Κρυμμένο θεώρημα και κάτι ακόμα...

Δυσκολότερα θέματα τα οποία όμως άπτονται της σχολικής ύλης και χρησιμοποιούν αποκλειστικά θεωρήματα που βρίσκονται μέσα σε αυτή. Σε διαφορετική περίπτωση η σύνταξη του μηνύματος θα πρέπει να γίνει στο υποφόρουμ "Ο ΦΑΚΕΛΟΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΥ"

Συντονιστής: Μπάμπης Στεργίου

Άβαταρ μέλους
M.S.Vovos
Δημοσιεύσεις: 883
Εγγραφή: Παρ Φεβ 27, 2015 5:45 pm

Κρυμμένο θεώρημα και κάτι ακόμα...

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από M.S.Vovos » Τετ Μαρ 20, 2019 5:10 pm

Έστω η δύο φορές παραγωγίσιμη συνάρτηση f:\mathbb{R}\longrightarrow \mathbb{R} με f(0)=1 και σύνολο τιμών το διάστημα \left (0,1  \right ]. Αν για κάθε x\in \mathbb{R} ισχύει:

\displaystyle{f''(x)=-2\left ( xf'(x)+e^{-x^{2}} \right )} τότε να αποδείξετε ότι:

(α) Ισχύει \displaystyle f(x)=e^{-x^{2}}, για κάθε x\in \mathbb{R}.

(β) Για κάθε x\geq 0 ισχύει η ανισότητα:

\displaystyle{e^{e^{2x}}f\left ( 1+x+\frac{x^{2}}{2}+\frac{x^{3}}{6} \right )\geq 1}
(γ) Το εμβαδόν του χωρίου, που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της f, τους άξονες συντεταγμένων και την ευθεία x=1, είναι μεγαλύτερο από \displaystyle \frac{26}{35} τ.μ.

Φιλικά,
Μάριος


Υ.Γ.1. Κάτι που μου άρεσε όταν κατασκεύαζα την άσκηση είναι ότι το κάτω φράγμα στο τελευταίο ερώτημα είναι αρκετά καλό. Η διαφορά είναι πολύ μικρή από την τιμή του ολοκληρώματος.
Υ.Γ.2. Ομολογώ πως δεν θα ήθελα να το δω στις πανελλαδικές εξετάσεις.


Είναι αυταπάτη ότι η νεότητα είναι ευτυχισμένη, μια αυταπάτη αυτών που την έχουν χάσει. W. Somerset Maugham

Λέξεις Κλειδιά:
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 2693
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Κρυμμένο θεώρημα και κάτι ακόμα...

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Τετ Μαρ 20, 2019 6:34 pm

M.S.Vovos έγραψε:
Τετ Μαρ 20, 2019 5:10 pm
Έστω η δύο φορές παραγωγίσιμη συνάρτηση f:\mathbb{R}\longrightarrow \mathbb{R} με f(0)=1 και σύνολο τιμών το διάστημα \left (0,1  \right ]. Αν για κάθε x\in \mathbb{R} ισχύει:

\displaystyle{f''(x)=-2\left ( xf'(x)+e^{-x^{2}} \right )} τότε να αποδείξετε ότι:

(α) Ισχύει \displaystyle f(x)=e^{-x^{2}}, για κάθε x\in \mathbb{R}.

(β) Για κάθε x\geq 0 ισχύει η ανισότητα:

\displaystyle{e^{e^{2x}}f\left ( 1+x+\frac{x^{2}}{2}+\frac{x^{3}}{6} \right )\geq 1}
(γ) Το εμβαδόν του χωρίου, που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της f, τους άξονες συντεταγμένων και την ευθεία x=1, είναι μεγαλύτερο από \displaystyle \frac{26}{35} τ.μ.

Φιλικά,
Μάριος


Υ.Γ.1. Κάτι που μου άρεσε όταν κατασκεύαζα την άσκηση είναι ότι το κάτω φράγμα στο τελευταίο ερώτημα είναι αρκετά καλό. Η διαφορά είναι πολύ μικρή από την τιμή του ολοκληρώματος.
Υ.Γ.2. Ομολογώ πως δεν θα ήθελα να το δω στις πανελλαδικές εξετάσεις.
Μάριε δεν καταλαβαίνω.

Αφού γράφεις
M.S.Vovos έγραψε:
Τετ Μαρ 20, 2019 5:10 pm
Υ.Γ.2. Ομολογώ πως δεν θα ήθελα να το δω στις πανελλαδικές εξετάσεις.
το λογικό συμπέρασμα είναι ότι το κρίνεις ακατάλληλο.

Γιατί το βάζεις λοιπόν σε αυτό τον φάκελλο;

Θα μπορούσες να το βάλεις π.χ στον φάκελλο Ανάλυση.

Η δική μου γνώμη είναι ότι είναι εντελώς ακατάλληλο για αυτόν τον φάκελλο,
καθώς και σαν θέμα δεν παρουσιάζει μαθηματικό ενδιαφέρον.


Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 4011
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
Επικοινωνία:

Re: Κρυμμένο θεώρημα και κάτι ακόμα...

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Τετ Μαρ 20, 2019 7:42 pm

M.S.Vovos έγραψε:
Τετ Μαρ 20, 2019 5:10 pm

Αν f(x)=e^{-x^2}\; , \; x \in \mathbb{R} τότε να δειχθεί ότι το εμβαδόν του χωρίου, που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της f, τους άξονες συντεταγμένων και την ευθεία x=1, είναι μεγαλύτερο από \displaystyle \frac{26}{35} τ.μ.

Φιλικά,
Μάριος

Από την ανισότητα:

\displaystyle{e^x \geq 1 + x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{6} \quad \text{\gr για κάθε} \;\; x \in \mathbb{R}}
έχουμε ότι:

\displaystyle{\begin{aligned} 
e^x \geq 1 + x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{6} &\overset{x \mapsto -x^2}{=\! =\! =\!\Rightarrow } e^{-x^2} \geq 1- x^2 + \frac{x^4}{2} - \frac{x^6}{6} \\  
 &\Rightarrow \int_{0}^{1} e^{-x^2} \, \mathrm{d}x > \int_{0}^{1} \left ( 1- x^2 + \frac{x^4}{2} - \frac{x^6}{6} \right ) \, \mathrm{d}x \\  
 &\Rightarrow \int_{0}^{1} e^{-x^2} \, \mathrm{d}x > \frac{26}{35} 
\end{aligned}}
Μεμονωμένα αυτό το ερώτημα έχει ένα ενδιαφέρον, αλλά θεωρώ ότι είναι εκτός ύλης αφού ο μαθητής δεν υποχρεούται να ξέρει τη βασικά ανισότητα. Θα μου πεις βγαίνει από το (β) . Τέτοιου είδους θέματα προσωπικά με αφήνουν αδιάφορο! Είναι κάτι εντελώς να αποδειχθεί η ανισότητα αυτή που είναι πανεύκολη αλλά άλλο να είναι βασικό μέρος μιας άσκησης για την επιτυχή επίλυση έστω και ενός ερωτήματος , εκτός και αν δίδεται ως βοηθητικό ερώτημα. Δεν επιθυμώ να σχολιάσω την αισθητική του θέματος αφού το έκανε επαρκώς ο Σταύρος!


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}
Άβαταρ μέλους
R BORIS
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2180
Εγγραφή: Σάβ Ιαν 03, 2009 8:08 am
Επικοινωνία:

Re: Κρυμμένο θεώρημα και κάτι ακόμα...

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από R BORIS » Πέμ Μαρ 21, 2019 1:36 pm

νομίζω οτι οφείλουμε μια απάντηση

\displaystyle{e^x^2f''(x)+2xe^x^2=-2 \Rightarrow (e^x^2f'(x))'=(-2x)' \Rightarrow e^x^2f'(x)=-2x+a}
από το σύνολο τιμων\displaystyle{ f(x)\le 1} ετσι \displaystyle{ f(x) \le f(0)} απο Fermat
\displaystyle{f'(0)=0} αρα \displaystyle{ a=0} άρα
\displaystyle{(f(x)e^x^2)'=0} τότε \displaystyle{f(x)=be^{-x^2}} και αφού \displaystyle{f(0)=1 \Rightarrow b=1} οποτε \displaystyle{f(x)=e^{-x^2}}

Θετω \displaystyle{h(x)=e^x-1-x-x^2/2-x^3/6},τοτε
\displaystyle{h'(x)=e^x-1-x-x^2/2},αρα
\displaystyle{h''(x)=e^x-1-x},συνεπώς
\displaystyle{h''\ge 0 } ,\displaystyle{h'\downarrow x<0,h' \uparrow x>0} αρα \displaystyle{h'>h'(0)=0} ομοια \displaystyle{h>0}
θετω\displaystyle{h=e^x-g} εχω \displaystyle{e^x>g \Rightarrow e^{2x}  >g^2  \Rightarrow e^{e^{2x}}>e^{g^2} \Rightarrow 
e^{e^{2x}}f(g)>1}


Άβαταρ μέλους
M.S.Vovos
Δημοσιεύσεις: 883
Εγγραφή: Παρ Φεβ 27, 2015 5:45 pm

Re: Κρυμμένο θεώρημα και κάτι ακόμα...

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από M.S.Vovos » Σάβ Μαρ 23, 2019 10:52 pm

Ευχαριστώ για τις απαντήσεις.
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε:
Τετ Μαρ 20, 2019 6:34 pm
M.S.Vovos έγραψε:
Τετ Μαρ 20, 2019 5:10 pm
Έστω η δύο φορές παραγωγίσιμη συνάρτηση f:\mathbb{R}\longrightarrow \mathbb{R} με f(0)=1 και σύνολο τιμών το διάστημα \left (0,1  \right ]. Αν για κάθε x\in \mathbb{R} ισχύει:

\displaystyle{f''(x)=-2\left ( xf'(x)+e^{-x^{2}} \right )} τότε να αποδείξετε ότι:

(α) Ισχύει \displaystyle f(x)=e^{-x^{2}}, για κάθε x\in \mathbb{R}.

(β) Για κάθε x\geq 0 ισχύει η ανισότητα:

\displaystyle{e^{e^{2x}}f\left ( 1+x+\frac{x^{2}}{2}+\frac{x^{3}}{6} \right )\geq 1}
(γ) Το εμβαδόν του χωρίου, που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της f, τους άξονες συντεταγμένων και την ευθεία x=1, είναι μεγαλύτερο από \displaystyle \frac{26}{35} τ.μ.

Φιλικά,
Μάριος


Υ.Γ.1. Κάτι που μου άρεσε όταν κατασκεύαζα την άσκηση είναι ότι το κάτω φράγμα στο τελευταίο ερώτημα είναι αρκετά καλό. Η διαφορά είναι πολύ μικρή από την τιμή του ολοκληρώματος.
Υ.Γ.2. Ομολογώ πως δεν θα ήθελα να το δω στις πανελλαδικές εξετάσεις.
Μάριε δεν καταλαβαίνω.

Αφού γράφεις
M.S.Vovos έγραψε:
Τετ Μαρ 20, 2019 5:10 pm
Υ.Γ.2. Ομολογώ πως δεν θα ήθελα να το δω στις πανελλαδικές εξετάσεις.
το λογικό συμπέρασμα είναι ότι το κρίνεις ακατάλληλο.

Γιατί το βάζεις λοιπόν σε αυτό τον φάκελλο;

Θα μπορούσες να το βάλεις π.χ στον φάκελλο Ανάλυση.

Η δική μου γνώμη είναι ότι είναι εντελώς ακατάλληλο για αυτόν τον φάκελλο,
καθώς και σαν θέμα δεν παρουσιάζει μαθηματικό ενδιαφέρον.
Στάυρο ομολογώ πως δεν μπορώ να φανταστώ ασκήσεις που να πατάνε σε σοβαρά βιβλία (π.χ. Spivak) οι οποίες να έχουν την δομή του ελληνικού συστήματος εξετάσεων. Εννοώ πως δεν μπορώ να σκεφτώ πως γίνεται να φτιάξουμε μια άσκηση με τέσσερα ερωτήματα η οποία να έχει έντονο μαθηματικό ενδιαφέρων και περιεχόμενο. Συμφωνείς;


Είναι αυταπάτη ότι η νεότητα είναι ευτυχισμένη, μια αυταπάτη αυτών που την έχουν χάσει. W. Somerset Maugham
Λάμπρος Κατσάπας
Δημοσιεύσεις: 541
Εγγραφή: Σάβ Ιουν 17, 2017 10:17 pm
Τοποθεσία: Αθήνα

Re: Κρυμμένο θεώρημα και κάτι ακόμα...

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Λάμπρος Κατσάπας » Σάβ Μαρ 23, 2019 10:55 pm

Κι όμως έχει ενδιαφέρον...από πίσω κρύβονται τα Hermite :D :D .


ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 2693
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Κρυμμένο θεώρημα και κάτι ακόμα...

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Κυρ Μαρ 24, 2019 8:31 pm

M.S.Vovos έγραψε:
Σάβ Μαρ 23, 2019 10:52 pm
Ευχαριστώ για τις απαντήσεις.
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε:
Τετ Μαρ 20, 2019 6:34 pm
M.S.Vovos έγραψε:
Τετ Μαρ 20, 2019 5:10 pm
Έστω η δύο φορές παραγωγίσιμη συνάρτηση f:\mathbb{R}\longrightarrow \mathbb{R} με f(0)=1 και σύνολο τιμών το διάστημα \left (0,1  \right ]. Αν για κάθε x\in \mathbb{R} ισχύει:

\displaystyle{f''(x)=-2\left ( xf'(x)+e^{-x^{2}} \right )} τότε να αποδείξετε ότι:

(α) Ισχύει \displaystyle f(x)=e^{-x^{2}}, για κάθε x\in \mathbb{R}.

(β) Για κάθε x\geq 0 ισχύει η ανισότητα:

\displaystyle{e^{e^{2x}}f\left ( 1+x+\frac{x^{2}}{2}+\frac{x^{3}}{6} \right )\geq 1}
(γ) Το εμβαδόν του χωρίου, που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της f, τους άξονες συντεταγμένων και την ευθεία x=1, είναι μεγαλύτερο από \displaystyle \frac{26}{35} τ.μ.

Φιλικά,
Μάριος


Υ.Γ.1. Κάτι που μου άρεσε όταν κατασκεύαζα την άσκηση είναι ότι το κάτω φράγμα στο τελευταίο ερώτημα είναι αρκετά καλό. Η διαφορά είναι πολύ μικρή από την τιμή του ολοκληρώματος.
Υ.Γ.2. Ομολογώ πως δεν θα ήθελα να το δω στις πανελλαδικές εξετάσεις.
Μάριε δεν καταλαβαίνω.

Αφού γράφεις
M.S.Vovos έγραψε:
Τετ Μαρ 20, 2019 5:10 pm
Υ.Γ.2. Ομολογώ πως δεν θα ήθελα να το δω στις πανελλαδικές εξετάσεις.
το λογικό συμπέρασμα είναι ότι το κρίνεις ακατάλληλο.

Γιατί το βάζεις λοιπόν σε αυτό τον φάκελλο;

Θα μπορούσες να το βάλεις π.χ στον φάκελλο Ανάλυση.

Η δική μου γνώμη είναι ότι είναι εντελώς ακατάλληλο για αυτόν τον φάκελλο,
καθώς και σαν θέμα δεν παρουσιάζει μαθηματικό ενδιαφέρον.
Στάυρο ομολογώ πως δεν μπορώ να φανταστώ ασκήσεις που να πατάνε σε σοβαρά βιβλία (π.χ. Spivak) οι οποίες να έχουν την δομή του ελληνικού συστήματος εξετάσεων. Εννοώ πως δεν μπορώ να σκεφτώ πως γίνεται να φτιάξουμε μια άσκηση με τέσσερα ερωτήματα η οποία να έχει έντονο μαθηματικό ενδιαφέρων και περιεχόμενο. Συμφωνείς;
Οχι δεν συμφωνώ.
Μπορούμε να πάρουμε μαθηματικώς ενδιαφέροντα αποτελέσματα και να τα κάνουμε ασκήσεις που να είναι κατάλληλες για τις Πανελλήνιες.
Αυτό βέβαια απαιτεί μεγάλο κόπο.
Και φυσικά δεν μπορούμε να φτιάξουμε πολλές.
Εγω εκείνο που δεν καταλαβαίνω είναι γιατί πρέπει να φτιάξουμε καινούργιες.
Υπάρχουν πάρα πολλές που κυκλοφορούν.Αλλες καλές άλλες όχι.
Διαλέγουμε από αυτές.
Ελπίζω να σε κάλυψα.


Λάμπρος Κατσάπας
Δημοσιεύσεις: 541
Εγγραφή: Σάβ Ιουν 17, 2017 10:17 pm
Τοποθεσία: Αθήνα

Re: Κρυμμένο θεώρημα και κάτι ακόμα...

#8

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Λάμπρος Κατσάπας » Κυρ Μαρ 24, 2019 9:48 pm

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε:
Κυρ Μαρ 24, 2019 8:31 pm

Μπορούμε να πάρουμε μαθηματικώς ενδιαφέροντα αποτελέσματα και να τα κάνουμε ασκήσεις που να είναι κατάλληλες για τις Πανελλήνιες.
Αυτό βέβαια απαιτεί μεγάλο κόπο.
...και γνώσεις για να μπορείς να ξεχωρίσεις το σκάρτο από το καλό.


Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 4011
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
Επικοινωνία:

Re: Κρυμμένο θεώρημα και κάτι ακόμα...

#9

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Κυρ Μαρ 24, 2019 10:07 pm

Λάμπρος Κατσάπας έγραψε:
Κυρ Μαρ 24, 2019 9:48 pm

...και γνώσεις για να μπορείς να ξεχωρίσεις το σκάρτο από το καλό.
.... που φυσικά δεν έχουν όλοι!


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}
Λάμπρος Κατσάπας
Δημοσιεύσεις: 541
Εγγραφή: Σάβ Ιουν 17, 2017 10:17 pm
Τοποθεσία: Αθήνα

Re: Κρυμμένο θεώρημα και κάτι ακόμα...

#10

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Λάμπρος Κατσάπας » Κυρ Μαρ 24, 2019 10:16 pm

Tolaso J Kos έγραψε:
Κυρ Μαρ 24, 2019 10:07 pm
Λάμπρος Κατσάπας έγραψε:
Κυρ Μαρ 24, 2019 9:48 pm

...και γνώσεις για να μπορείς να ξεχωρίσεις το σκάρτο από το καλό.
.... που φυσικά δεν έχουν όλοι!
Τόλη στου κασίδη το κεφάλι έχουν μάθει πολλοί :lol: :lol: Γι'αυτό συναντάμε ασκήσεις εκτρώματα...''ιδιοκατασκευές'' :wallbash: :wallbash: βεβαίως βεβαίως...


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΘΕΜΑΤΑ ΜΕ ΑΠΑΙΤΗΣΕΙΣ Γ'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες