Γνήσια αύξουσα συνάρτηση

Ιστοσελίδα · #1

Έστω $f:[a,b]\to\mathbb{R}$ συνεχής συνάρτηση. Υποθέτουμε ότι:

για κάθε

με $a\leq x<b$ και για κάθε $\delta>0$ υπάρχει $y\in(x,x+\delta)\cap[a,b]$ τέτοιο ώστε f(x)<f(y)

.

Να αποδείξετε ότι η

είναι γνήσια αύξουσα συνάρτηση.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #2

Με ΑΤΟΠΟ.
Εστω ότι δεν ήταν.

Θα υπήρχαν $a\leq c< d\leq b$ με $f(c)\geq f(d)$ (1)

Η συνάρτηση περιορισμένη στο [c,d]

παίρνει μέγιστη τιμή έστω στο

Λόγω της (1) το

μπορούμε να το διαλέξουμε έτσι ώστε $r\neq d$

Αλλά για $\delta =d-r> 0$

υπάρχει $y\in (r,r+\delta )=(r,d)$

με f(y)> f(r)

Προφανώς $y\in [c,d]$ που δίνει ΑΤΟΠΟ λόγω μέγιστης τιμής.

Επίτιμος Κ · #3

Νομίζω, ότι αν η f ήταν ορισμένη και συνεχής σ΄όλο το R, η άσκηση θα ήταν περιεκτικότερη και με πιο εύκολη διατύπωση.
Το κλειστό διάστημα (δε χρειάστηκε πουθενά) και οι τομές εκεί πέρα θα έλλειπαν. Μια που ανοίξαμε κάτι να πούμε.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #4

Το ίδιο σχεδόν βρίσκεται και στο
viewtopic.php?f=61&t=60139

#5

stranton έγραψε: ↑
Τρί Οκτ 31, 2017 8:00 pm
Έστω $f:[a,b]\to\mathbb{R}$ συνεχής συνάρτηση. Υποθέτουμε ότι:

για κάθε με $a\leq x<b$ και για κάθε $\delta>0$ υπάρχει $y\in(x,x+\delta)\cap[a,b]$ τέτοιο ώστε .

Να αποδείξετε ότι η είναι γνήσια αύξουσα συνάρτηση.

Καλησπέρα !

Ωραίο ερώτημα ! Αν το διάστημα δεν είναι κλειστό , ισχύει το ζητούμενο ; Απλά την απορία καταθέτω, δεν το έχω κοιτάξει.Δείχνει όμως συνολικά ενδιαφέρον το ερώτημα. Εϊδα και την άσκηση που έβαλε ο Σταύρος στο ίδιο μήκος κύματος.Μμμ, πρέπει να τις μελετήσω με πολύ προσοχή !

Μπ

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #6

Μπάμπης Στεργίου έγραψε: ↑
Πέμ Νοέμ 16, 2017 10:27 pm

stranton έγραψε: ↑
Τρί Οκτ 31, 2017 8:00 pm
Έστω $f:[a,b]\to\mathbb{R}$ συνεχής συνάρτηση. Υποθέτουμε ότι:

για κάθε με $a\leq x<b$ και για κάθε $\delta>0$ υπάρχει $y\in(x,x+\delta)\cap[a,b]$ τέτοιο ώστε .

Να αποδείξετε ότι η είναι γνήσια αύξουσα συνάρτηση.
Καλησπέρα !

Ωραίο ερώτημα ! Αν το διάστημα δεν είναι κλειστό , ισχύει το ζητούμενο ; Απλά την απορία καταθέτω, δεν το έχω κοιτάξει.Δείχνει όμως συνολικά ενδιαφέρον το ερώτημα. Εϊδα και την άσκηση που έβαλε ο Σταύρος στο ίδιο μήκος κύματος.Μμμ, πρέπει να τις μελετήσω με πολύ προσοχή !

Μπ

Ισχύει και για ανοικτό .Η απόδειξη είναι η ίδια .
Με κόκκινο είναι η διαφοροποίηση.

Εστω ότι δεν ήταν.

Θα υπήρχαν a<c<d<b με $f(c)\geq f(d)$ (1)

Η συνάρτηση περιορισμένη στο [c,d]

παίρνει μέγιστη τιμή έστω στο

Λόγω της (1) το

μπορούμε να το διαλέξουμε έτσι ώστε $r\neq d$

Αλλά για $\delta =d-r> 0$

υπάρχει $y\in (r,r+\delta )=(r,d)$

με f(y)> f(r)

Προφανώς $y\in [c,d]$ που δίνει ΑΤΟΠΟ λόγω μέγιστης τιμής.

#7

Πολύ ωραία .Ευχαριστώ πολύ Σταύρο .

Καλό ΣΑβ/κο !!!

Γνήσια αύξουσα συνάρτηση

Γνήσια αύξουσα συνάρτηση

Re: Γνήσια αύξουσα συνάρτηση

Re: Γνήσια αύξουσα συνάρτηση

Re: Γνήσια αύξουσα συνάρτηση

Re: Γνήσια αύξουσα συνάρτηση

Re: Γνήσια αύξουσα συνάρτηση

Re: Γνήσια αύξουσα συνάρτηση

Μέλη σε σύνδεση