Κρυμμένο θεώρημα και κάτι ακόμα...

M.S.Vovos · #1

Έστω η δύο φορές παραγωγίσιμη συνάρτηση $f:\mathbb{R}\longrightarrow \mathbb{R}$ με f(0)=1

και σύνολο τιμών το διάστημα $\left (0,1 \right ]$ . Αν για κάθε $x\in \mathbb{R}$ ισχύει:

$\displaystyle{f''(x)=-2\left ( xf'(x)+e^{-x^{2}} \right )}$ τότε να αποδείξετε ότι:

(α) Ισχύει $\displaystyle f(x)=e^{-x^{2}}$ , για κάθε $x\in \mathbb{R}$ .

(β) Για κάθε $x\geq 0$ ισχύει η ανισότητα:

$\displaystyle{e^{e^{2x}}f\left ( 1+x+\frac{x^{2}}{2}+\frac{x^{3}}{6} \right )\geq 1}$
(γ) Το εμβαδόν του χωρίου, που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της

, τους άξονες συντεταγμένων και την ευθεία x=1

, είναι μεγαλύτερο από $\displaystyle \frac{26}{35}$ τ.μ.

Φιλικά,
Μάριος

Υ.Γ.1. Κάτι που μου άρεσε όταν κατασκεύαζα την άσκηση είναι ότι το κάτω φράγμα στο τελευταίο ερώτημα είναι αρκετά καλό. Η διαφορά είναι πολύ μικρή από την τιμή του ολοκληρώματος.
Υ.Γ.2. Ομολογώ πως δεν θα ήθελα να το δω στις πανελλαδικές εξετάσεις.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #2

M.S.Vovos έγραψε: ↑
Τετ Μαρ 20, 2019 5:10 pm
Έστω η δύο φορές παραγωγίσιμη συνάρτηση $f:\mathbb{R}\longrightarrow \mathbb{R}$ με και σύνολο τιμών το διάστημα $\left (0,1 \right ]$ . Αν για κάθε $x\in \mathbb{R}$ ισχύει:

$\displaystyle{f''(x)=-2\left ( xf'(x)+e^{-x^{2}} \right )}$ τότε να αποδείξετε ότι:

(α) Ισχύει $\displaystyle f(x)=e^{-x^{2}}$ , για κάθε $x\in \mathbb{R}$ .

(β) Για κάθε $x\geq 0$ ισχύει η ανισότητα:

$\displaystyle{e^{e^{2x}}f\left ( 1+x+\frac{x^{2}}{2}+\frac{x^{3}}{6} \right )\geq 1}$
(γ) Το εμβαδόν του χωρίου, που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της , τους άξονες συντεταγμένων και την ευθεία , είναι μεγαλύτερο από $\displaystyle \frac{26}{35}$ τ.μ.

Φιλικά,
Μάριος

Υ.Γ.1. Κάτι που μου άρεσε όταν κατασκεύαζα την άσκηση είναι ότι το κάτω φράγμα στο τελευταίο ερώτημα είναι αρκετά καλό. Η διαφορά είναι πολύ μικρή από την τιμή του ολοκληρώματος.
Υ.Γ.2. Ομολογώ πως δεν θα ήθελα να το δω στις πανελλαδικές εξετάσεις.

Μάριε δεν καταλαβαίνω.

Αφού γράφεις

M.S.Vovos έγραψε: ↑
Τετ Μαρ 20, 2019 5:10 pm
Υ.Γ.2. Ομολογώ πως δεν θα ήθελα να το δω στις πανελλαδικές εξετάσεις.

το λογικό συμπέρασμα είναι ότι το κρίνεις ακατάλληλο.

Γιατί το βάζεις λοιπόν σε αυτό τον φάκελλο;

Θα μπορούσες να το βάλεις π.χ στον φάκελλο Ανάλυση.

Η δική μου γνώμη είναι ότι είναι εντελώς ακατάλληλο για αυτόν τον φάκελλο,
καθώς και σαν θέμα δεν παρουσιάζει μαθηματικό ενδιαφέρον.

Tolaso J Kos · #3

M.S.Vovos έγραψε: ↑
Τετ Μαρ 20, 2019 5:10 pm

Αν $f(x)=e^{-x^2}\; , \; x \in \mathbb{R}$ τότε να δειχθεί ότι το εμβαδόν του χωρίου, που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της , τους άξονες συντεταγμένων και την ευθεία , είναι μεγαλύτερο από $\displaystyle \frac{26}{35}$ τ.μ.

Φιλικά,
Μάριος

Από την ανισότητα:

$\displaystyle{e^x \geq 1 + x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{6} \quad \text{\gr για κάθε} \;\; x \in \mathbb{R}}$
έχουμε ότι:

$\displaystyle{\begin{aligned} e^x \geq 1 + x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{6} &\overset{x \mapsto -x^2}{=\! =\! =\!\Rightarrow } e^{-x^2} \geq 1- x^2 + \frac{x^4}{2} - \frac{x^6}{6} \\ &\Rightarrow \int_{0}^{1} e^{-x^2} \, \mathrm{d}x > \int_{0}^{1} \left ( 1- x^2 + \frac{x^4}{2} - \frac{x^6}{6} \right ) \, \mathrm{d}x \\ &\Rightarrow \int_{0}^{1} e^{-x^2} \, \mathrm{d}x > \frac{26}{35} \end{aligned}}$
Μεμονωμένα αυτό το ερώτημα έχει ένα ενδιαφέρον, αλλά θεωρώ ότι είναι εκτός ύλης αφού ο μαθητής δεν υποχρεούται να ξέρει τη βασικά ανισότητα. Θα μου πεις βγαίνει από το (β) . Τέτοιου είδους θέματα προσωπικά με αφήνουν αδιάφορο! Είναι κάτι εντελώς να αποδειχθεί η ανισότητα αυτή που είναι πανεύκολη αλλά άλλο να είναι βασικό μέρος μιας άσκησης για την επιτυχή επίλυση έστω και ενός ερωτήματος , εκτός και αν δίδεται ως βοηθητικό ερώτημα. Δεν επιθυμώ να σχολιάσω την αισθητική του θέματος αφού το έκανε επαρκώς ο Σταύρος!

#4

νομίζω οτι οφείλουμε μια απάντηση

$\displaystyle{e^x^2f''(x)+2xe^x^2=-2 \Rightarrow (e^x^2f'(x))'=(-2x)' \Rightarrow e^x^2f'(x)=-2x+a}$
από το σύνολο τιμων $\displaystyle{ f(x)\le 1}$ ετσι $\displaystyle{ f(x) \le f(0)}$ απο Fermat
$\displaystyle{f'(0)=0}$ αρα $\displaystyle{ a=0}$ άρα
$\displaystyle{(f(x)e^x^2)'=0}$ τότε $\displaystyle{f(x)=be^{-x^2}}$ και αφού $\displaystyle{f(0)=1 \Rightarrow b=1}$ οποτε $\displaystyle{f(x)=e^{-x^2}}$

Θετω $\displaystyle{h(x)=e^x-1-x-x^2/2-x^3/6}$ ,τοτε
$\displaystyle{h'(x)=e^x-1-x-x^2/2}$ ,αρα
$\displaystyle{h''(x)=e^x-1-x}$ ,συνεπώς
$\displaystyle{h''\ge 0 }$ , $\displaystyle{h'\downarrow x<0,h' \uparrow x>0}$ αρα $\displaystyle{h'>h'(0)=0}$ ομοια $\displaystyle{h>0}$
θετω $\displaystyle{h=e^x-g}$ εχω $\displaystyle{e^x>g \Rightarrow e^{2x} >g^2 \Rightarrow e^{e^{2x}}>e^{g^2} \Rightarrow e^{e^{2x}}f(g)>1}$

M.S.Vovos · #5

Ευχαριστώ για τις απαντήσεις.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: ↑
Τετ Μαρ 20, 2019 6:34 pm

M.S.Vovos έγραψε: ↑
Τετ Μαρ 20, 2019 5:10 pm
Έστω η δύο φορές παραγωγίσιμη συνάρτηση $f:\mathbb{R}\longrightarrow \mathbb{R}$ με και σύνολο τιμών το διάστημα $\left (0,1 \right ]$ . Αν για κάθε $x\in \mathbb{R}$ ισχύει:

$\displaystyle{f''(x)=-2\left ( xf'(x)+e^{-x^{2}} \right )}$ τότε να αποδείξετε ότι:

(α) Ισχύει $\displaystyle f(x)=e^{-x^{2}}$ , για κάθε $x\in \mathbb{R}$ .

(β) Για κάθε $x\geq 0$ ισχύει η ανισότητα:

$\displaystyle{e^{e^{2x}}f\left ( 1+x+\frac{x^{2}}{2}+\frac{x^{3}}{6} \right )\geq 1}$
(γ) Το εμβαδόν του χωρίου, που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της , τους άξονες συντεταγμένων και την ευθεία , είναι μεγαλύτερο από $\displaystyle \frac{26}{35}$ τ.μ.

Φιλικά,
Μάριος

Υ.Γ.1. Κάτι που μου άρεσε όταν κατασκεύαζα την άσκηση είναι ότι το κάτω φράγμα στο τελευταίο ερώτημα είναι αρκετά καλό. Η διαφορά είναι πολύ μικρή από την τιμή του ολοκληρώματος.
Υ.Γ.2. Ομολογώ πως δεν θα ήθελα να το δω στις πανελλαδικές εξετάσεις.
Μάριε δεν καταλαβαίνω.

Αφού γράφεις

M.S.Vovos έγραψε: ↑
Τετ Μαρ 20, 2019 5:10 pm
Υ.Γ.2. Ομολογώ πως δεν θα ήθελα να το δω στις πανελλαδικές εξετάσεις.
το λογικό συμπέρασμα είναι ότι το κρίνεις ακατάλληλο.

Γιατί το βάζεις λοιπόν σε αυτό τον φάκελλο;

Θα μπορούσες να το βάλεις π.χ στον φάκελλο Ανάλυση.

Η δική μου γνώμη είναι ότι είναι εντελώς ακατάλληλο για αυτόν τον φάκελλο,
καθώς και σαν θέμα δεν παρουσιάζει μαθηματικό ενδιαφέρον.

Στάυρο ομολογώ πως δεν μπορώ να φανταστώ ασκήσεις που να πατάνε σε σοβαρά βιβλία (π.χ. Spivak) οι οποίες να έχουν την δομή του ελληνικού συστήματος εξετάσεων. Εννοώ πως δεν μπορώ να σκεφτώ πως γίνεται να φτιάξουμε μια άσκηση με τέσσερα ερωτήματα η οποία να έχει έντονο μαθηματικό ενδιαφέρων και περιεχόμενο. Συμφωνείς;

Λάμπρος Κατσάπας · #6

Κι όμως έχει ενδιαφέρον...από πίσω κρύβονται τα Hermite

.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #7

M.S.Vovos έγραψε: ↑
Σάβ Μαρ 23, 2019 10:52 pm
Ευχαριστώ για τις απαντήσεις.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: ↑
Τετ Μαρ 20, 2019 6:34 pm

M.S.Vovos έγραψε: ↑
Τετ Μαρ 20, 2019 5:10 pm
Έστω η δύο φορές παραγωγίσιμη συνάρτηση $f:\mathbb{R}\longrightarrow \mathbb{R}$ με και σύνολο τιμών το διάστημα $\left (0,1 \right ]$ . Αν για κάθε $x\in \mathbb{R}$ ισχύει:

$\displaystyle{f''(x)=-2\left ( xf'(x)+e^{-x^{2}} \right )}$ τότε να αποδείξετε ότι:

(α) Ισχύει $\displaystyle f(x)=e^{-x^{2}}$ , για κάθε $x\in \mathbb{R}$ .

(β) Για κάθε $x\geq 0$ ισχύει η ανισότητα:

$\displaystyle{e^{e^{2x}}f\left ( 1+x+\frac{x^{2}}{2}+\frac{x^{3}}{6} \right )\geq 1}$
(γ) Το εμβαδόν του χωρίου, που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της , τους άξονες συντεταγμένων και την ευθεία , είναι μεγαλύτερο από $\displaystyle \frac{26}{35}$ τ.μ.

Φιλικά,
Μάριος

Υ.Γ.1. Κάτι που μου άρεσε όταν κατασκεύαζα την άσκηση είναι ότι το κάτω φράγμα στο τελευταίο ερώτημα είναι αρκετά καλό. Η διαφορά είναι πολύ μικρή από την τιμή του ολοκληρώματος.
Υ.Γ.2. Ομολογώ πως δεν θα ήθελα να το δω στις πανελλαδικές εξετάσεις.
Μάριε δεν καταλαβαίνω.

Αφού γράφεις

M.S.Vovos έγραψε: ↑
Τετ Μαρ 20, 2019 5:10 pm
Υ.Γ.2. Ομολογώ πως δεν θα ήθελα να το δω στις πανελλαδικές εξετάσεις.
το λογικό συμπέρασμα είναι ότι το κρίνεις ακατάλληλο.

Γιατί το βάζεις λοιπόν σε αυτό τον φάκελλο;

Θα μπορούσες να το βάλεις π.χ στον φάκελλο Ανάλυση.

Η δική μου γνώμη είναι ότι είναι εντελώς ακατάλληλο για αυτόν τον φάκελλο,
καθώς και σαν θέμα δεν παρουσιάζει μαθηματικό ενδιαφέρον.
Στάυρο ομολογώ πως δεν μπορώ να φανταστώ ασκήσεις που να πατάνε σε σοβαρά βιβλία (π.χ. Spivak) οι οποίες να έχουν την δομή του ελληνικού συστήματος εξετάσεων. Εννοώ πως δεν μπορώ να σκεφτώ πως γίνεται να φτιάξουμε μια άσκηση με τέσσερα ερωτήματα η οποία να έχει έντονο μαθηματικό ενδιαφέρων και περιεχόμενο. Συμφωνείς;

Οχι δεν συμφωνώ.
Μπορούμε να πάρουμε μαθηματικώς ενδιαφέροντα αποτελέσματα και να τα κάνουμε ασκήσεις που να είναι κατάλληλες για τις Πανελλήνιες.
Αυτό βέβαια απαιτεί μεγάλο κόπο.
Και φυσικά δεν μπορούμε να φτιάξουμε πολλές.
Εγω εκείνο που δεν καταλαβαίνω είναι γιατί πρέπει να φτιάξουμε καινούργιες.
Υπάρχουν πάρα πολλές που κυκλοφορούν.Αλλες καλές άλλες όχι.
Διαλέγουμε από αυτές.
Ελπίζω να σε κάλυψα.

Λάμπρος Κατσάπας · #8

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: ↑
Κυρ Μαρ 24, 2019 8:31 pm

Μπορούμε να πάρουμε μαθηματικώς ενδιαφέροντα αποτελέσματα και να τα κάνουμε ασκήσεις που να είναι κατάλληλες για τις Πανελλήνιες.
Αυτό βέβαια απαιτεί μεγάλο κόπο.

...και γνώσεις για να μπορείς να ξεχωρίσεις το σκάρτο από το καλό.

Tolaso J Kos · #9

Λάμπρος Κατσάπας έγραψε: ↑
Κυρ Μαρ 24, 2019 9:48 pm

...και γνώσεις για να μπορείς να ξεχωρίσεις το σκάρτο από το καλό.

.... που φυσικά δεν έχουν όλοι!

Λάμπρος Κατσάπας · #10

Tolaso J Kos έγραψε: ↑
Κυρ Μαρ 24, 2019 10:07 pm

Λάμπρος Κατσάπας έγραψε: ↑
Κυρ Μαρ 24, 2019 9:48 pm

...και γνώσεις για να μπορείς να ξεχωρίσεις το σκάρτο από το καλό.
.... που φυσικά δεν έχουν όλοι!

Τόλη στου κασίδη το κεφάλι έχουν μάθει πολλοί

Γι'αυτό συναντάμε ασκήσεις εκτρώματα...''ιδιοκατασκευές''

βεβαίως βεβαίως...

Κρυμμένο θεώρημα και κάτι ακόμα...

Κρυμμένο θεώρημα και κάτι ακόμα...

Re: Κρυμμένο θεώρημα και κάτι ακόμα...

Re: Κρυμμένο θεώρημα και κάτι ακόμα...

Re: Κρυμμένο θεώρημα και κάτι ακόμα...

Re: Κρυμμένο θεώρημα και κάτι ακόμα...

Re: Κρυμμένο θεώρημα και κάτι ακόμα...

Re: Κρυμμένο θεώρημα και κάτι ακόμα...

Re: Κρυμμένο θεώρημα και κάτι ακόμα...

Re: Κρυμμένο θεώρημα και κάτι ακόμα...

Re: Κρυμμένο θεώρημα και κάτι ακόμα...

Μέλη σε σύνδεση