mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Πέμ Οκτ 10, 2019 8:15 am**

Με αφορμή αυτό

Για ποιες τιμές του πραγματικού

, η συνάρτηση : $f(x)=x+\sqrt{x^2-2x+a$ , δεν είναι : "1-1"

;

Δημοσιεύτηκε: **Πέμ Οκτ 10, 2019 9:50 am**

Για να μην είναι η f 1-1 θα πρέπει να υπάρχουν k,m

με $k\neq m$ και f(k)=f(m)

. Μετά από πράξεις καταλήγω $k^{2}-k+k\sqrt{k^{2}-2k+a}=m^{2}-m+m\sqrt{m^{2}-2m+a}$ . Μετά δεν ξέρω πώς να συνεχίσω. Μπορεί να χρειάζεται παράγωγο. Βέβαια το πεδίο ορισμού είναι δυσεύρετο.

Δημοσιεύτηκε: **Πέμ Οκτ 10, 2019 10:37 am**

$\displaystyle \bullet$ Αν a=1,

που προφανώς δεν είναι 1-1.

$\displaystyle \bullet$ Αν a>1,

τότε το πεδίο ορισμού της

είναι το $\mathbb{R}$ και $\displaystyle f'(x) = \frac{{\sqrt {{x^2} - 2x + a} + x - 1}}{{\sqrt {{x^2} - 2x + a} }} > 0.$ (Είναι προφανές για $x\ge 1,$

ενώ για x<1,

$\displaystyle \sqrt {{x^2} - 2x + a} > 1 - x > 0 \Rightarrow a > 1$ που ισχύει). Άρα η

ως γνησίως αύξουσα στο $\mathbb{R}$ είναι 1-1.

$\displaystyle \bullet$ Αν a<1,

(δεν την έχω εξετάσει πλήρως) αλλά νομίζω ότι αντιμετωπίζεται όπως η άσκηση της παραπομπής.

Δημοσιεύτηκε: **Πέμ Οκτ 10, 2019 10:43 am**

KARKAR έγραψε: ↑
Πέμ Οκτ 10, 2019 8:15 am
Με αφορμή αυτό

Για ποιες τιμές του πραγματικού , η συνάρτηση : $f(x)=x+\sqrt{x^2-2x+a$ , δεν είναι : ;

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

Δεν γράφω λύση για να ασχοληθούν οι ''μικροί''.

Δημοσιεύτηκε: **Παρ Οκτ 11, 2019 1:51 pm**

Θα γράψω λύση της γενικότερης

Ποια είναι η αναγκαία και ικανή συνθήκη για τα a,b

ώστε η

$f(x)=x+\sqrt{x^2+ax+b$ , δεν είναι : "1-1"

Επειδή $x^2+ax+b=(x+\frac{a}{2})^{2}+\frac{4b-a^{2}}{4}$

αν θέσουμε $k=\frac{4b-a^{2}}{4}$

η συνάρτηση είναι

$f(x)=x+\sqrt{(x+\frac{a}{2})^2+k}$

Αρκεί και πρέπει η

$f(x)+\frac{a}{2}$ να μην είναι 1-1

Δηλαδή πρέπει να δούμε τι κάνει η

$g(t)=t+\sqrt{t^2+k}$

Αν k=0

τότε

που προφανώς δεν είναι 1-1

Εστω $k\neq 0$

Κάνοντας πράξεις χρησιμοποιώντας συζυγή παράσταση έχουμε

$g(t_{1})=g(t_{2})\Leftrightarrow t_{1}=t_{2}\vee t_{1}+t_{2}+\sqrt{t_{1}^2+k}+\sqrt{t_{2}^{2}+k}=0$ (1)

1 περίπτωση

k>0

επειδή τότε $t+\sqrt{t^2+k}> t+|t|\geq 0$

η (1) δίνει ότι η

οπότε και η

είναι

2 περίπτωση

k<0

θέτοντας $k=-r^{2},r>0$

το πεδίο ορισμού της

είναι $(-\infty ,-r]\cup [r,\infty )$

Αν $t_{1},t_{2}\geq r$

τότε η (1) δίνει $t_{1}=t_{2}$

Αν $t_{1},t_{2}\leq - r$

τότε η (1) δίνει $t_{1}=t_{2}$

γιατί $t+\sqrt{t^2+k}< t+|t|=0$

μένει η περίπτωση $t_{1}\leq -r< r\leq t_{2}$

Τότε είναι $g(t_{1})< 0< g(t_{2})$

Αρα και σε αυτή την περίπτωση η

οπότε και η

είναι

Συμπέρασμα.
Η

δεν είναι

αν και μόνο αν $\frac{4b-a^{2}}{4}=0$

mathematica.gr

1-1

1-1

Re: 1-1

Re: 1-1

Re: 1-1

Re: 1-1