Σύνολο τιμών

Δυσκολότερα θέματα τα οποία όμως άπτονται της σχολικής ύλης και χρησιμοποιούν αποκλειστικά θεωρήματα που βρίσκονται μέσα σε αυτή. Σε διαφορετική περίπτωση η σύνταξη του μηνύματος θα πρέπει να γίνει στο υποφόρουμ "Ο ΦΑΚΕΛΟΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΥ"

Συντονιστής: Μπάμπης Στεργίου

Άβαταρ μέλους
polysot
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2575
Εγγραφή: Δευ Οκτ 19, 2009 11:43 pm
Τοποθεσία: Όπου βρω ενδιαφέρουσες προσωπικότητες...
Επικοινωνία:

Σύνολο τιμών

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από polysot » Σάβ Οκτ 12, 2019 8:55 pm

Αποσύρθηκε λόγω λάθους. Συγνώμη για όσους ασχολήθηκαν.
τελευταία επεξεργασία από polysot σε Σάβ Οκτ 12, 2019 10:17 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Σωτήρης Δ. Χασάπης

Ζήσε τα μαθηματικά σου!
-----------------------------
"There is a scientific taste just as there is a literary or artistic one", Renan
"The journey of a thousand miles begins with one step.", Lao Tzu

Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 11614
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Re: Σύνολο τιμών

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Σάβ Δεκ 28, 2019 11:02 am

Επειδή η ανάρτηση έμεινε κενή , ας λύσουμε το θέμα του Σωτήρη ( σύνολο τιμών )

για την συνάρτηση : f(x)=\ell n(4 \cot x+9 \tan x-11) .


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 12181
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Σύνολο τιμών

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Σάβ Δεκ 28, 2019 12:13 pm

KARKAR έγραψε:
Σάβ Δεκ 28, 2019 11:02 am
Επειδή η ανάρτηση έμεινε κενή , ας λύσουμε το θέμα του Σωτήρη ( σύνολο τιμών )

για την συνάρτηση : f(x)=\ell n(4 \cot x+9 \tan x-11) .
Τα \tan και \cot είναι ομόσημα οπότε μπορούμε να τα θεωρήσουμε θετικά για να είμαστε στο πεδίο ορισμού του λογαρίθμου. Για θετικά λοιπόν από Α.Μ-Γ.Μ. έχουμε

\displaystyle{4 \cot x+9 \tan x \ge 2 \sqrt {4 \cot x \cdot 9 \tan x} = 2 \sqrt {36}=12} με ισότητα όταν \tan x = 2/3. Το ελάχιστο της συνάρτησης είναι \ln (12-11)=0. Επίσης, είναι μη φραγμένη λόγω του \tan. Εύκολα καταλήγουμε με χρήση συνεχειας ότι το σύνολο τιμών είναι το [0, \infty)


KAKABASBASILEIOS
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 1538
Εγγραφή: Κυρ Φεβ 01, 2009 1:46 pm

Re: Σύνολο τιμών

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KAKABASBASILEIOS » Σάβ Δεκ 28, 2019 12:56 pm

KARKAR έγραψε:
Σάβ Δεκ 28, 2019 11:02 am
Επειδή η ανάρτηση έμεινε κενή , ας λύσουμε το θέμα του Σωτήρη ( σύνολο τιμών )

για την συνάρτηση : f(x)=\ell n(4 \cot x+9 \tan x-11) .
...Καλημέρα και Χρόνια πολλά :logo: ....με μια εύρεση συνόλου τιμών....

Για να ορίζεται η συνάρτηση πρέπει και αρκεί \sin (x)\ne 0,\cos (x)\ne 0,4\cot (x)+9\tan (x)-11>0

δηλαδή x\ne \kappa \pi ,\cos (x)\ne \frac{\pi }{2}+\kappa \pi ,\kappa \in \mathbb{Z},

και ακόμη 4\frac{1}{\tan x}+9\tan x-11>0\Leftrightarrow \frac{9{{\tan }^{2}}x-11\tan x+4}{\tan x}>0\Leftrightarrow

\tan x>0\Leftrightarrow x\in (\kappa \pi ,\,\kappa \pi +\frac{\pi }{2}),\,\,\kappa \in \mathbb{Z} αφού

9{{\tan }^{2}}x-11\tan x+4>0 λόγω διακρίνουσας \Delta ={{11}^{2}}-{{12}^{2}}<0

οπότε τελικά ορίζεται στην ένωση των διαστημάτων A=\underset{\kappa \in \mathbb{Z}}{\mathop{\cup }}\,(\kappa \pi ,\,\kappa \pi +\frac{\pi }{2})

Επίσης λόγω περιοδικότητας αφού f(\pi +x)==f(x) την μελετάμε στο (0,\,\,\frac{\pi }{2}) που είναι παραγωγίσιμη

ως πράξεις παραγωγίσιμων και από f(x)=\ell n(4\cot x+9\tan x-11)\Leftrightarrow

{{e}^{f(x)}}=4\cot x+9\tan x-11 παραγωγίζοντας έχουμε

{{e}^{f(x)}}{f}'(x)=-\frac{4}{{{\sin }^{2}}x}+\frac{9}{{{\cos }^{2}}x}=\frac{9{{\sin }^{2}}x-4{{\cos }^{2}}x}{{{\sin }^{2}}x{{\cos }^{2}}x}=

=\frac{9{{\tan }^{2}}x-4}{{{\sin }^{2}}x}=\frac{(3\tan x+2)(3\tan x-2)}{{{\sin }^{2}}x}

Τώρα {f}'(x)=0\Leftrightarrow 3\tan x-2=0\Leftrightarrow \tan x=\frac{2}{3} και αν \theta \in (0,\,\,\frac{\pi }{2}) που

\tan \theta =\frac{2}{3} λόγω μονοτονίας της \tan x όταν x<\theta \Rightarrow \tan x<\tan \theta =\frac{2}{3}\Leftrightarrow 3\tan x-2<0\Leftrightarrow {f}'(x)<0 άρα

f γνήσια φθίνουσα στο (0,\,\,\theta ) και όταν x>\theta \Rightarrow \tan x>\tan \theta =\frac{2}{3}\Leftrightarrow 3\tan x-2>0\Leftrightarrow {f}'(x)>0

άρα f γνήσια αύξουσα στο (\theta ,\,\frac{\pi }{2}) επομένως παρουσιάζει ολικό ελάχιστο στο

\theta το f(\theta )=\ell n(4\cot \theta +9\tan \theta -11)=\ell n(4\frac{3}{2}+9\frac{2}{3}-11)=\ln 1=0

Ακόμη \underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,(4\cot x+9\tan x-11)=+\infty αφού

\underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,(\cot x)=+\infty και \underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,(\tan x)=0 και

\underset{x\to {{\frac{\pi }{2}}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,(4\cot x+9\tan x-11)=+\infty αφού \underset{x\to {{\frac{\pi }{2}}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,(\cot x)=0και

\underset{x\to {{\frac{\pi }{2}}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,(\tan x)=+\infty άρα το σύνολο τιμών της συνάρτησης είναι το [0,\,\,+\infty )

Φιλικά και Μαθηματικά
Βασίλης


f ανοιγοντας τους δρομους της Μαθηματικης σκεψης, f' παραγωγος επιτυχιας
Τα Μαθηματικά είναι απλά...όταν σκέπτεσαι σωστά...
Τα Μαθηματικά είναι αυτά...για να δεις πιό μακρυά...
Τα Μαθηματικά είναι μαγεία...όταν έχεις φαντασία...
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΘΕΜΑΤΑ ΜΕ ΑΠΑΙΤΗΣΕΙΣ Γ'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης