Σύνολο τιμών

Ιστοσελίδα · #1

Αποσύρθηκε λόγω λάθους. Συγνώμη για όσους ασχολήθηκαν.

KARKAR · #2

Επειδή η ανάρτηση έμεινε κενή , ας λύσουμε το θέμα του Σωτήρη ( σύνολο τιμών )

για την συνάρτηση : $f(x)=\ell n(4 \cot x+9 \tan x-11)$ .

#3

KARKAR έγραψε: ↑
Σάβ Δεκ 28, 2019 11:02 am
Επειδή η ανάρτηση έμεινε κενή , ας λύσουμε το θέμα του Σωτήρη ( σύνολο τιμών )

για την συνάρτηση : $f(x)=\ell n(4 \cot x+9 \tan x-11)$ .

Τα $\tan$ και $\cot$ είναι ομόσημα οπότε μπορούμε να τα θεωρήσουμε θετικά για να είμαστε στο πεδίο ορισμού του λογαρίθμου. Για θετικά λοιπόν από Α.Μ-Γ.Μ. έχουμε

$\displaystyle{4 \cot x+9 \tan x \ge 2 \sqrt {4 \cot x \cdot 9 \tan x} = 2 \sqrt {36}=12}$ με ισότητα όταν $\tan x = 2/3$ . Το ελάχιστο της συνάρτησης είναι $\ln (12-11)=0$ . Επίσης, είναι μη φραγμένη λόγω του $\tan$ . Εύκολα καταλήγουμε με χρήση συνεχειας ότι το σύνολο τιμών είναι το $[0, \infty)$

#4

KARKAR έγραψε: ↑
Σάβ Δεκ 28, 2019 11:02 am
Επειδή η ανάρτηση έμεινε κενή , ας λύσουμε το θέμα του Σωτήρη ( σύνολο τιμών )

για την συνάρτηση : $f(x)=\ell n(4 \cot x+9 \tan x-11)$ .

...Καλημέρα και Χρόνια πολλά

....με μια εύρεση συνόλου τιμών....

Για να ορίζεται η συνάρτηση πρέπει και αρκεί $\sin (x)\ne 0,\cos (x)\ne 0,4\cot (x)+9\tan (x)-11>0$

δηλαδή $x\ne \kappa \pi ,\cos (x)\ne \frac{\pi }{2}+\kappa \pi ,\kappa \in \mathbb{Z},$

και ακόμη $4\frac{1}{\tan x}+9\tan x-11>0\Leftrightarrow \frac{9{{\tan }^{2}}x-11\tan x+4}{\tan x}>0\Leftrightarrow$

$\tan x>0\Leftrightarrow x\in (\kappa \pi ,\,\kappa \pi +\frac{\pi }{2}),\,\,\kappa \in \mathbb{Z}$ αφού

$9{{\tan }^{2}}x-11\tan x+4>0$ λόγω διακρίνουσας $\Delta ={{11}^{2}}-{{12}^{2}}<0$

οπότε τελικά ορίζεται στην ένωση των διαστημάτων $A=\underset{\kappa \in \mathbb{Z}}{\mathop{\cup }}\,(\kappa \pi ,\,\kappa \pi +\frac{\pi }{2})$

Επίσης λόγω περιοδικότητας αφού $f(\pi +x)==f(x)$ την μελετάμε στο $(0,\,\,\frac{\pi }{2})$ που είναι παραγωγίσιμη

ως πράξεις παραγωγίσιμων και από $f(x)=\ell n(4\cot x+9\tan x-11)\Leftrightarrow$

${{e}^{f(x)}}=4\cot x+9\tan x-11$ παραγωγίζοντας έχουμε

${{e}^{f(x)}}{f}'(x)=-\frac{4}{{{\sin }^{2}}x}+\frac{9}{{{\cos }^{2}}x}=\frac{9{{\sin }^{2}}x-4{{\cos }^{2}}x}{{{\sin }^{2}}x{{\cos }^{2}}x}=$

$=\frac{9{{\tan }^{2}}x-4}{{{\sin }^{2}}x}=\frac{(3\tan x+2)(3\tan x-2)}{{{\sin }^{2}}x}$

Τώρα ${f}'(x)=0\Leftrightarrow 3\tan x-2=0\Leftrightarrow \tan x=\frac{2}{3}$ και αν $\theta \in (0,\,\,\frac{\pi }{2})$ που

$\tan \theta =\frac{2}{3}$ λόγω μονοτονίας της $\tan x$ όταν $x<\theta \Rightarrow \tan x<\tan \theta =\frac{2}{3}\Leftrightarrow 3\tan x-2<0\Leftrightarrow {f}'(x)<0$ άρα

γνήσια φθίνουσα στο $(0,\,\,\theta )$ και όταν $x>\theta \Rightarrow \tan x>\tan \theta =\frac{2}{3}\Leftrightarrow 3\tan x-2>0\Leftrightarrow {f}'(x)>0$

άρα

γνήσια αύξουσα στο $(\theta ,\,\frac{\pi }{2})$ επομένως παρουσιάζει ολικό ελάχιστο στο

$\theta$ το $f(\theta )=\ell n(4\cot \theta +9\tan \theta -11)=\ell n(4\frac{3}{2}+9\frac{2}{3}-11)=\ln 1=0$

Ακόμη $\underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,(4\cot x+9\tan x-11)=+\infty$ αφού

$\underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,(\cot x)=+\infty$ και $\underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,(\tan x)=0$ και

$\underset{x\to {{\frac{\pi }{2}}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,(4\cot x+9\tan x-11)=+\infty$ αφού $\underset{x\to {{\frac{\pi }{2}}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,(\cot x)=0$ και

$\underset{x\to {{\frac{\pi }{2}}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,(\tan x)=+\infty$ άρα το σύνολο τιμών της συνάρτησης είναι το $[0,\,\,+\infty )$

Φιλικά και Μαθηματικά
Βασίλης

Σύνολο τιμών

Σύνολο τιμών

Re: Σύνολο τιμών

Re: Σύνολο τιμών

Re: Σύνολο τιμών

Μέλη σε σύνδεση