ΛΥΣΗ
Α) Θέλουμε το πρόσημο της συνάρτησης συνεχούς συνάρτησης
. Αν υπάρχει
που
τότε στην
με όπου
το
αναγκαία έχουμε
ή
οπότε
άτοπο αφού
άρα είναι
δηλαδή
άρα έχει σταθερό πρόσημο και αφού
είναι
Β) Είναι
γιατί
και με όπου
το
προκύπτει
άρα
επομένως είναι
Γ) Είναι
άρα
επομένως από
λόγω της προηγούμενης ισότητας ισχύει
ισοδύναμα
και επειδή
προκύπτει
άρα
και επειδή
είναι
Δ) Είναι
άρα η
είναι γνήσια αύξουσα άρα και
και στο σύστημα έχουμε
και λόγω του
προκύπτει ότι
(1) και για την πρώτη ισότητα του συστήματος (που μάλλον έχει τυπογραφικό…ο δημιουργός να επέμβει…)
(2)
και έτσι η (1) γίνεται
και βλέπουμε ότι το
είναι ρίζα της συνάρτησης
που έχει προφανή την
και μοναδική αφού
άρα
γνήσια αύξουσα άρα και
επομένως
Φιλικά και Μαθηματικά
Βασίλης