Εύρεση f και σύστημα

M.S.Vovos · #1

Έστω η παραγωγίσιμη συνάρτηση $f:\mathbb{R}\longrightarrow \mathbb{R}$ για την οποία, f(0)=1

και για κάθε $x\in \mathbb{R}$ ισχύει:

$\displaystyle{\Big ( f\left ( -x \right )+x \Big ) \Big ( f'\left ( x \right )-1 \Big )=x}$

Να βρείτε τη σχετική θέση της γραφικής παράστασης της με την διχοτόμο του 1ου και 3ου τεταρτημορίου.

Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση $\displaystyle g(x)=\frac{f(-x)+x}{f(x)-x}$ , $x\in \mathbb{R}$ είναι σταθερή.

Να αποδείξετε ότι $f(x)=x+\sqrt{x^{2}+1}$ , $x\in \mathbb{R}$ .

Να αποδείξετε ότι η είναι και να βρείτε το ζεύγος των αριθμών $a,b \in \mathbb{R}$ , που είναι λύση του παρακάτω συστήματος:

$\displaystyle{\left ( S \right ):\left\{\begin{matrix} a+b=\sqrt{b^{2}+1}-\sqrt{a^{2}+1}\\\\ e^{a}+b-1=\sqrt{b^{2}-2b+2}-\sqrt{e^{2a}+1} \end{matrix}\right.}$

#2

M.S.Vovos έγραψε: ↑
Παρ Μαρ 30, 2018 10:38 pm
Έστω η παραγωγίσιμη συνάρτηση $f:\mathbb{R}\longrightarrow \mathbb{R}$ για την οποία, και για κάθε $x\in \mathbb{R}$ ισχύει:

$\displaystyle{\Big ( f\left ( -x \right )+x \Big ) \Big ( f'\left ( x \right )-1 \Big )=x}$
Να βρείτε τη σχετική θέση της γραφικής παράστασης της με την διχοτόμο του 1ου και 3ου τεταρτημορίου.

Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση $\displaystyle g(x)=\frac{f(-x)+x}{f(x)-x}$ , $x\in \mathbb{R}$ είναι σταθερή.

Να αποδείξετε ότι $f(x)=x+\sqrt{x^{2}+1}$ , $x\in \mathbb{R}$ .

Να αποδείξετε ότι η είναι και να βρείτε το ζεύγος των αριθμών $a,b \in \mathbb{R}$ , που είναι λύση του παρακάτω συστήματος:

$\displaystyle{\left ( S \right ):\left\{\begin{matrix} a+b=\sqrt{b^{2}+1}-\sqrt{a^{2}+1}\\\\ e^{a}+b-1=\sqrt{b^{2}-2b+2}-\sqrt{e^{2a}+1} \end{matrix}\right.}$

ΛΥΣΗ

Α) Θέλουμε το πρόσημο της συνάρτησης συνεχούς συνάρτησης h(x)=f(x)-x

. Αν υπάρχει ${{x}_{0}}\in R$ που $f({{x}_{0}})={{x}_{0}}$ τότε στην

$\displaystyle{\Big ( f\left ( -x \right )+x \Big ) \Big ( f'\left ( x \right )-1 \Big )=x}$ με όπου

το $-{{x}_{0}}$ αναγκαία έχουμε

$(f\left( {{x}_{0}} \right)-{{x}_{0}})({f}'\left( {{x}_{0}} \right)-1)=-{{x}_{0}}$ ή $0=-{{x}_{0}}\Leftrightarrow {{x}_{0}}=0$ οπότε

f(0)=0

άτοπο αφού f(0)=1

άρα είναι $f(x)\ne x,\,\,x\in R$ δηλαδή $h(x)=f(x)-x\ne 0,\,\,x\in R$

άρα έχει σταθερό πρόσημο και αφού h(0)=f(0)=1>0

είναι $h(x)>0\Leftrightarrow f(x)-x>0\Leftrightarrow f(x)>x,\,\,x\in R$

Β) Είναι ${g}'(x)=\frac{(-{f}'(-x)+1)(f(x)-x)-(f(-x)+x)({f}'(x)+1)}{{{(f(x)-x)}^{2}}}=0$ γιατί

${\Big ( f\left ( -x \right )+x \Big ) \Big ( f'\left ( x \right )-1 \Big )=x}$ και με όπου

το

προκύπτει

$(f\left( x \right)-x)({f}'\left( -x \right)-1)=-x\Leftrightarrow (f\left( x \right)-x)(-{f}'\left( -x \right)+1)=x$ άρα

${g}'(x)=\frac{x-x}{{{(f(x)-x)}^{2}}}=0$ επομένως είναι $g(x)=\frac{f(-x)+x}{f(x)-x}=c,\,\,x\in R,\,\,c\in R$

Γ) Είναι $g(0)=\frac{f(0)+0}{f(0)-0}=\frac{1}{1}=1$ άρα $g(x)=1\Leftrightarrow \frac{f(-x)+x}{f(x)-x}=1\Leftrightarrow f(-x)+x=f(x)-x$

επομένως από $\displaystyle{\Big ( f\left ( -x \right )+x \Big ) \Big ( f'\left ( x \right )-1 \Big )=x}$ λόγω της προηγούμενης ισότητας ισχύει

$(f\left( x \right)-x)({f}'\left( x \right)-1)=x\Leftrightarrow {{\left( {{(f(x)-x)}^{2}} \right)}^{\prime }}=({{x}^{2}}{)}'$ ισοδύναμα

${{(f(x)-x)}^{2}}={{x}^{2}}+c$ και επειδή f(0)=1

προκύπτει

άρα

${{(f(x)-x)}^{2}}={{x}^{2}}+1\Leftrightarrow |f(x)-x|=\sqrt{{{x}^{2}}+1}$

και επειδή $f(x)>x,\,\,x\in R$ είναι $f(x)-x=\sqrt{{{x}^{2}}+1}\Leftrightarrow f(x)=x+\sqrt{{{x}^{2}}+1},\,\,x\in R$

Δ) Είναι ${f}'(x)=1+\frac{x}{\sqrt{{{x}^{2}}+1}}=\frac{x+\sqrt{{{x}^{2}}+1}}{\sqrt{{{x}^{2}}+1}}=\frac{f(x)}{\sqrt{{{x}^{2}}+1}}>0,\,\,x\in R$

άρα η

είναι γνήσια αύξουσα άρα και 1-1

και στο σύστημα έχουμε ${{e}^{a}}+b-1=\sqrt{{{b}^{2}}-2b+2}-\sqrt{{{e}^{2a}}+1}$

${{e}^{a}}+\sqrt{{{e}^{2a}}+1}=\sqrt{{{(b-1)}^{2}}+1}+1-b\Leftrightarrow f({{e}^{a}})=f(1-b)$ και λόγω του 1-1

προκύπτει ότι

${{e}^{a}}=1-b$ (1) και για την πρώτη ισότητα του συστήματος (που μάλλον έχει τυπογραφικό…ο δημιουργός να επέμβει…)

$a-b=\sqrt{{{b}^{2}}+1}-\sqrt{{{a}^{2}}+1}\Leftrightarrow a+\sqrt{{{a}^{2}}+1}=b+\sqrt{{{b}^{2}}+1}\Leftrightarrow f(a)=f(b)\Leftrightarrow a=b$ (2)

και έτσι η (1) γίνεται ${{e}^{a}}=1-a\Leftrightarrow {{e}^{a}}+a-1=0$ και βλέπουμε ότι το

είναι ρίζα της συνάρτησης

$h(x)={{e}^{x}}+x-1$ που έχει προφανή την x=0

και μοναδική αφού ${h}'(x)={{e}^{x}}+1>0$ άρα

γνήσια αύξουσα άρα και '1-1'

επομένως

Φιλικά και Μαθηματικά
Βασίλης

M.S.Vovos · #3

Καλησπέρα. Δεν έχει τυπογραφικό. Φυσικά η ιδεα της κατασκευής δεν αλλάζει και στα δύο πρόσημα.

Φιλικά.

Εύρεση f και σύστημα

Εύρεση f και σύστημα

Re: Εύρεση f και σύστημα

Re: Εύρεση f και σύστημα

Μέλη σε σύνδεση