re: Σύνολο τιμών
Αφού ευχαριστήσω τον Ροδόλφο για την περίτεχνη προσέγγιση ( και αποδεχθώ τον υπολογισμό των ορίων ! ) ,
ας γράψω μία πιο "σχολική" :
Αρκεί να δείξουμε ότι η είναι γνησίως αύξουσα σε καθένα από τα διαστήματα και
Επειδή : , αρκεί να είναι :
Θεωρώ την συνάρτηση : , για την οποία είναι :
και . Αλλά ,
(με το μόνο για ) και αφού , δηλαδή η είναι γνησίως αύξουσα
και έχει μοναδική ρίζα την προφανή : .
Συνεπώς η είναι γν. φθίνουσα στο και γν. αύξουσα στο , με ελάχιστη τιμή το .
Δηλαδή ή . ( Η ισότητα δεν ισχύει για την )
ας γράψω μία πιο "σχολική" :
Αρκεί να δείξουμε ότι η είναι γνησίως αύξουσα σε καθένα από τα διαστήματα και
Επειδή : , αρκεί να είναι :
Θεωρώ την συνάρτηση : , για την οποία είναι :
και . Αλλά ,
(με το μόνο για ) και αφού , δηλαδή η είναι γνησίως αύξουσα
και έχει μοναδική ρίζα την προφανή : .
Συνεπώς η είναι γν. φθίνουσα στο και γν. αύξουσα στο , με ελάχιστη τιμή το .
Δηλαδή ή . ( Η ισότητα δεν ισχύει για την )
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Google [Bot] και 7 επισκέπτες