Σελίδα 1 από 1
αύξουσα και συνεχής
Δημοσιεύτηκε: Κυρ Δεκ 16, 2018 3:31 pm
από Chatzibill
Να αποδειχτεί ότι κάθε συνεχής και αύξουσα συνάρτηση
, τέμνει την ευθεία
σε ένα ακριβώς σημείο.
Re: αύξουσα και συνεχής
Δημοσιεύτηκε: Κυρ Δεκ 16, 2018 5:22 pm
από Mihalis_Lambrou
Chatzibill έγραψε: ↑Κυρ Δεκ 16, 2018 3:31 pm
Να αποδειχτεί ότι κάθε συνεχής και αύξουσα συνάρτηση
, τέμνει την ευθεία
σε ένα ακριβώς σημείο.
Η συνάρτηση
είναι γνήσια αύξουσα ως άθροισμα μιας αύξουσα και μιας γνήσια αύξουσας
(*). Άρα η ισοδύναμη εξίσωση
έχει το πολύ μία ρίζα. Θα δείξουμε ότι, επίσης, έχει τουλάχιστον μία ρίζα, οπότε τελειώσαμε.
Αν
, τότε δεν έχουμε τίποτα να απoδείξουμε αφού γράφεται
. Οπότε μπορούμε να υποθέσουμε ότι
(η περίπτωση
όμοια). Για τον αρνητικό αριθμό
ισχύει από την υπόθεση ότι
άρα
. Από Bolzano στο
στην συνεχή
έπεται το ζητούμενο.
(*). Στη αρχή είχα γράψει εκ παραδρομής ότι και οι δύο συναρτήσεις είναι γνήσια αύξουσες. Η αρκεί να είναι (απλά) αύξουσα, όπως στην υπόθεση, οπότε έκανα διορθωσούλα.
Re: αύξουσα και συνεχής
Δημοσιεύτηκε: Κυρ Δεκ 16, 2018 5:47 pm
από Christos.N
Η συνάρτηση
ως γνησίως αύξουσα και συνεχής θα έχει σύνολο τιμών
, προφανώς (αφού ορίζεται διάστημα)
.
Αν
τότε και
που σημαίνει
, άτοπο.
Άρα
, παρόμοια
θεωρούμε
η
είναι γνησίως αύξουσα και συνεχής, άρα λαμβάνοντας υπόψιν τα παραπάνω έχει σύνολο τιμών :
Από τον ορισμό του συνόλου τιμών,
υπάρχει
τέτοιος ώστε
.
Η
ως γνησίως μονότονη θα είναι και
συνάρτηση , άρα
μοναδικός αριθμός.
Υ.Γ: Η παραπάνω λύση έχει σφάλμα καθώς θεωρείτε ότι η
είναι γνησίως αύξουσα αντί για αύξουσα συνάρτηση. Μετά από την παρατήρηση του Σταύρου Παπαδόπουλου σε επόμενο ποστ έχει γραφεί αναλυτική λύση στα δεδομένα της άσκησης.
Re: αύξουσα και συνεχής
Δημοσιεύτηκε: Κυρ Δεκ 16, 2018 6:12 pm
από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Κάποιες παρατηρήσεις στις λύσεις.
Η συνάρτηση έχει δοθεί απλά αύξουσα.
Το ότι και στις δύο λύσεις έχει θεωρηθεί ότι είναι γνησίως αύξουσα δεν παίζει ρόλο
γιατί η
είναι γνησίως αύξουσα.
Η λύση του Μιχάλη μας δίνει πληροφορίες για το που βρίσκεται το
.
Βρίσκεται στο κλειστό διάστημα με άκρα τα
Στην λύση του Χρήστου μπορούμε να μην χρησιμοποιήσουμε το βαρύ για σχολικά μαθηματικά
αύξουσα συνάρτηση συνεχής έχει όριο.
Θέτοντας όπως ο Χρήστος
για
είναι
Αφού
και
Με όμοιο τρόπο προκύπτει και ότι
Re: αύξουσα και συνεχής
Δημοσιεύτηκε: Κυρ Δεκ 16, 2018 6:47 pm
από R BORIS
εστω
Η
είναι αύξουσα και συνεχή αρα 1-1 δηλαδή αντιστρέψιμη στο σύνολο τιμών της
Επειδή f αύξουσα και συνεχής το σύνολο τιμών της θα είναι κάποιο διαστημα Ι με πεπερασμένα η όχι άκρα τότε η
θα έχει σύνολο τιμών το
kai το ίδιο θα συμβαίνει στην 2η περίπτωση διότι είναι αύξουσα
ΧΒΓ ας είναι
τότε
ή
Από θ.Β για την
στο
η
έχει ρίζα μοναδική λόγω μονοτονίας
Re: αύξουσα και συνεχής
Δημοσιεύτηκε: Κυρ Δεκ 16, 2018 6:49 pm
από Christos.N
Σταύρο ευχαριστώ πολύ για τις παρατηρήσεις σου, πραγματικά "διάβασα" γνησίως αύξουσα και όχι αύξουσα συνάρτηση.
Λαμβάνοντας υπόψιν τις παρατηρήσεις σου ολοκληρωμένη λοιπόν λύση θα είναι:
Θεωρούμε
η
είναι γνησίως αύξουσα και συνεχής.
Πράγματι, γνησίως αύξουσα γιατί
για κάθε
και συνεχής γιατί είναι άθροισμα συνεχών συναρτήσεων.
για
είναι
Αφού
συνεπώς
Με όμοιο τρόπο προκύπτει και ότι
Άρα
Από τον ορισμό του συνόλου τιμών,
υπάρχει
τέτοιος ώστε
.
Η
ως γνησίως μονότονη θα είναι και
συνάρτηση , άρα
μοναδικός αριθμός.
Re: αύξουσα και συνεχής
Δημοσιεύτηκε: Κυρ Δεκ 16, 2018 7:01 pm
από Christos.N
R BORIS έγραψε: ↑Κυρ Δεκ 16, 2018 6:47 pm
Επειδή f αύξουσα και συνεχής το σύνολο τιμών της θα είναι κάποιο διαστημα Ι με πεπερασμένα η όχι άκρα ....
από το παραπάνω , με το λίγο που το επεξεργάστηκα κοιτάζοντας πριν αυτό:
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: ↑Κυρ Δεκ 16, 2018 6:12 pm
... να μην χρησιμοποιήσουμε το βαρύ για σχολικά μαθηματικά
αύξουσα συνάρτηση συνεχής έχει όριο. ...
Νομίζω ότι είναι αρκετά προκλητικό να αποδείξουμε ότι :
Αν
άυξουσα και συνεχής συνάρτηση στο
τότε τα όρια
υπάρχουν.
Μόνο με χρήση σχολικών μαθηματικών
Re: αύξουσα και συνεχής
Δημοσιεύτηκε: Κυρ Δεκ 16, 2018 7:11 pm
από Mihalis_Lambrou
Christos.N έγραψε: ↑Κυρ Δεκ 16, 2018 7:01 pm
Νομίζω ότι είναι αρκετά προκλητικό να αποδείξουμε ότι :
Αν
άυξουσα και συνεχής συνάρτηση στο
τότε τα όρια
υπάρχουν.
Μόνο με χρήση σχολικών μαθηματικών
Το παραπάνω είναι ισοδύναμο με το Αξίωμα Πληρότητας για άμεσο λόγο. Οπότε για Σχολικά Μαθηματικά μπαίνουμε σε δύσκολα χωράφια (γι' αυτό άλλωστε ο Σταύρος μίλησε για "βαρύ για σχολικά μαθηματικά εργαλείο")