Διαφορική με σύνολο τιμών

Δυσκολότερα θέματα τα οποία όμως άπτονται της σχολικής ύλης και χρησιμοποιούν αποκλειστικά θεωρήματα που βρίσκονται μέσα σε αυτή. Σε διαφορετική περίπτωση η σύνταξη του μηνύματος θα πρέπει να γίνει στο υποφόρουμ "Ο ΦΑΚΕΛΟΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΥ"

Συντονιστής: Μπάμπης Στεργίου

Άβαταρ μέλους
M.S.Vovos
Δημοσιεύσεις: 874
Εγγραφή: Παρ Φεβ 27, 2015 5:45 pm

Διαφορική με σύνολο τιμών

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από M.S.Vovos » Τρί Ιαν 15, 2019 4:38 pm

Έστω η συνάρτηση f:[0,+\infty )\longrightarrow \mathbb{R}, συνεχής στο [0,+\infty ) και παραγωγίσιμη στο (0,+\infty ) τέτοια ώστε:
  • \displaystyle{f\left ( [0,+\infty ) \right )=\left [e^{-\frac{1}{e}},+\infty   \right )}
  • \displaystyle{f'(x)=f(x)\left ( 1+\frac{\ln f(x)}{x} \right )}, για κάθε x>0.
Είναι σωστό ότι \displaystyle{f(x)=\left\{\begin{matrix} 
x^{x}, &x>0 \\  
1, &x=0 
\end{matrix}\right.};

Φιλικά,
Μάριος


Είναι αυταπάτη ότι η νεότητα είναι ευτυχισμένη, μια αυταπάτη αυτών που την έχουν χάσει. W. Somerset Maugham

Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
R BORIS
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2159
Εγγραφή: Σάβ Ιαν 03, 2009 8:08 am
Επικοινωνία:

Re: Διαφορική με σύνολο τιμών

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από R BORIS » Τρί Ιαν 15, 2019 7:09 pm

\displaystyle{f(x)\ne 0}

\displaystyle{\frac{f'(x)}{f(x)}=1+\frac{lnf(x)}{x}} Θετω \displaystyle{g(x)=lnf(x)}

\displaystyle{g'(x)=1+\frac{g(x)}{x}} ή \displaystyle{xg'(x)-g(x)=x} δηλαδή \displaystyle{\frac{xg'(x)-g(x)}{x^2}=\frac{1}{x}} άρα \displaystyle{(\frac{g(x)}{x})'=(lnx)'} οποτε \displaystyle{(\frac{g(x)}{x})=(lnx)+c}

\displaystyle{g(x)=xlnx+cx} συνεπώς \displaystyle{lnf(x)=ln(x^x)+ln(e^{cx})=ln(e^{xlnx+cx})} άρα \displaystyle{f(x)=e^{xlnx+cx}} τότε \displaystyle{f'(x)=(1+c+lnx)e^{xlnx+cx}}

Aπο την μονοτονία της \displaystyle{f} προκύπτει οτι η \displaystyle{f} εχει ΜΙΝ το \displaystyle{f(e^{-1-c})=e^{-(1+c)ln(-1-c)-c-c^2}}Το οποίο πρεπει να είναι το \displaystyle{e^{-1/e}}

ME \displaystyle{y=-1-c>0  } καταληγουμε στην εξίσωση \displaystyle{ye^y-y(y+1)=-1/e} που εχει την προφανή λύση \displaystyle{y=-1}

Θετω \displaystyle{h(y)=ye^y-y(y+1)=-1/e} τοτε \displaystyle{h'(y)=(y+1)e^y-2y-1>(y+1)^2-2y-1=y^2\ge 0} αρα \displaystyle{h} γν,αύξουσα άρα η \displaystyle{y=-1,c=0} μοναδική λυση οπότε \displaystyle{f(x)=x^x ,x>0} και για \displaystyle{x=0} ευκολα βλεπουμε οτι αν \displaystyle{f(0)=1  ,f}συνεχής


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΘΕΜΑΤΑ ΜΕ ΑΠΑΙΤΗΣΕΙΣ Γ'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης