Χαμός στο ίσιωμα

Δυσκολότερα θέματα τα οποία όμως άπτονται της σχολικής ύλης και χρησιμοποιούν αποκλειστικά θεωρήματα που βρίσκονται μέσα σε αυτή. Σε διαφορετική περίπτωση η σύνταξη του μηνύματος θα πρέπει να γίνει στο υποφόρουμ "Ο ΦΑΚΕΛΟΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΥ"

Συντονιστής: Μπάμπης Στεργίου

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 11546
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Χαμός στο ίσιωμα

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Σάβ Απρ 21, 2018 12:59 pm

Να μελετηθεί ως προς την κυρτότητα και τα σημεία καμπής η συνάρτηση :

\displaystyle f(x) = \sqrt{x-1-2\sqrt{x-2}}+\sqrt{x+2-4\sqrt{x-2}}



Λέξεις Κλειδιά:
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 12126
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Χαμός στο ίσιωμα

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Σάβ Απρ 21, 2018 2:15 pm

KARKAR έγραψε:
Σάβ Απρ 21, 2018 12:59 pm
Να μελετηθεί ως προς την κυρτότητα και τα σημεία καμπής η συνάρτηση :

\displaystyle f(x) = \sqrt{x-1-2\sqrt{x-2}}+\sqrt{x+2-4\sqrt{x-2}}
Καταρχάς θέλουμε x\ge 2. Από τα παρακάτω θα διαπιστώσουμε ότι δεν υπάρχει άλλος περιορισμός.

H αριστερή παράσταση είναι \displaystyle{  \sqrt{x-1-2\sqrt{x-2}} =  \sqrt{x-2-2\sqrt{x-2} +1} =  \sqrt{(\sqrt {x-2} -1)^2}=|\sqrt {x-2} -1| }

Όμοια η δεξιά \displaystyle{ \sqrt{x+2-4\sqrt{x-2}}= |\sqrt {x-2} -2|}

Εύκολα τώρα βλέπουμε ότι η f(x) στο [2,3] ισούται 3-2\sqrt {x-2} που είναι γνήσια φθίνουσα και κυρτή (από την αντίστοιχη ιδιότητα της y=-\sqrt x)

Στο [3,6] είναι σταθερή 1 (εξ ου και ο ευρηματικός τίτλος), και στο [6, \infty ) είναι 2\sqrt {x-2}-3, δηλαδή γνήσια αύξουσα και κοίλη (από την αντίστοιχη ιδιότητα της y=\sqrt x).


Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 11546
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Re: Χαμός στο ίσιωμα

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Παρ Μάιος 22, 2020 1:04 pm

Χαμός.png
Χαμός.png (9.17 KiB) Προβλήθηκε 120 φορές


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΘΕΜΑΤΑ ΜΕ ΑΠΑΙΤΗΣΕΙΣ Γ'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 4 επισκέπτες