Με απλά υλικά (9)

Δυσκολότερα θέματα τα οποία όμως άπτονται της σχολικής ύλης και χρησιμοποιούν αποκλειστικά θεωρήματα που βρίσκονται μέσα σε αυτή. Σε διαφορετική περίπτωση η σύνταξη του μηνύματος θα πρέπει να γίνει στο υποφόρουμ "Ο ΦΑΚΕΛΟΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΥ"

Συντονιστής: Μπάμπης Στεργίου

Άβαταρ μέλους
exdx
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1428
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 6:00 pm
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης
Επικοινωνία:

Με απλά υλικά (9)

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από exdx » Τετ Μάιος 23, 2018 7:57 am

Δίνεται η συνάρτηση \displaystyle f:R\to R με \displaystyle f(x)=x+2-\frac{4{{e}^{x}}}{{{e}^{x}}+1} .
α) Να τη μελετήσετε ως προς τη μονοτονία και την κυρτότητα .
β) Να βρείτε τις ασύμπτωτες και να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση .
γ) Να υπολογίσετε το \displaystyle \int\limits_{-2}^{2}{f(x)dx}.
δ) Αν \displaystyle 0<m<1 να δείξετε ότι η ευθεία \displaystyle (\varepsilon ):y=mx τέμνει τη \displaystyle {{C}_{f}} σε τρία ακριβώς σημεία .

Η ιδέα είναι από εφαρμογή του σχολικού. Χωρίς λύση στο δ.


Kαλαθάκης Γιώργης

Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8484
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Με απλά υλικά (9)

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Τετ Μάιος 23, 2018 10:01 am

exdx έγραψε:
Τετ Μάιος 23, 2018 7:57 am
Δίνεται η συνάρτηση \displaystyle f:R\to R με \displaystyle f(x)=x+2-\frac{4{{e}^{x}}}{{{e}^{x}}+1} .
α) Να τη μελετήσετε ως προς τη μονοτονία και την κυρτότητα .
β) Να βρείτε τις ασύμπτωτες και να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση .
γ) Να υπολογίσετε το \displaystyle \int\limits_{-2}^{2}{f(x)dx}.
δ) Αν \displaystyle 0<m<1 να δείξετε ότι η ευθεία \displaystyle (\varepsilon ):y=mx τέμνει τη \displaystyle {{C}_{f}} σε τρία ακριβώς σημεία .

Η ιδέα είναι από εφαρμογή του σχολικού. Χωρίς λύση στο δ.

α) Η f είναι παραγωγίσιμη στο \mathbb{R} με παράγωγο \displaystyle f'(x) = \frac{{{{({e^x} - 1)}^2}}}{{{{({e^x} + 1)}^2}}} \ge 0, άρα είναι γνησίως αύξουσα στο \mathbb{R}.

\displaystyle f''(x) = \frac{{4{e^x}({e^x} - 1)}}{{{{({e^x} + 1)}^3}}} \ge 0 \Leftrightarrow x \ge 0. Η f είναι λοιπόν κοίλη στο \displaystyle ( - \infty ,0] και κυρτή στο \displaystyle [0, + \infty )

β) Η f είναι συνεχής στο \mathbb{R}, οπότε δεν έχει κατακόρυφες ασύμπτωτες.

\displaystyle \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } [f(x) - (x + 2)] =  - \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \frac{{4{e^x}}}{{{e^x} + 1}} = 0 και η ευθεία \boxed{y=x+2} είναι πλάγια ασύμπτωτη στο \displaystyle  - \infty.


Με απλά υλικά (9).png
Με απλά υλικά (9).png (7.9 KiB) Προβλήθηκε 887 φορές
Εξάλλου, η f είναι περιττή. Πράγματι, για κάθε x,-x\in \mathbb{R} είναι:

\displaystyle f(x) + f( - x) = x + 2 - \frac{{4{e^x}}}{{{e^x} + 1}} - x + 2 - \frac{4}{{{e^x} + 1}} = 4 - \frac{{4({e^x} + 1)}}{{{e^x} + 1}} = 0

Άρα, \displaystyle f(x) = x - 2 + \frac{4}{{{e^x} + 1}} \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } [f(x) - (x - 2)] = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{4}{{{e^x} + 1}} = 0, δηλαδή η ευθεία

\boxed{y=x-2} είναι πλάγια ασύμπτωτη στο \displaystyle  + \infty.

γ) Επειδή η f είναι περιττή, \displaystyle \int_{ - 2}^2 {f(x)dx = 0} (η απόδειξη είναι κλασική).

δ) Μία απόπειρα με κάθε επιφύλαξη. Δεν ξέρω κατά πόσο στέκει.
Για \displaystyle 0<m<1 η ευθεία y=mx τέμνει την ασύμπτωτη y=x+2 στο σημείο με τετμημένη x=\dfrac{2}{m-1}.

Αν \displaystyle m \to {1^ - } \Rightarrow x \to  - \infty, οπότε η y=mx τέμνει την y=x+2 σε κάποιο σημείο στο \displaystyle ( - \infty ,0). Η f όμως σε αυτό

το διάστημα είναι κοίλη και βρίσκεται κάτω από την ασύμπτωτή της στο \displaystyle  - \infty , οπότε η y=mx θα τέμνει υποχρεωτικά την C_f

σε ένα σημείο με τετμημένη στο \displaystyle ( - \infty ,0). Ομοίως εργαζόμαστε και με την ασύμπτωτη y=x-2.

Τέλος έχουμε και το προφανές κοινό σημείο που είναι η αρχή των αξόνων, δηλαδή ακριβώς τρία κοινά σημεία.


ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 2678
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Με απλά υλικά (9)

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Τετ Μάιος 23, 2018 12:13 pm

Το δ) διαφορετικά.

Θέτουμε g(x)=f(x)-mx
που είναι περιττή.

Προφανώς g(0)=0 και αφού είναι περιττή αρκεί να αποδείξουμε

ότι έχει ακριβώς δύο ρίζες στο [0,\infty ) γιατί τότε θα έχει ακριβώς μια ρίζα

στο (0,\infty )

Επειδή η g'(x)=f'(x)-m στο (0,\infty ) εχει ακριβώς μια ρίζα
(μπορούμε και να την βρούμε αλλά δεν χρειάζεται)

δεν μπορεί να έχει περισσότερες από δύο η g(x)=0(Rolle)

Αρκεί λοιπόν να αποδείξουμε ότι η g(x)=0 έχει ρίζα στο (0,\infty )

Είναι \lim_{x\rightarrow \infty }g(x)=\infty

Αρα υπάρχει b>0 με g(b)>0

Επίσης επειδή g'(0)=-m< 0

υπάρχει a>0 με g(a)<0

Ενας Bolzano στο [a,b] μας δίνει αυτό που θέλουμε.


Άβαταρ μέλους
Christos.N
Δημοσιεύσεις: 1709
Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 26, 2009 2:28 pm
Τοποθεσία: Ίλιον

Re: Με απλά υλικά (9)

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Christos.N » Τετ Μάιος 23, 2018 7:36 pm

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε:
Τετ Μάιος 23, 2018 12:13 pm
Το δ) διαφορετικά.
...
Σταύρο πως θα έθετες με μεγαλύτερη αυστηρότητα το ζητούμενο λήμμα;

Το ερώτημα ζητάει να συνδυάσουμε την κυρτότητα μιας συνάρτησης ορισμένη σε ένα διάστημα της μορφής \displaystyle \left[ {a,b} \right) (στην περίπτωση μας είναι κυρτή) και να δείξουμε ότι η ευθεία \displaystyle y - f\left( a \right) = c\left( {x - a} \right) για συγκεκριμένες τιμές της παραμέτρου \displaystyle c (εδώ κολλάω) τέμνει την γραφική παράστση της C_f σε μοναδικό σημείο A(x_0),f(x_0),x_0>a.

Αντιλαμβάνομαι μάλλον ότι \displaystyle \mathop {\inf }\limits_{x \in \left( {a,b} \right)} \{ f'\left( x \right)\}  < c < \mathop {\sup }\limits_{x \in \left( {a.b} \right)} \{ f'\left( x \right)\} , αλλά δυσκολεύομαι να το διατυπώσω.


Χρήστος Ντάβας
Wir müssen wissen — wir werden wissen! D.Hilbert
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 2678
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Με απλά υλικά (9)

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Τετ Μάιος 23, 2018 10:02 pm

Christos.N έγραψε:
Τετ Μάιος 23, 2018 7:36 pm
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε:
Τετ Μάιος 23, 2018 12:13 pm
Το δ) διαφορετικά.
...
Σταύρο πως θα έθετες με μεγαλύτερη αυστηρότητα το ζητούμενο λήμμα;

Το ερώτημα ζητάει να συνδυάσουμε την κυρτότητα μιας συνάρτησης ορισμένη σε ένα διάστημα της μορφής \displaystyle \left[ {a,b} \right) (στην περίπτωση μας είναι κυρτή) και να δείξουμε ότι η ευθεία \displaystyle y - f\left( a \right) = c\left( {x - a} \right) για συγκεκριμένες τιμές της παραμέτρου \displaystyle c (εδώ κολλάω) τέμνει την γραφική παράστση της C_f σε μοναδικό σημείο A(x_0),f(x_0),x_0>a.

Αντιλαμβάνομαι μάλλον ότι \displaystyle \mathop {\inf }\limits_{x \in \left( {a,b} \right)} \{ f'\left( x \right)\}  < c < \mathop {\sup }\limits_{x \in \left( {a.b} \right)} \{ f'\left( x \right)\} , αλλά δυσκολεύομαι να το διατυπώσω.
Για να το δούμε λοιπόν.

Η g(x)=f(x)-f(a)-c(x-a)

είναι προφανώς κυρτή.

Αν c\geq f'(a) τότε εύκολα βλέπουμε ότι δεν υπάρχει ρίζα.

Αρα πρέπει να έχουμε f'(a)<c

Επειδή η g είναι κυρτή το \lim_{x\rightarrow b}g(x) υπάρχει στο \mathbb{R}\cup \left \{ \infty ,-\infty \right \}
(εκτός σχολικής ύλης)

Αρα μπορούμε να την επεκτείνουμε και στο b.

Είναι γνωστό (και θα έπρεπε να είναι εντός σχολικής ύλης ) ότι κυρτή συνάρτηση σε κλειστό

παίρνει μέγιστη τιμή σε ένα από τα δύο άκρα .

Αν λοιπόν το \lim_{x\rightarrow b}g(x)> 0 η g(b)= \infty τότε υπάρχει ρίζα .

Γιατί αφού f'(a)<c υπάρχει m>a κοντα στο a με  g(m)<0 και ο Bolzano μας την δίνει.

Συμπέρασμα.

Υπάρχει ρίζα αν και μόνο αν ισχύουν ταυτόχρονα οι f'(a)< c,\lim_{x\rightarrow b}g(x)> 0

Η ρίζα αν υπάρχει είναι μοναδική γιατί μια κυρτή συνάρτηση(σε σχολικό επίπεδο) έχει το πολύ δύο ρίζες και εδώ

προφανώς το a είναι ρίζα.

συμπλήρωμα.Διόρθωσα κάποιες αβλεψίες.


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΘΕΜΑΤΑ ΜΕ ΑΠΑΙΤΗΣΕΙΣ Γ'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 3 επισκέπτες