Ανισότητες με τριγωνομετρικές συναρτήσεις

Δυσκολότερα θέματα τα οποία όμως άπτονται της σχολικής ύλης και χρησιμοποιούν αποκλειστικά θεωρήματα που βρίσκονται μέσα σε αυτή. Σε διαφορετική περίπτωση η σύνταξη του μηνύματος θα πρέπει να γίνει στο υποφόρουμ "Ο ΦΑΚΕΛΟΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΥ"

Συντονιστής: Μπάμπης Στεργίου

Stelios V8
Δημοσιεύσεις: 5
Εγγραφή: Κυρ Ιαν 14, 2018 10:42 pm

Ανισότητες με τριγωνομετρικές συναρτήσεις

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Stelios V8 » Δευ Δεκ 03, 2018 7:32 pm

Έστω f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R} με τύπο f\left ( x \right )=x-\ln\left ( e^{x} +1\right ) , τότε

(α) f\left ( sin\left ( x \right ) \right )< sin\left ( f\left ( x \right ) \right ) \forall x \in \mathbb{R}

(β) f\left ( \cos \left ( x \right ) \right )<cos\left ( f\left ( x \right ) \right ) \forall x \in \mathbb{R}

(γ) f\left ( \tan \left ( x \right ) \right )>  tan\left ( f\left ( x \right ) \right ) \forall x\in \left ( 0,\frac{\pi }{2} \right )



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
R BORIS
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2103
Εγγραφή: Σάβ Ιαν 03, 2009 8:08 am
Επικοινωνία:

Re: Ανισότητες με τριγωνομετρικές συναρτήσεις

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από R BORIS » Τρί Δεκ 04, 2018 2:48 pm

εχουμε \displaystyle{ f(x)=ln(\frac{e^x}{e^x+1} }άρα \displaystyle{f(x)<0} επιπλέον \displaystyle{f(x)-x=-ln(e^x+1)<0} και \displaystyle{f'(x)=\frac{1}{1+e^x}>0} οπότε \displaystyle{f \uparrow}

Τώρα για \displaystyle{y<0 } είναι \displaystyle{siny>y} ή \displaystyle{sin(f(x))>f(x) }[1] και για \displaystyle{x>0} έχουμε \displaystyle{x>sinx} και επειδή είναι γν αύξουσα
\displaystyle{f(x)>f(sinx)}[2] το ζητούμενο έπεται άμεσα από τις [1],[2]

αν \displaystyle{-x<0} τότε \displaystyle{sin(f(-x))>f(-x) } και \displaystyle{ -x>sin(-x)=-sinx} ενώ η \displaystyle{f(-x)} ειναι γν φθίνουσα αρ
\displaystyle{f(-x)<f(-sinx)=f((sin(-x))} και παλι το ζητούμενο έπεται

Για \displaystyle{x=0} ισχύει
Θα προσπαθήσω τα υπολοιπα αργότερα
τελευταία επεξεργασία από R BORIS σε Πέμ Δεκ 06, 2018 8:32 am, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Άβαταρ μέλους
R BORIS
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2103
Εγγραφή: Σάβ Ιαν 03, 2009 8:08 am
Επικοινωνία:

Re: Ανισότητες με τριγωνομετρικές συναρτήσεις

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από R BORIS » Τετ Δεκ 05, 2018 12:49 pm

3η Είναι \displaystyle{Tanx>x,0<x<\pi /2},\displaystyle{,f\uparrow} τότε \displaystyle{f(Tanx)>f(x)}[3] και \displaystyle{-f(x)>0} άρα \displaystyle{-f(x)<Tan(-f(x))=-Tan(f(x))\Rightarrow f(x)>Tan(f(x))}[4] τότε από [3],[4] το ζητούμενο


Stelios V8
Δημοσιεύσεις: 5
Εγγραφή: Κυρ Ιαν 14, 2018 10:42 pm

Re: Ανισότητες με τριγωνομετρικές συναρτήσεις

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Stelios V8 » Τετ Δεκ 05, 2018 2:26 pm

Στο πρώτο ερώτημα,  f\left ( \sin \left ( x \right ) \right )< \sin \left ( f\left ( x \right ) \right ) , πιστεύω ότι δεν έχει απαντηθεί η περίπτωση  x< 0 . Επίσης δεν ισχύει η ισότητα για x= 0 και σε όλα τα ερωτήματα οι ανισότητες είναι γνήσιες.


Άβαταρ μέλους
R BORIS
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2103
Εγγραφή: Σάβ Ιαν 03, 2009 8:08 am
Επικοινωνία:

Re: Ανισότητες με τριγωνομετρικές συναρτήσεις

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από R BORIS » Τετ Δεκ 05, 2018 9:35 pm

Για \displaystyle{x>0 \Rightarrow  f(sinx)<f(x)<sin(f(x))}
Για \displaystyle{-x<0 \Rightarrow f(sin(-x))<f(-x))<sin(f(-x)) } ή \displaystyle{z<0\Rightarrow f(sin(z))<f(z)<sin(f(z)) }
και αναφερω ότι για \displaystyle{x=0} ισχύει
τελευταία επεξεργασία από R BORIS σε Πέμ Δεκ 06, 2018 8:31 am, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Stelios V8
Δημοσιεύσεις: 5
Εγγραφή: Κυρ Ιαν 14, 2018 10:42 pm

Re: Ανισότητες με τριγωνομετρικές συναρτήσεις

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Stelios V8 » Τετ Δεκ 05, 2018 11:51 pm

Για x< 0 ισχύει η ανισότητα f\left ( x \right )< f\left ( sin\left ( x \right ) \right )< sin\left ( f\left ( x \right ) \right ) επίσης για x=0 είναι f\left ( sin\left ( 0 \right ) \right )=f\left ( 0 \right )<sin\left ( f\left ( 0 \right ) \right ) αφού f\left ( 0 \right )< 0  άρα δεν έχουμε ισότητα!
Για του λόγου το αληθές...
Συνημμένα
Γραφική παράσταση.ggb
(11.69 KiB) Μεταφορτώθηκε 10 φορές


Άβαταρ μέλους
R BORIS
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2103
Εγγραφή: Σάβ Ιαν 03, 2009 8:08 am
Επικοινωνία:

Re: Ανισότητες με τριγωνομετρικές συναρτήσεις

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από R BORIS » Πέμ Δεκ 06, 2018 8:34 am

Σωστα έχεις δίκιο Αβλεψία μου


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΘΕΜΑΤΑ ΜΕ ΑΠΑΙΤΗΣΕΙΣ Γ'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης