αύξουσα και συνεχής
Συντονιστής: Μπάμπης Στεργίου
-
- Δημοσιεύσεις: 34
- Εγγραφή: Παρ Οκτ 05, 2018 4:53 pm
- Τοποθεσία: Αθήνα
αύξουσα και συνεχής
Να αποδειχτεί ότι κάθε συνεχής και αύξουσα συνάρτηση , τέμνει την ευθεία σε ένα ακριβώς σημείο.
Λέξεις Κλειδιά:
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 15764
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
Re: αύξουσα και συνεχής
Η συνάρτηση είναι γνήσια αύξουσα ως άθροισμα μιας αύξουσα και μιας γνήσια αύξουσας (*). Άρα η ισοδύναμη εξίσωση έχει το πολύ μία ρίζα. Θα δείξουμε ότι, επίσης, έχει τουλάχιστον μία ρίζα, οπότε τελειώσαμε.Chatzibill έγραψε: ↑Κυρ Δεκ 16, 2018 3:31 pmΝα αποδειχτεί ότι κάθε συνεχής και αύξουσα συνάρτηση , τέμνει την ευθεία σε ένα ακριβώς σημείο.
Αν , τότε δεν έχουμε τίποτα να απoδείξουμε αφού γράφεται . Οπότε μπορούμε να υποθέσουμε ότι (η περίπτωση όμοια). Για τον αρνητικό αριθμό ισχύει από την υπόθεση ότι άρα . Από Bolzano στο στην συνεχή έπεται το ζητούμενο.
(*). Στη αρχή είχα γράψει εκ παραδρομής ότι και οι δύο συναρτήσεις είναι γνήσια αύξουσες. Η αρκεί να είναι (απλά) αύξουσα, όπως στην υπόθεση, οπότε έκανα διορθωσούλα.
τελευταία επεξεργασία από Mihalis_Lambrou σε Κυρ Δεκ 16, 2018 7:02 pm, έχει επεξεργασθεί 2 φορές συνολικά.
- Christos.N
- Δημοσιεύσεις: 2105
- Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 26, 2009 2:28 pm
- Τοποθεσία: Ίλιον
Re: αύξουσα και συνεχής
Η συνάρτηση ως γνησίως αύξουσα και συνεχής θα έχει σύνολο τιμών , προφανώς (αφού ορίζεται διάστημα) .
Αν τότε και που σημαίνει , άτοπο.
Άρα , παρόμοια
θεωρούμε η είναι γνησίως αύξουσα και συνεχής, άρα λαμβάνοντας υπόψιν τα παραπάνω έχει σύνολο τιμών :
Από τον ορισμό του συνόλου τιμών, υπάρχει τέτοιος ώστε .
Η ως γνησίως μονότονη θα είναι και συνάρτηση , άρα μοναδικός αριθμός.
Υ.Γ: Η παραπάνω λύση έχει σφάλμα καθώς θεωρείτε ότι η είναι γνησίως αύξουσα αντί για αύξουσα συνάρτηση. Μετά από την παρατήρηση του Σταύρου Παπαδόπουλου σε επόμενο ποστ έχει γραφεί αναλυτική λύση στα δεδομένα της άσκησης.
Αν τότε και που σημαίνει , άτοπο.
Άρα , παρόμοια
θεωρούμε η είναι γνησίως αύξουσα και συνεχής, άρα λαμβάνοντας υπόψιν τα παραπάνω έχει σύνολο τιμών :
Από τον ορισμό του συνόλου τιμών, υπάρχει τέτοιος ώστε .
Η ως γνησίως μονότονη θα είναι και συνάρτηση , άρα μοναδικός αριθμός.
Υ.Γ: Η παραπάνω λύση έχει σφάλμα καθώς θεωρείτε ότι η είναι γνησίως αύξουσα αντί για αύξουσα συνάρτηση. Μετά από την παρατήρηση του Σταύρου Παπαδόπουλου σε επόμενο ποστ έχει γραφεί αναλυτική λύση στα δεδομένα της άσκησης.
τελευταία επεξεργασία από Christos.N σε Κυρ Δεκ 16, 2018 6:52 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
Χρήστος Ντάβας
Wir müssen wissen — wir werden wissen! D.Hilbert
Wir müssen wissen — wir werden wissen! D.Hilbert
-
- Δημοσιεύσεις: 3600
- Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
- Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ
Re: αύξουσα και συνεχής
Κάποιες παρατηρήσεις στις λύσεις.
Η συνάρτηση έχει δοθεί απλά αύξουσα.
Το ότι και στις δύο λύσεις έχει θεωρηθεί ότι είναι γνησίως αύξουσα δεν παίζει ρόλο
γιατί η είναι γνησίως αύξουσα.
Η λύση του Μιχάλη μας δίνει πληροφορίες για το που βρίσκεται το .
Βρίσκεται στο κλειστό διάστημα με άκρα τα
Στην λύση του Χρήστου μπορούμε να μην χρησιμοποιήσουμε το βαρύ για σχολικά μαθηματικά
αύξουσα συνάρτηση συνεχής έχει όριο.
Θέτοντας όπως ο Χρήστος
για είναι
Αφού
και
Με όμοιο τρόπο προκύπτει και ότι
Η συνάρτηση έχει δοθεί απλά αύξουσα.
Το ότι και στις δύο λύσεις έχει θεωρηθεί ότι είναι γνησίως αύξουσα δεν παίζει ρόλο
γιατί η είναι γνησίως αύξουσα.
Η λύση του Μιχάλη μας δίνει πληροφορίες για το που βρίσκεται το .
Βρίσκεται στο κλειστό διάστημα με άκρα τα
Στην λύση του Χρήστου μπορούμε να μην χρησιμοποιήσουμε το βαρύ για σχολικά μαθηματικά
αύξουσα συνάρτηση συνεχής έχει όριο.
Θέτοντας όπως ο Χρήστος
για είναι
Αφού
και
Με όμοιο τρόπο προκύπτει και ότι
Re: αύξουσα και συνεχής
εστω Η είναι αύξουσα και συνεχή αρα 1-1 δηλαδή αντιστρέψιμη στο σύνολο τιμών της
Επειδή f αύξουσα και συνεχής το σύνολο τιμών της θα είναι κάποιο διαστημα Ι με πεπερασμένα η όχι άκρα τότε η θα έχει σύνολο τιμών το kai το ίδιο θα συμβαίνει στην 2η περίπτωση διότι είναι αύξουσα
ΧΒΓ ας είναι τότε ή
Από θ.Β για την στο η έχει ρίζα μοναδική λόγω μονοτονίας
Επειδή f αύξουσα και συνεχής το σύνολο τιμών της θα είναι κάποιο διαστημα Ι με πεπερασμένα η όχι άκρα τότε η θα έχει σύνολο τιμών το kai το ίδιο θα συμβαίνει στην 2η περίπτωση διότι είναι αύξουσα
ΧΒΓ ας είναι τότε ή
Από θ.Β για την στο η έχει ρίζα μοναδική λόγω μονοτονίας
τελευταία επεξεργασία από R BORIS σε Δευ Δεκ 17, 2018 10:13 am, έχει επεξεργασθεί 3 φορές συνολικά.
- Christos.N
- Δημοσιεύσεις: 2105
- Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 26, 2009 2:28 pm
- Τοποθεσία: Ίλιον
Re: αύξουσα και συνεχής
Σταύρο ευχαριστώ πολύ για τις παρατηρήσεις σου, πραγματικά "διάβασα" γνησίως αύξουσα και όχι αύξουσα συνάρτηση.
Λαμβάνοντας υπόψιν τις παρατηρήσεις σου ολοκληρωμένη λοιπόν λύση θα είναι:
Θεωρούμε η είναι γνησίως αύξουσα και συνεχής.
Πράγματι, γνησίως αύξουσα γιατί για κάθε και συνεχής γιατί είναι άθροισμα συνεχών συναρτήσεων.
για είναι
Αφού συνεπώς
Με όμοιο τρόπο προκύπτει και ότι
Άρα
Από τον ορισμό του συνόλου τιμών, υπάρχει τέτοιος ώστε .
Η ως γνησίως μονότονη θα είναι και συνάρτηση , άρα μοναδικός αριθμός.
Λαμβάνοντας υπόψιν τις παρατηρήσεις σου ολοκληρωμένη λοιπόν λύση θα είναι:
Θεωρούμε η είναι γνησίως αύξουσα και συνεχής.
Πράγματι, γνησίως αύξουσα γιατί για κάθε και συνεχής γιατί είναι άθροισμα συνεχών συναρτήσεων.
για είναι
Αφού συνεπώς
Με όμοιο τρόπο προκύπτει και ότι
Άρα
Από τον ορισμό του συνόλου τιμών, υπάρχει τέτοιος ώστε .
Η ως γνησίως μονότονη θα είναι και συνάρτηση , άρα μοναδικός αριθμός.
Χρήστος Ντάβας
Wir müssen wissen — wir werden wissen! D.Hilbert
Wir müssen wissen — wir werden wissen! D.Hilbert
- Christos.N
- Δημοσιεύσεις: 2105
- Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 26, 2009 2:28 pm
- Τοποθεσία: Ίλιον
Re: αύξουσα και συνεχής
από το παραπάνω , με το λίγο που το επεξεργάστηκα κοιτάζοντας πριν αυτό:
Νομίζω ότι είναι αρκετά προκλητικό να αποδείξουμε ότι :ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: ↑Κυρ Δεκ 16, 2018 6:12 pm... να μην χρησιμοποιήσουμε το βαρύ για σχολικά μαθηματικά
αύξουσα συνάρτηση συνεχής έχει όριο. ...
Αν άυξουσα και συνεχής συνάρτηση στο τότε τα όρια υπάρχουν.
Μόνο με χρήση σχολικών μαθηματικών
Χρήστος Ντάβας
Wir müssen wissen — wir werden wissen! D.Hilbert
Wir müssen wissen — wir werden wissen! D.Hilbert
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 15764
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
Re: αύξουσα και συνεχής
Το παραπάνω είναι ισοδύναμο με το Αξίωμα Πληρότητας για άμεσο λόγο. Οπότε για Σχολικά Μαθηματικά μπαίνουμε σε δύσκολα χωράφια (γι' αυτό άλλωστε ο Σταύρος μίλησε για "βαρύ για σχολικά μαθηματικά εργαλείο")Christos.N έγραψε: ↑Κυρ Δεκ 16, 2018 7:01 pmΝομίζω ότι είναι αρκετά προκλητικό να αποδείξουμε ότι :
Αν άυξουσα και συνεχής συνάρτηση στο τότε τα όρια υπάρχουν.
Μόνο με χρήση σχολικών μαθηματικών
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 11 επισκέπτες