Ανισότητα Hermite-Hadamard

M.S.Vovos · #1

Έστω η παραγωγίσιμη με συνεχή παράγωγο $f:[a,b]\longrightarrow \mathbb{R}$ με f(a)=b

και

τέτοια ώστε για κάθε $x\in [a,b]$ να ισχύει $f'(x)\neq 0$ .

Να αποδείξετε ότι η είναι γνησίως φθίνουσα.

Ορίζουμε ως

μια αρχική της

στο διάστημα [a,b]

.

Να αποδείξετε ότι για κάθε $x\in [a,b]$ ισχύουν:

$\displaystyle{F(x)+F(a+b-x)\leq 2F\left ( \frac{a+b}{2} \right )}$
$\displaystyle{F(x)\geq a+b-x}$

Να αποδείξετε την ανίσωση Hermite-Hadamard για τα ολοκληρώματα, δηλαδή:

$\displaystyle{\frac{F(a)+F(b)}{2}<\frac{1}{b-a}\int_{a}^{b}F(x)\\d}x<F\left ( \frac{a+b}{2} \right )}$

Φιλικά,
Μάριος

Tolaso J Kos · #2

M.S.Vovos έγραψε: ↑
Παρ Μαρ 09, 2018 12:11 pm
Έστω η παραγωγίσιμη με συνεχή παράγωγο $f:[a,b]\longrightarrow \mathbb{R}$ με και τέτοια ώστε για κάθε $x\in [a,b]$ να ισχύει $f'(x)\neq 0$ .

Να αποδείξετε ότι η είναι γνησίως φθίνουσα.
Ορίζουμε ως μια αρχική της στο διάστημα .
Να αποδείξετε ότι για κάθε $x\in [a,b]$ ισχύουν:

$\displaystyle{F(x)+F(a+b-x)\leq 2F\left ( \frac{a+b}{2} \right )}$
$\displaystyle{F(x)\geq a+b-x}$

Να αποδείξετε την ανίσωση Hermite-Hadamard για τα ολοκληρώματα, δηλαδή:

$\displaystyle{\frac{F(a)+F(b)}{2}<\frac{1}{b-a}\int_{a}^{b}F(x)\\d}x<F\left ( \frac{a+b}{2} \right )}$
Φιλικά,
Μάριος

Γεια σου Μάριε,

(α) Επειδή $f'(x) \neq 0$ για κάθε $x \in (\alpha, \beta)$ συνάγουμε ότι η

είναι γνήσια μονότονη. Τώρα επειδή $f(\alpha)=\beta > \alpha = f( \beta)$ συνάγουμε ότι η

είναι γνήσια φθίνουσα.

(β) Αν

μία παράγουσα της

τότε θα αυτή θα είναι κοίλη διότι η παράγωγος αυτής είναι γνήσια φθίνουσα. Οπότε η πρώτη ανισότητα δεν είναι τίποτα άλλο από τη Jensen αφού:

$\displaystyle{F\left ( x \right ) + F\left ( \alpha + \beta-x \right ) \leq 2 F \left ( \frac{\alpha + \beta - x + x}{2} \right ) = 2 F \left ( \frac{\alpha + \beta}{2} \right )}$
Τη δεύτερη ανισότητα δε τη βλέπω τώρα... υποψιάζομαι ότι έχει να κάνει σχέση με τη κυρτότητα της

.

(γ) Μπορούμε να βρούμε το ερώτημα εδώ . ....

Ανισότητα Hermite-Hadamard

Ανισότητα Hermite-Hadamard

Re: Ανισότητα Hermite-Hadamard

Μέλη σε σύνδεση