Διαφορική με σύνολο τιμών

M.S.Vovos · #1

Έστω η συνάρτηση $f:[0,+\infty )\longrightarrow \mathbb{R}$ , συνεχής στο $[0,+\infty )$ και παραγωγίσιμη στο $(0,+\infty )$ τέτοια ώστε:

$\displaystyle{f\left ( [0,+\infty ) \right )=\left [e^{-\frac{1}{e}},+\infty \right )}$

$\displaystyle{f'(x)=f(x)\left ( 1+\frac{\ln f(x)}{x} \right )}$ , για κάθε .

Είναι σωστό ότι $\displaystyle{f(x)=\left\{\begin{matrix} x^{x}, &x>0 \\ 1, &x=0 \end{matrix}\right.}$ ;

Φιλικά,
Μάριος

#2

$\displaystyle{f(x)\ne 0}$

$\displaystyle{\frac{f'(x)}{f(x)}=1+\frac{lnf(x)}{x}}$ Θετω $\displaystyle{g(x)=lnf(x)}$

$\displaystyle{g'(x)=1+\frac{g(x)}{x}}$ ή $\displaystyle{xg'(x)-g(x)=x}$ δηλαδή $\displaystyle{\frac{xg'(x)-g(x)}{x^2}=\frac{1}{x}}$ άρα $\displaystyle{(\frac{g(x)}{x})'=(lnx)'}$ οποτε $\displaystyle{(\frac{g(x)}{x})=(lnx)+c}$

$\displaystyle{g(x)=xlnx+cx}$ συνεπώς $\displaystyle{lnf(x)=ln(x^x)+ln(e^{cx})=ln(e^{xlnx+cx})}$ άρα $\displaystyle{f(x)=e^{xlnx+cx}}$ τότε $\displaystyle{f'(x)=(1+c+lnx)e^{xlnx+cx}}$

Aπο την μονοτονία της $\displaystyle{f}$ προκύπτει οτι η $\displaystyle{f}$ εχει ΜΙΝ το $\displaystyle{f(e^{-1-c})=e^{-(1+c)ln(-1-c)-c-c^2}}$ Το οποίο πρεπει να είναι το $\displaystyle{e^{-1/e}}$

ME $\displaystyle{y=-1-c>0 }$ καταληγουμε στην εξίσωση $\displaystyle{ye^y-y(y+1)=-1/e}$ που εχει την προφανή λύση $\displaystyle{y=-1}$

Θετω $\displaystyle{h(y)=ye^y-y(y+1)=-1/e}$ τοτε $\displaystyle{h'(y)=(y+1)e^y-2y-1>(y+1)^2-2y-1=y^2\ge 0}$ αρα $\displaystyle{h}$ γν,αύξουσα άρα η $\displaystyle{y=-1,c=0}$ μοναδική λυση οπότε $\displaystyle{f(x)=x^x ,x>0}$ και για $\displaystyle{x=0}$ ευκολα βλεπουμε οτι αν $\displaystyle{f(0)=1 ,f}$ συνεχής

Διαφορική με σύνολο τιμών

Διαφορική με σύνολο τιμών

Re: Διαφορική με σύνολο τιμών

Μέλη σε σύνδεση