Όριο παραγώγου

Chatzibill · #1

Δίνεται η παραγωγίσιμη συνάρτηση $\huge f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ , για την οποία ισχύει $\huge f^3(x)+f(x)=x , \forall x\in \mathbb{R}$ και ότι $\huge f(\mathbb{R})=\mathbb{R}$ .
Να υπολογισθεί το $\huge \lim_{x\rightarrow +\propto}(f'(x))^\frac{1}{x}$ .

Υ.Γ Η παραγωγισιμότητα και το σύνολο τιμών της $\huge f$ θα μπορούσαν να μη δίνονται ως δεδομένα

Tolaso J Kos · #2

Chatzibill έγραψε: ↑
Κυρ Δεκ 16, 2018 6:31 pm
Δίνεται η παραγωγίσιμη συνάρτηση $\huge f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ , για την οποία ισχύει $\huge f^3(x)+f(x)=x , \forall x\in \mathbb{R}$ και ότι $\huge f(\mathbb{R})=\mathbb{R}$ .
Να υπολογισθεί το $\huge \lim_{x\rightarrow +\propto}(f'(x))^\frac{1}{x}$ .

Υ.Γ Η παραγωγισιμότητα και το σύνολο τιμών της $\huge f$ θα μπορούσαν να μη δίνονται ως δεδομένα

Επειδή η

είναι παραγωγίσιμη στο $\mathbb{R}$ , τότε παραγωγίζοντας τη σχέση που μας δίδεται έχουμε:

$\displaystyle{f'(x) = \frac{1}{3f^2(x)+1}}$
Τότε κατά τα κλασσικά έχουμε:

$\displaystyle{\begin{aligned} \lim_{x \rightarrow +\infty}\left ( f'(x) \right )^{1/x} &=\lim_{x \rightarrow +\infty} \exp \left ( \frac{1}{x}\ln \left ( \frac{1}{3f^2(x)+1} \right ) \right )\\ &=\lim_{x \rightarrow +\infty}\exp \left ( -\frac{\ln \left ( 3f^2(x)+1 \right )}{x} \right ) \\ &=\lim_{x \rightarrow +\infty}\exp\left ( -\frac{6f'(x)f(x)}{3f^2(x)+1} \right ) \\ &=\lim_{x \rightarrow +\infty} \exp\left ( -\frac{6 \cdot \frac{1}{3f^2(x)+1} \cdot f(x)}{3f^2(x)+1} \right )\\ &=\lim_{x \rightarrow +\infty}\exp\left ( -\frac{6f(x)}{\left ( 3f^2 (x)+1 \right )^2} \right ) \\ &\!\!\!\!\!\overset{u=f(x)}{=\! =\! =\! =\!} \lim_{u \rightarrow +\infty}\exp\left ( -\frac{6u}{\left (3u^2+1 \right )^2} \right )\\ &=\cdots \\ &=1 \end{aligned} }$

#3

Chatzibill έγραψε: ↑
Κυρ Δεκ 16, 2018 6:31 pm
Δίνεται η παραγωγίσιμη συνάρτηση $\huge f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ , για την οποία ισχύει $\huge f^3(x)+f(x)=x , \forall x\in \mathbb{R}$ και ότι $\huge f(\mathbb{R})=\mathbb{R}$ .
Να υπολογισθεί το $\huge \lim_{x\rightarrow +\propto}(f'(x))^\frac{1}{x}$ .

Υ.Γ Η παραγωγισιμότητα και το σύνολο τιμών της $\huge f$ θα μπορούσαν να μη δίνονται ως δεδομένα

Πιο απλά: Για $x \ge 0$ είναι προφανώς $f(x)\ge 0$ άρα $\displaystyle{f(x)\le f^3(x)+f(x) =x}$ . Έχουμε $\displaystyle{ f'(x) = \frac {1}{3f^2(x)+1 }\le 1}$ και για $x\ge 1$ είναι $\displaystyle{ f'(x) = \frac {1}{3f^2(x)+1 }\ge \frac {1}{3x^2+1 }\ge\frac {1}{4x^2 } }$ . Άρα

$\displaystyle{ \left (\frac {1}{4x^2 } \right) ^\frac{1}{x} \le \left ( f'(x) \right) ^\frac{1}{x} \le 1}$ .

Παίρνοντας όριο $x\to \infty$ τα δύο άκρα τείνουν στο

, άρα και το ζητούμενο όριο είναι

.

Όριο παραγώγου

Όριο παραγώγου

Re: Όριο παραγώγου

Re: Όριο παραγώγου

Μέλη σε σύνδεση