Όριο παραγώγου

Δυσκολότερα θέματα τα οποία όμως άπτονται της σχολικής ύλης και χρησιμοποιούν αποκλειστικά θεωρήματα που βρίσκονται μέσα σε αυτή. Σε διαφορετική περίπτωση η σύνταξη του μηνύματος θα πρέπει να γίνει στο υποφόρουμ "Ο ΦΑΚΕΛΟΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΥ"

Συντονιστής: Μπάμπης Στεργίου

Chatzibill
Δημοσιεύσεις: 34
Εγγραφή: Παρ Οκτ 05, 2018 4:53 pm
Τοποθεσία: Αθήνα

Όριο παραγώγου

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Chatzibill » Κυρ Δεκ 16, 2018 6:31 pm

Δίνεται η παραγωγίσιμη συνάρτηση \huge f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R} , για την οποία ισχύει \huge f^3(x)+f(x)=x , \forall x\in \mathbb{R} και ότι \huge f(\mathbb{R})=\mathbb{R}.
Να υπολογισθεί το \huge \lim_{x\rightarrow +\propto}(f'(x))^\frac{1}{x} .

Υ.Γ Η παραγωγισιμότητα και το σύνολο τιμών της \huge f θα μπορούσαν να μη δίνονται ως δεδομένα



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 3862
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη , Παρίσι
Επικοινωνία:

Re: Όριο παραγώγου

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Κυρ Δεκ 16, 2018 7:35 pm

Chatzibill έγραψε:
Κυρ Δεκ 16, 2018 6:31 pm
Δίνεται η παραγωγίσιμη συνάρτηση \huge f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R} , για την οποία ισχύει \huge f^3(x)+f(x)=x , \forall x\in \mathbb{R} και ότι \huge f(\mathbb{R})=\mathbb{R}.
Να υπολογισθεί το \huge \lim_{x\rightarrow +\propto}(f'(x))^\frac{1}{x} .

Υ.Γ Η παραγωγισιμότητα και το σύνολο τιμών της \huge f θα μπορούσαν να μη δίνονται ως δεδομένα

Επειδή η f είναι παραγωγίσιμη στο \mathbb{R} , τότε παραγωγίζοντας τη σχέση που μας δίδεται έχουμε:

\displaystyle{f'(x) = \frac{1}{3f^2(x)+1}}
Τότε κατά τα κλασσικά έχουμε:

\displaystyle{\begin{aligned} 
\lim_{x \rightarrow +\infty}\left ( f'(x) \right )^{1/x} &=\lim_{x \rightarrow +\infty} \exp \left ( \frac{1}{x}\ln \left ( \frac{1}{3f^2(x)+1} \right ) \right )\\  
 &=\lim_{x \rightarrow +\infty}\exp \left ( -\frac{\ln \left ( 3f^2(x)+1 \right )}{x} \right ) \\  
 &=\lim_{x \rightarrow +\infty}\exp\left ( -\frac{6f'(x)f(x)}{3f^2(x)+1} \right ) \\  
 &=\lim_{x \rightarrow +\infty} \exp\left ( -\frac{6 \cdot \frac{1}{3f^2(x)+1} \cdot f(x)}{3f^2(x)+1} \right )\\ 
 &=\lim_{x \rightarrow +\infty}\exp\left ( -\frac{6f(x)}{\left ( 3f^2 (x)+1 \right )^2} \right ) \\ 
 &\!\!\!\!\!\overset{u=f(x)}{=\! =\! =\! =\!} \lim_{u \rightarrow +\infty}\exp\left ( -\frac{6u}{\left (3u^2+1  \right )^2} \right )\\ 
 &=\cdots \\ 
 &=1 
\end{aligned} }


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 11148
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Όριο παραγώγου

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Κυρ Δεκ 16, 2018 8:29 pm

Chatzibill έγραψε:
Κυρ Δεκ 16, 2018 6:31 pm
Δίνεται η παραγωγίσιμη συνάρτηση \huge f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R} , για την οποία ισχύει \huge f^3(x)+f(x)=x , \forall x\in \mathbb{R} και ότι \huge f(\mathbb{R})=\mathbb{R}.
Να υπολογισθεί το \huge \lim_{x\rightarrow +\propto}(f'(x))^\frac{1}{x} .

Υ.Γ Η παραγωγισιμότητα και το σύνολο τιμών της \huge f θα μπορούσαν να μη δίνονται ως δεδομένα
Πιο απλά: Για x \ge 0 είναι προφανώς f(x)\ge 0 άρα \displaystyle{f(x)\le f^3(x)+f(x) =x}. Έχουμε \displaystyle{ f'(x) = \frac {1}{3f^2(x)+1 }\le 1} και για x\ge 1 είναι \displaystyle{ f'(x) = \frac {1}{3f^2(x)+1 }\ge  \frac {1}{3x^2+1 }\ge\frac {1}{4x^2 } }. Άρα

\displaystyle{ \left (\frac {1}{4x^2 } \right) ^\frac{1}{x} \le  \left ( f'(x) \right) ^\frac{1}{x} \le 1}.

Παίρνοντας όριο x\to \infty τα δύο άκρα τείνουν στο 1, άρα και το ζητούμενο όριο είναι 1.


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΘΕΜΑΤΑ ΜΕ ΑΠΑΙΤΗΣΕΙΣ Γ'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης