1-1

Δυσκολότερα θέματα τα οποία όμως άπτονται της σχολικής ύλης και χρησιμοποιούν αποκλειστικά θεωρήματα που βρίσκονται μέσα σε αυτή. Σε διαφορετική περίπτωση η σύνταξη του μηνύματος θα πρέπει να γίνει στο υποφόρουμ "Ο ΦΑΚΕΛΟΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΥ"

Συντονιστής: Μπάμπης Στεργίου

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 10874
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

1-1

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Πέμ Οκτ 10, 2019 8:15 am

Με αφορμή αυτό

Για ποιες τιμές του πραγματικού a , η συνάρτηση : f(x)=x+\sqrt{x^2-2x+a , δεν είναι : "1-1" ;



Λέξεις Κλειδιά:
panagiotis iliopoulos
Δημοσιεύσεις: 80
Εγγραφή: Τετ Μαρ 07, 2018 10:26 pm

Re: 1-1

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από panagiotis iliopoulos » Πέμ Οκτ 10, 2019 9:50 am

Για να μην είναι η f 1-1 θα πρέπει να υπάρχουν k,m με k\neq m και f(k)=f(m). Μετά από πράξεις καταλήγω k^{2}-k+k\sqrt{k^{2}-2k+a}=m^{2}-m+m\sqrt{m^{2}-2m+a}. Μετά δεν ξέρω πώς να συνεχίσω. Μπορεί να χρειάζεται παράγωγο. Βέβαια το πεδίο ορισμού είναι δυσεύρετο.


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8431
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: 1-1

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Πέμ Οκτ 10, 2019 10:37 am

\displaystyle  \bullet Αν a=1, f(x)=x+|x-1| που προφανώς δεν είναι 1-1.

\displaystyle  \bullet Αν a>1, τότε το πεδίο ορισμού της f είναι το \mathbb{R} και \displaystyle f'(x) = \frac{{\sqrt {{x^2} - 2x + a}  + x - 1}}{{\sqrt {{x^2} - 2x + a} }} > 0. (Είναι προφανές για x\ge 1,

ενώ για x<1, \displaystyle \sqrt {{x^2} - 2x + a}  > 1 - x > 0 \Rightarrow a > 1 που ισχύει). Άρα η f ως γνησίως αύξουσα στο \mathbb{R} είναι 1-1.

\displaystyle  \bullet Αν a<1, (δεν την έχω εξετάσει πλήρως) αλλά νομίζω ότι αντιμετωπίζεται όπως η άσκηση της παραπομπής.


ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 2637
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: 1-1

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Πέμ Οκτ 10, 2019 10:43 am

KARKAR έγραψε:
Πέμ Οκτ 10, 2019 8:15 am
Με αφορμή αυτό

Για ποιες τιμές του πραγματικού a , η συνάρτηση : f(x)=x+\sqrt{x^2-2x+a , δεν είναι : "1-1" ;
Η απάντηση είναι για a=1.Μπορεί να αποδειχθεί και χωρίς παραγώγους.
Δεν γράφω λύση για να ασχοληθούν οι ''μικροί''.


ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 2637
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: 1-1

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Παρ Οκτ 11, 2019 1:51 pm

Θα γράψω λύση της γενικότερης

Ποια είναι η αναγκαία και ικανή συνθήκη για τα a,b ώστε η

f(x)=x+\sqrt{x^2+ax+b , δεν είναι : "1-1"

Επειδή x^2+ax+b=(x+\frac{a}{2})^{2}+\frac{4b-a^{2}}{4}

αν θέσουμε k=\frac{4b-a^{2}}{4}

η συνάρτηση είναι

f(x)=x+\sqrt{(x+\frac{a}{2})^2+k}

Αρκεί και πρέπει η

f(x)+\frac{a}{2} να μην είναι 1-1

Δηλαδή πρέπει να δούμε τι κάνει η

g(t)=t+\sqrt{t^2+k}

Αν k=0 τότε g(t)=t+|t| που προφανώς δεν είναι 1-1

Εστω k\neq 0

Κάνοντας πράξεις χρησιμοποιώντας συζυγή παράσταση έχουμε

g(t_{1})=g(t_{2})\Leftrightarrow t_{1}=t_{2}\vee t_{1}+t_{2}+\sqrt{t_{1}^2+k}+\sqrt{t_{2}^{2}+k}=0(1)

1 περίπτωση

k>0

επειδή τότε t+\sqrt{t^2+k}> t+|t|\geq 0

η (1) δίνει ότι η g οπότε και η f είναι 1-1

2 περίπτωση

k<0

θέτοντας k=-r^{2},r>0

το πεδίο ορισμού της g είναι (-\infty ,-r]\cup [r,\infty )

Αν t_{1},t_{2}\geq r

τότε η (1) δίνει t_{1}=t_{2}

Αν t_{1},t_{2}\leq - r

τότε η (1) δίνει t_{1}=t_{2}

γιατί t+\sqrt{t^2+k}< t+|t|=0

μένει η περίπτωση t_{1}\leq -r< r\leq t_{2}

Τότε είναι g(t_{1})< 0< g(t_{2})

Αρα και σε αυτή την περίπτωση η g οπότε και η f είναι 1-1

Συμπέρασμα.
Η f δεν είναι 1-1 αν και μόνο αν \frac{4b-a^{2}}{4}=0


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΘΕΜΑΤΑ ΜΕ ΑΠΑΙΤΗΣΕΙΣ Γ'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης