Εύρεση f και σύστημα

Δυσκολότερα θέματα τα οποία όμως άπτονται της σχολικής ύλης και χρησιμοποιούν αποκλειστικά θεωρήματα που βρίσκονται μέσα σε αυτή. Σε διαφορετική περίπτωση η σύνταξη του μηνύματος θα πρέπει να γίνει στο υποφόρουμ "Ο ΦΑΚΕΛΟΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΥ"

Συντονιστής: Μπάμπης Στεργίου

Άβαταρ μέλους
M.S.Vovos
Δημοσιεύσεις: 884
Εγγραφή: Παρ Φεβ 27, 2015 5:45 pm

Εύρεση f και σύστημα

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από M.S.Vovos » Παρ Μαρ 30, 2018 10:38 pm

Έστω η παραγωγίσιμη συνάρτηση f:\mathbb{R}\longrightarrow \mathbb{R} για την οποία, f(0)=1 και για κάθε x\in \mathbb{R} ισχύει:

\displaystyle{\Big ( f\left ( -x \right )+x \Big ) \Big ( f'\left ( x \right )-1 \Big )=x}
  • Να βρείτε τη σχετική θέση της γραφικής παράστασης της f με την διχοτόμο του 1ου και 3ου τεταρτημορίου.
  • Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση \displaystyle g(x)=\frac{f(-x)+x}{f(x)-x}, x\in \mathbb{R} είναι σταθερή.
  • Να αποδείξετε ότι f(x)=x+\sqrt{x^{2}+1}, x\in \mathbb{R}.
  • Να αποδείξετε ότι η f είναι 1-1 και να βρείτε το ζεύγος των αριθμών a,b \in \mathbb{R}, που είναι λύση του παρακάτω συστήματος:

    \displaystyle{\left ( S \right ):\left\{\begin{matrix} 
a+b=\sqrt{b^{2}+1}-\sqrt{a^{2}+1}\\\\  
e^{a}+b-1=\sqrt{b^{2}-2b+2}-\sqrt{e^{2a}+1} 
\end{matrix}\right.}


Είναι αυταπάτη ότι η νεότητα είναι ευτυχισμένη, μια αυταπάτη αυτών που την έχουν χάσει. W. Somerset Maugham

Λέξεις Κλειδιά:
KAKABASBASILEIOS
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 1520
Εγγραφή: Κυρ Φεβ 01, 2009 1:46 pm

Re: Εύρεση f και σύστημα

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KAKABASBASILEIOS » Σάβ Μαρ 31, 2018 1:25 am

M.S.Vovos έγραψε:
Παρ Μαρ 30, 2018 10:38 pm
Έστω η παραγωγίσιμη συνάρτηση f:\mathbb{R}\longrightarrow \mathbb{R} για την οποία, f(0)=1 και για κάθε x\in \mathbb{R} ισχύει:

\displaystyle{\Big ( f\left ( -x \right )+x \Big ) \Big ( f'\left ( x \right )-1 \Big )=x}
  • Να βρείτε τη σχετική θέση της γραφικής παράστασης της f με την διχοτόμο του 1ου και 3ου τεταρτημορίου.
  • Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση \displaystyle g(x)=\frac{f(-x)+x}{f(x)-x}, x\in \mathbb{R} είναι σταθερή.
  • Να αποδείξετε ότι f(x)=x+\sqrt{x^{2}+1}, x\in \mathbb{R}.
  • Να αποδείξετε ότι η f είναι 1-1 και να βρείτε το ζεύγος των αριθμών a,b \in \mathbb{R}, που είναι λύση του παρακάτω συστήματος:

    \displaystyle{\left ( S \right ):\left\{\begin{matrix} 
a+b=\sqrt{b^{2}+1}-\sqrt{a^{2}+1}\\\\  
e^{a}+b-1=\sqrt{b^{2}-2b+2}-\sqrt{e^{2a}+1} 
\end{matrix}\right.}
ΛΥΣΗ

Α) Θέλουμε το πρόσημο της συνάρτησης συνεχούς συνάρτησης h(x)=f(x)-x. Αν υπάρχει {{x}_{0}}\in R που f({{x}_{0}})={{x}_{0}} τότε στην

\displaystyle{\Big ( f\left ( -x \right )+x \Big ) \Big ( f'\left ( x \right )-1 \Big )=x} με όπου x το -{{x}_{0}} αναγκαία έχουμε

(f\left( {{x}_{0}} \right)-{{x}_{0}})({f}'\left( {{x}_{0}} \right)-1)=-{{x}_{0}} ή 0=-{{x}_{0}}\Leftrightarrow {{x}_{0}}=0 οπότε

f(0)=0 άτοπο αφού f(0)=1 άρα είναι f(x)\ne x,\,\,x\in R δηλαδή h(x)=f(x)-x\ne 0,\,\,x\in R

άρα έχει σταθερό πρόσημο και αφού h(0)=f(0)=1>0 είναι h(x)>0\Leftrightarrow f(x)-x>0\Leftrightarrow f(x)>x,\,\,x\in R

Β) Είναι {g}'(x)=\frac{(-{f}'(-x)+1)(f(x)-x)-(f(-x)+x)({f}'(x)+1)}{{{(f(x)-x)}^{2}}}=0 γιατί

{\Big ( f\left ( -x \right )+x \Big ) \Big ( f'\left ( x \right )-1 \Big )=x} και με όπου x το -x προκύπτει

(f\left( x \right)-x)({f}'\left( -x \right)-1)=-x\Leftrightarrow (f\left( x \right)-x)(-{f}'\left( -x \right)+1)=x άρα

{g}'(x)=\frac{x-x}{{{(f(x)-x)}^{2}}}=0 επομένως είναι g(x)=\frac{f(-x)+x}{f(x)-x}=c,\,\,x\in R,\,\,c\in R

Γ) Είναι g(0)=\frac{f(0)+0}{f(0)-0}=\frac{1}{1}=1 άρα g(x)=1\Leftrightarrow \frac{f(-x)+x}{f(x)-x}=1\Leftrightarrow f(-x)+x=f(x)-x

επομένως από \displaystyle{\Big ( f\left ( -x \right )+x \Big ) \Big ( f'\left ( x \right )-1 \Big )=x} λόγω της προηγούμενης ισότητας ισχύει

(f\left( x \right)-x)({f}'\left( x \right)-1)=x\Leftrightarrow {{\left( {{(f(x)-x)}^{2}} \right)}^{\prime }}=({{x}^{2}}{)}' ισοδύναμα

{{(f(x)-x)}^{2}}={{x}^{2}}+c και επειδή f(0)=1 προκύπτει c=1 άρα

{{(f(x)-x)}^{2}}={{x}^{2}}+1\Leftrightarrow |f(x)-x|=\sqrt{{{x}^{2}}+1}

και επειδή f(x)>x,\,\,x\in R είναι f(x)-x=\sqrt{{{x}^{2}}+1}\Leftrightarrow f(x)=x+\sqrt{{{x}^{2}}+1},\,\,x\in R

Δ) Είναι {f}'(x)=1+\frac{x}{\sqrt{{{x}^{2}}+1}}=\frac{x+\sqrt{{{x}^{2}}+1}}{\sqrt{{{x}^{2}}+1}}=\frac{f(x)}{\sqrt{{{x}^{2}}+1}}>0,\,\,x\in R

άρα η f είναι γνήσια αύξουσα άρα και 1-1 και στο σύστημα έχουμε {{e}^{a}}+b-1=\sqrt{{{b}^{2}}-2b+2}-\sqrt{{{e}^{2a}}+1}

{{e}^{a}}+\sqrt{{{e}^{2a}}+1}=\sqrt{{{(b-1)}^{2}}+1}+1-b\Leftrightarrow f({{e}^{a}})=f(1-b) και λόγω του 1-1 προκύπτει ότι

{{e}^{a}}=1-b(1) και για την πρώτη ισότητα του συστήματος (που μάλλον έχει τυπογραφικό…ο δημιουργός να επέμβει…)

a-b=\sqrt{{{b}^{2}}+1}-\sqrt{{{a}^{2}}+1}\Leftrightarrow a+\sqrt{{{a}^{2}}+1}=b+\sqrt{{{b}^{2}}+1}\Leftrightarrow f(a)=f(b)\Leftrightarrow a=b(2)

και έτσι η (1) γίνεται {{e}^{a}}=1-a\Leftrightarrow {{e}^{a}}+a-1=0και βλέπουμε ότι το a είναι ρίζα της συνάρτησης

h(x)={{e}^{x}}+x-1 που έχει προφανή την x=0 και μοναδική αφού {h}'(x)={{e}^{x}}+1>0 άρα h

γνήσια αύξουσα άρα και '1-1' επομένως a=b=0

Φιλικά και Μαθηματικά
Βασίλης


f ανοιγοντας τους δρομους της Μαθηματικης σκεψης, f' παραγωγος επιτυχιας
Τα Μαθηματικά είναι απλά...όταν σκέπτεσαι σωστά...
Τα Μαθηματικά είναι αυτά...για να δεις πιό μακρυά...
Τα Μαθηματικά είναι μαγεία...όταν έχεις φαντασία...
Άβαταρ μέλους
M.S.Vovos
Δημοσιεύσεις: 884
Εγγραφή: Παρ Φεβ 27, 2015 5:45 pm

Re: Εύρεση f και σύστημα

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από M.S.Vovos » Σάβ Μαρ 31, 2018 2:29 am

Καλησπέρα. Δεν έχει τυπογραφικό. Φυσικά η ιδεα της κατασκευής δεν αλλάζει και στα δύο πρόσημα.

Φιλικά.


Είναι αυταπάτη ότι η νεότητα είναι ευτυχισμένη, μια αυταπάτη αυτών που την έχουν χάσει. W. Somerset Maugham
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΘΕΜΑΤΑ ΜΕ ΑΠΑΙΤΗΣΕΙΣ Γ'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης