Εκθετική

Δυσκολότερα θέματα τα οποία όμως άπτονται της σχολικής ύλης και χρησιμοποιούν αποκλειστικά θεωρήματα που βρίσκονται μέσα σε αυτή. Σε διαφορετική περίπτωση η σύνταξη του μηνύματος θα πρέπει να γίνει στο υποφόρουμ "Ο ΦΑΚΕΛΟΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΥ"

Συντονιστής: Μπάμπης Στεργίου

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 2553
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Εκθετική

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Τετ Οκτ 03, 2018 9:21 am

Δίνεται η f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}

που είναι παραγωγίσιμη και ικανοποιεί την σχέση

f(x)+e^{f(x)}=x+1,x\in \mathbb{R}

1)Δείξτε ότι f(0)=0

2)Δείξτε ότι η f έχει δεύτερη παράγωγο και εκφράστε τις f',f'' μέσω της f

3)Να δείξετε ότι για x>0 ισχύει

xf'(x)<f(x)<\dfrac{x}{2}

4)Αν E είναι το εμβαδό του χωρίου που ορίζεται από την C_{f}
τις ευθείες x=0,x=1 και τον άξονα xx'

να δείξετε ότι f(1)-\dfrac{1}{4}< E<\dfrac{1}{4}



Λέξεις Κλειδιά:
KAKABASBASILEIOS
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1504
Εγγραφή: Κυρ Φεβ 01, 2009 1:46 pm

Re: Εκθετική

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KAKABASBASILEIOS » Τετ Οκτ 03, 2018 11:34 am

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε:
Τετ Οκτ 03, 2018 9:21 am
Δίνεται η f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}

που είναι παραγωγίσιμη και ικανοποιεί την σχέση

f(x)+e^{f(x)}=x+1,x\in \mathbb{R}

1)Δείξτε ότι f(0)=0

2)Δείξτε ότι η f έχει δεύτερη παράγωγο και εκφράστε τις f',f'' μέσω της f

3)Να δείξετε ότι για x>0 ισχύει

xf'(x)<f(x)<\dfrac{x}{2}

4)Αν E είναι το εμβαδό του χωρίου που ορίζεται από την C_{f}
τις ευθείες x=0,x=1 και τον άξονα xx'

να δείξετε ότι f(1)-\dfrac{1}{4}< E<\dfrac{1}{4}

....Καλημέρα σε όλο το :logo: ...γειά σου Σταύρο!!!...(όπως το θέμα Δ του 2002)

1) Είναι με όπου x το 0 στην δοθείσα σχέση ότι f(0)+{{e}^{f(0)}}=1 άρα το f(0) είναι ρίζα της εξίσωσης x+{{e}^{x}}=1

που έχει προφανή την x=0 και επειδή η συνάρτηση g(x)=x+{{e}^{x}} είναι γνήσια αύξουσα αφού

{g}'(x)=1+{{e}^{x}}>0,\,\,x\in R είναι και '1-1' άρα η x=0 είναι μοναδική της ρίζα άρα f(0)=0

2) Παραγωγίζοντας την σχέση προκύπτει ότι {f}'(x)+{{e}^{f(x)}}{f}'(x)=1\Leftrightarrow {f}'(x)=\frac{1}{{{e}^{f(x)}}+1},x\in \mathbb{R}

άρα η {f}' είναι παραγωγίσιμη ως πράξεις παραγωγίσιμων με

{f}''(x)=-\frac{{{e}^{f(x)}}{f}'(x)}{{{({{e}^{f(x)}}+1)}^{2}}}=-\frac{{{e}^{f(x)}}}{{{({{e}^{f(x)}}+1)}^{3}}},\,\,x\in R

3) Θέλουμε x{f}'(x)<f(x)<\frac{x}{2}\Leftrightarrow {f}'(x)<\frac{f(x)}{x}<\frac{1}{2}\Leftrightarrow {f}'(x)<\frac{f(x)}{x}<{f}'(0)(1)

Τώρα στο διάστημα [0,\,\,x],\,\,x>0σύμφωνα με Θ.Μ.Τ. υπάρχει \xi \in (0,\,\,x) ώστε να ισχύει

{f}'(\xi )=\frac{f(x)-f(0)}{x}=\frac{f(x)}{x} έτσι ισοδύναμα θέλουμε από (1) {f}'(x)<{f}'(\xi )<{f}'(0)

που ισχύει γιατί η {f}' είναι γνήσια φθίνουσα αφού {f}''(x)=-\frac{{{e}^{f(x)}}}{{{({{e}^{f(x)}}+1)}^{3}}}<0,\,\,x\in R και 0<\xi <x

4) Αφού {f}'(x)=\frac{1}{{{e}^{f(x)}}+1}>0,x\in \mathbb{R} η f είναι γνήσια αύξουσα άρα ισχύει για x>0\Leftrightarrow f(x)>f(0)=0

επομένως το εμβαδό είναι E=\int\limits_{0}^{1}{f(x)dx}

Τώρα από xf'(x)<f(x)<\dfrac{x}{2} ολοκληρώνοντας έχουμε ότι \displaystyle \int\limits_{0}^{1}{x{f}'(x)dx}<\int\limits_{0}^{1}{f(x)dx}<\frac{1}{2}\int\limits_{0}^{1}{xdx} απ όπου

\displaystyle \Leftrightarrow [xf(x)]_{0}^{1}-\int\limits_{0}^{1}{f(x)dx}<\int\limits_{0}^{1}{f(x)dx}<\frac{1}{4}\Leftrightarrow f(1)-E<E<\frac{1}{4}

και αφού \displaystyle f(1)-E<E και \displaystyle E-\frac{1}{4}<0 με πρόσθεση κατά μέλη έχουμε \displaystyle f(1)-\frac{1}{4}<E

και τελικά f(1)-\dfrac{1}{4}< E<\dfrac{1}{4}

Φιλικά και Μαθηματικά
Βασίλης


f ανοιγοντας τους δρομους της Μαθηματικης σκεψης, f' παραγωγος επιτυχιας
Τα Μαθηματικά είναι απλά...όταν σκέπτεσαι σωστά...
Τα Μαθηματικά είναι αυτά...για να δεις πιό μακρυά...
Τα Μαθηματικά είναι μαγεία...όταν έχεις φαντασία...
perpant
Δημοσιεύσεις: 451
Εγγραφή: Πέμ Αύγ 11, 2011 2:09 am
Τοποθεσία: Ιωάννινα

Re: Εκθετική

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από perpant » Τετ Οκτ 03, 2018 11:47 am

Καλημέρα.
1) Αν g\left( x \right) = x + {e^x}, τότε η g είναι 1 - 1 ως γνησίως αύξουσα. Από τη δοθείσα για x = 0 έχουμε f\left( 0 \right) + {e^{f\left( 0 \right)}} = 1 \Leftrightarrow g\left( {f\left( 0 \right)} \right) = g\left( 0 \right)\mathop  \Leftrightarrow \limits^{g\,\,1 - 1} f\left( 0 \right) = 0.

2) Η δοθείσα γράφεται g\left( {f\left( x \right)} \right) = x + 1. Η g\left( {f\left( x \right)} \right) είναι παραγωγίσιμη ως σύνθεση παραγωγίσιμων, οπότε παραγωγίζοντας είναι {g^\prime }\left( {f\left( x \right)} \right){f^\prime }\left( x \right) = 1 \Rightarrow {f^\prime }\left( x \right) = \frac{1}{{1 + {e^{f\left( x \right)}}}} > 0, οπότε f γνησίως αύξουσα.

Η {f^\prime } είναι παραγωγίσιμη με {f^\prime }^\prime \left( x \right) =  - \frac{{{e^{f\left( x \right)}}}}{{{{\left( {1 + {e^{f\left( x \right)}}} \right)}^3}}} < 0 \Rightarrow {f^\prime } γνησίως φθίνουσα.

3) Για την αριστερή ανισότητα με Θ.Μ.Τ. στο \left[ {0,x} \right], x > 0έχουμε {f^\prime }\left( {{x_0}} \right) = \frac{{f\left( x \right) - f\left( 0 \right)}}{x} = \frac{{f\left( x \right)}}{x}.

Είναι {x_0} < x\mathop  \Rightarrow \limits^{f'2} {f^\prime }\left( x \right) < {f^\prime }\left( {{x_0}} \right) \Rightarrow {f^\prime }\left( x \right) < \frac{{f\left( x \right)}}{x} \Rightarrow x{f^\prime }\left( x \right) < f\left( x \right).

Για τη δεξιά ανισότητα, αν h\left( x \right) = 2f\left( x \right) - 1,x \ge 0 τότε {h^\prime }\left( x \right) = \frac{{1 - {e^{f\left( x \right)}}}}{{1 + {e^{f\left( x \right)}}}} < 0 για κάθε x > 0. (είναι x > 0\mathop  \Rightarrow \limits^{f1} f\left( x \right) > 0\mathop  \Rightarrow \limits^{{e^x}1} {e^{f\left( x \right)}} > 1).

Οπότε x > 0\mathop  \Rightarrow \limits^{h2} h\left( x \right) < h\left( 0 \right) \Rightarrow 2f\left( x \right) - x < 0.

4) Ολοκληρώνοντας τη σχέση του ερωτήματος 3 έχουμε:
\int_0^1 {x{f^\prime }\left( x \right)dx}  < \int_0^1 {f\left( x \right)} dx < \int_0^1 {\frac{x}{2}dx}  \Rightarrow
 \Rightarrow \left[ {xf\left( x \right)} \right]_0^1 - \int_0^1 {f\left( x \right)} dx < E < \frac{1}{4}
. \Rightarrow f\left( 1 \right) - E < E < \frac{1}{4} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} 
f\left( 1 \right) - E < E\\ 
E < \frac{1}{4} 
\end{array} \right.\mathop  \Rightarrow \limits^ +  f\left( 1 \right) < E - \frac{1}{4}.

Επεξεργασία: Με πρόλαβε ο Βασίλης, την αφήνω για τον κόπο.


Παντούλας Περικλής
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 2553
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Εκθετική

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Τετ Οκτ 03, 2018 12:14 pm

KAKABASBASILEIOS έγραψε:
Τετ Οκτ 03, 2018 11:34 am

....Καλημέρα σε όλο το :logo: ...γειά σου Σταύρο!!!...(όπως το θέμα Δ του 2002)
Γεια σου Βασίλη.
Ακριβώς είναι παραλλαγή του Δ του 2002.
Το ερώτημα 3 βγαίνει με πολλούς τρόπους.
Επίσης η ανισότητα ισχύει και για x<0.


ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 2553
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Εκθετική

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Πέμ Οκτ 04, 2018 7:25 pm

Θα κάνω το 3 διαφορετικά και για x\neq 0

Οπως έχει δειχθεί παραπάνω η f είναι κοίλη.

Η εξίσωση της εφαπτομένης στο 0 είναι y=\dfrac{x}{2}

Ετσι παίρνουμε την δεξιά.

Εστω x\neq 0.

Η εξίσωση της εφαπτομένης είναι η y=f(x)+f'(x)(t-x)

Αφου είναι κοίλη για t\neq x θα έχουμε

f(t)>f(x)+f'(x)(t-x)

Αν βάλουμε t=0 παίρνουμε την αριστερή


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΘΕΜΑΤΑ ΜΕ ΑΠΑΙΤΗΣΕΙΣ Γ'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες