Ολοκληρωτική ανισότητα

KARKAR · #1

Η συνάρτηση : $f(x)=\dfrac{lnx}{x-1}$ , καθίσταται συνεχής στο $(0 , +\infty)$ ,

αν ορίσουμε f(1)=1

. Δείξτε ότι : $\displaystyle \int_1^e f(x)dx <\dfrac{e}{2}$

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Παρ Απρ 13, 2018 1:55 pm
Η συνάρτηση : $f(x)=\dfrac{lnx}{x-1}$ , καθίσταται συνεχής στο $(0 , +\infty)$ ,

αν ορίσουμε . Δείξτε ότι : $\displaystyle \int_1^e f(x)dx <\dfrac{e}{2}$

Η συνάρτηση στο διάστημα (1,e)

είναι θετική (άμεσο) και κυρτή καθώς έχει δεύτερη παράγωγο $\displaystyle{ -\frac {3x-1}{x^2(x-1)^2} {\color {red} + }\frac {2\ln x }{(x-1)^3} {\color {red} > }0$ (βλέπε ποστ παρακάτω μετά την παρατήρηση του Σταύρου). Άρα το γράφημά της βρίσκεται κάτω από την χορδή που συνδέει τα άκρα της $\displaystyle{(1, 1), \,\left (e, \frac {1}{e-1}\right ) }$ . Συνεπώς το εν λόγω ολοκλήρωμα είναι μικρότερο από το εμβαδόν του τραπεζίου με άκρα $\displaystyle{(1,0), \, (1, 1), \, (e, 1/(e-1)), \, (e,0)}$ , που είναι $\displaystyle{ \frac {1}{2} \left ( \frac {1}{e-1}+1\right ) (e-1)= \frac {e}{2}}$

Tolaso J Kos · #3

Θανάση , πες αλεύρι ... η άσκηση σε γυρεύει....

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #4

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Παρ Απρ 13, 2018 5:27 pm

KARKAR έγραψε: ↑
Παρ Απρ 13, 2018 1:55 pm
Η συνάρτηση : $f(x)=\dfrac{lnx}{x-1}$ , καθίσταται συνεχής στο $(0 , +\infty)$ ,

αν ορίσουμε . Δείξτε ότι : $\displaystyle \int_1^e f(x)dx <\dfrac{e}{2}$
Η συνάρτηση στο διάστημα είναι θετική (άμεσο) και κυρτή καθώς έχει δεύτερη παράγωγο $\displaystyle{ -\frac {3x-1}{x^2(x-1)^2} -\frac {2\ln x }{(x-1)^3} <0}$ . Άρα το γράφημά της βρίσκεται κάτω από την χορδή που συνδέει τα άκρα της $\displaystyle{(1, 1), \,\left (e, \frac {1}{e-1}\right ) }$ . Συνεπώς το εν λόγω ολοκλήρωμα είναι μικρότερο από το εμβαδόν του τραπεζίου με άκρα $\displaystyle{(1,0), \, (1, 1), \, (e, 1/(e-1)), \, (e,0)}$ , που είναι $\displaystyle{ \frac {1}{2} \left ( \frac {1}{e-1}+1\right ) (e-1)= \frac {e}{2}}$

Είναι σαφές ότι το
''κυρτή καθώς έχει δεύτερη παράγωγο
$\displaystyle{ -\frac {3x-1}{x^2(x-1)^2} -\frac {2\ln x }{(x-1)^3} <0}$ ''
ξέφυγε από τον Μιχάλη .

Η συνάρτηση είναι όντως κυρτή καθώς η δεύτερη παράγωγος είναι

$\displaystyle f''(x)={ -\frac {3x-1}{x^2(x-1)^2} +\frac {2\ln x }{(x-1)^3} >0}$

#5

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: ↑
Παρ Απρ 20, 2018 9:43 am
Η συνάρτηση είναι όντως κυρτή καθώς η δεύτερη παράγωγος είναι

$\displaystyle f''(x)={ -\frac {3x-1}{x^2(x-1)^2} +\frac {2\ln x }{(x-1)^3} >0}$

Σταύρο, έχεις δίκιο. Ακολουθεί διόρθωση:

Κάνοντας τα κλάσματα ομώνυμα, ο αριθμητής της δεύτερης παραγώγου είναι $\displaystyle{g(x)= -(3x-1)(x-1) +2x^2\ln x }$ . Αφού g(1)=0

αρκεί να δείξουμε ότι είναι αύξουσα, οπότε αρκεί $g'(x) \ge 0$ στο εν λόγω διάστημα. Αλλά $g'(x)= 4-4x+4x\ln (x)$ οπότε $g''(x)= \ln (x) >0$ , και άρα $g'(x)\ge g'(1)=0$ .

#6

: δισεφαπτομενικώς.png (11.26 KiB) Προβλήθηκε 897 φορές

Είπα να το δω και λίγο ... εφαπτομενικά το ζήτημα, οπότε, με $a=\dfrac{e}{e-1}$ (βλέπετε και συνημμένο), λαμβάνουμε (παραλείποντας τις λεπτομέρειες):

$\displaystyle\int_{1}^{e}\dfrac{lnxdx}{x-1}<\int_{1}^{a}\dfrac{(x-1)dx}{x-1}+\dfrac{1}{e}\int_{a}^{e}\dfrac{xdx}{x-1}=1+\dfrac{2ln(e-1)}{e}\approx1,3983$

Μ' άλλα λόγια ... έπαιξα κι έχασα

Ολοκληρωτική ανισότητα

Ολοκληρωτική ανισότητα

Re: Ολοκληρωτική ανισότητα

Re: Ολοκληρωτική ανισότητα

Re: Ολοκληρωτική ανισότητα

Re: Ολοκληρωτική ανισότητα

Re: Ολοκληρωτική ανισότητα

Μέλη σε σύνδεση