Καλή σχολική χρονιά!

Δυσκολότερα θέματα τα οποία όμως άπτονται της σχολικής ύλης και χρησιμοποιούν αποκλειστικά θεωρήματα που βρίσκονται μέσα σε αυτή. Σε διαφορετική περίπτωση η σύνταξη του μηνύματος θα πρέπει να γίνει στο υποφόρουμ "Ο ΦΑΚΕΛΟΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΥ"

Συντονιστής: Μπάμπης Στεργίου

Άβαταρ μέλους
M.S.Vovos
Δημοσιεύσεις: 874
Εγγραφή: Παρ Φεβ 27, 2015 5:45 pm

Καλή σχολική χρονιά!

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από M.S.Vovos » Δευ Σεπ 11, 2017 12:43 pm

Έστω η συνάρτηση \displaystyle{f:(0,\pi ]\longrightarrow \mathbb{R}} για την οποία ισχύει:
\displaystyle{f(x)=\left\{\begin{matrix} 
\displaystyle \frac{1}{\sin x}, &0<x<\pi  \\\\  
2018, &x=\pi   
\end{matrix}\right.} (α) Να εξετάσετε αν η \displaystyle{f} είναι συνεχής στο πεδίο ορισμού της.

(β) Να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της \displaystyle{f} τέμνει την διχοτόμο του πρώτου και τρίτου τεταρτημορίου σε ακριβώς δύο σημεία.

(γ) Να αποδείξετε ότι η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της \displaystyle{f} σε κάθε σημείο του \displaystyle{(0,\pi )} βρίσκεται «κάτω» από τη γραφική της παράσταση με εξαίρεση το σημείο επαφής τους. Στη συνέχεια, να αποδείξετε ότι υπάρχει μοναδικό \displaystyle{\xi \in (0,\pi )} τέτοιο, ώστε:

\displaystyle{\sin ^{2}\xi =\cos (\pi -\xi )}
(δ) Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου, που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της \displaystyle{f}, τον άξονα των τετμημένων και τις ευθείες \displaystyle{x=\frac{\pi }{2}} και \displaystyle{x=\frac{\pi }{3}}.

Φιλικά,
Μάριος


Είναι αυταπάτη ότι η νεότητα είναι ευτυχισμένη, μια αυταπάτη αυτών που την έχουν χάσει. W. Somerset Maugham

Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
exdx
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1406
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 6:00 pm
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης
Επικοινωνία:

Re: Καλή σχολική χρονιά!

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από exdx » Τρί Σεπ 12, 2017 12:03 pm

α) Στο (0,\pi )είναι συνεχής ως πηλίκο συνεχών .
Ακόμα \underset{x\to {{\pi }^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{1}{\sin x}=+\infty διότι \underset{x\to {{\pi }^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\sin x=0 και \sin x>0 για x\in (0,\pi ).
Άρα \underset{x\to {{\pi }^{-}}}{\mathop{\lim }}\,f(x)\ne f(\pi )=2018 οπότε δεν είναι συνεχής στο πεδίο ορισμού της .

β) Θέλουμε η εξίσωση \dfrac{1}{\sin x}=x και ισοδύναμα η x\sin x-1=0 να έχει δύο ακριβώς λύσεις στο (0,\pi )
Έστω g(x)=x\sin x-1 που είναι συνεχής στο [0,\pi ]ως γινόμενο και διαφορά συνεχών συναρτήσεων .
Ακόμα g(0)=-1< 0,\,\,\,g\left( \frac{\pi }{2} \right)=\frac{\pi }{2}-1>0,\,\,\,\,g(\pi )=-1<0.
Επομένως g(0)g\left( \frac{\pi }{2} \right)<0,\,\,\,g\left( \dfrac{\pi }{2} \right)g(\pi )<0, οπότε ικανοποιούνται οι προϋποθέσεις του θεωρήματος Bolzano
σε καθένα από τα διαστήματα [0,\dfrac{\pi }{2}],[\dfrac{\pi }{2},\pi ] , άρα υπάρχουν \displaystyle {{x}_{1}}\in \left( 0,\dfrac{\pi }{2} \right),\,\,\,{{x}_{2}}\in \left( \frac{\pi }{2},\pi  \right)ώστε \displaystyle g({{x}_{1}})=0,\,\,\,\,g({{x}_{2}})=0 (*).

Αν η εξίσωση x\sin x-1=0 και ισοδύναμα η \sin x-\frac{1}{x}=0\Leftrightarrow t(x)=0 είχε τρεις λύσεις στο (0,\pi ), έστω τις \displaystyle {{x}_{1}},{{x}_{2}},{{x}_{3}}
τότε με εφαρμογή του θεωρήματος Rolle στην \displaystyle t στα διαστήματα \displaystyle [{{x}_{1}},{{x}_{2}}],[{{x}_{2}},{{x}_{3}}], θα υπήρχαν
\displaystyle {{r}_{1}},\,\,{{r}_{2}} ώστε \displaystyle {t}'({{r}_{1}})={t}'(\,{{r}_{2}})=0 ,
οπότε πάλι με εφαρμογή του θεωρήματος Rolle στην \displaystyle {t}' στο διάστημα \displaystyle [{{r}_{1}},{{r}_{2}}],
θα υπήρχε κάποιο \displaystyle s ώστε \displaystyle {{t}'}'(s)=0 \displaystyle \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(1).
Όμως {t}'(x)={{\left( \sin x-\frac{1}{x} \right)}^{\prime }}=\cos x+\frac{1}{{{x}^{2}}},\,\,\,{{t}'}'(x)={{\left( \cos x+\frac{1}{{{x}^{2}}} \right)}^{\prime }}=-\sin x-\frac{2}{{{x}^{3}}}<0 στο (0,\pi ) \displaystyle (2)
Από \displaystyle (1),\,\,\,\,\,(2) προκύπτει άτοπο.
Άρα η εξίσωση έχει το πολύ δυο ρίζες και συνδυάζοντας με την (*) έχει ακριβώς δύο ρίζες .

γ) Η \displaystyle \,\,f είναι παραγωγίσιμη στο \displaystyle (0,\pi ) με \displaystyle {f}'(x)={{\left( \frac{1}{\sin x} \right)}^{\prime }}=-\frac{\cos x}{{{\sin }^{2}}x} και η \displaystyle \,\,{f}' είναι παραγωγίσιμη στο \displaystyle (0,\pi ) με
\displaystyle {{f}'}'(x)=-{{\left( \frac{\cos x}{{{\sin }^{2}}x} \right)}^{\prime }}=\frac{2{{\cos }^{2}}x+{{\sin }^{2}}x}{{{\sin }^{3}}x}>0 στο (0,\pi ) οπότε η \displaystyle \,\,f είναι κυρτή
άρα η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της f σε κάθε σημείο του (0,\pi ) βρίσκεται «κάτω» από τη γραφική της παράσταση
με εξαίρεση το σημείο επαφής τους .

{{\sin }^{2}}\xi =\cos (\pi -\xi )\Leftrightarrow 1-{{\cos }^{2}}\xi =-\cos \xi \Leftrightarrow {{\cos }^{2}}\xi -\cos \xi -1=0 
\Leftrightarrow \cos \xi =\frac{1\pm \sqrt{5}}{2}
Δεκτή τιμή η \cos \xi =\frac{1-\sqrt{5}}{2}.
Επειδή αν\xi \in (0,\pi )\Rightarrow \cos \xi \in (-1,1) και \dfrac{1-\sqrt{5}}{2}\in (-1,1) το ζητούμενο είναι άμεσο από το θεώρημα ενδιαμέσων τιμών και τη μονοτονία της συνάρτησης \cos x .

δ) Στο \left[ \dfrac{\pi }{3},\frac{\pi }{2} \right] είναι \dfrac{1}{\sin x}>0 οπότε το ζητούμενο εμβαδόν είναι το
E=\int_{\pi /3}^{\pi /2}{\dfrac{1}{\sin x}}dx=\int_{\pi /3}^{\pi /2}{\dfrac{\sin x}{{{\sin }^{2}}x}}dx=\int_{\pi /3}^{\pi /2}{\dfrac{\sin x}{1-{{\cos }^{2}}x}}dx
Θέτουμε \cos x=u\Rightarrow du=-\sin xdx . Για x=\dfrac{\pi }{3}\Rightarrow u=\dfrac{1}{2},\,\,\,x=\dfrac{\pi }{2}\Rightarrow u=0\,\,,\,\,\,άρα
E=\int_{1/2}^{0}{\dfrac{1}{(u-1)(u+1)}}\,\,du=\dfrac{1}{2}\int_{1/2}^{0}{\left( \dfrac{1}{u-1}-\dfrac{1}{u+1} \right)}\,\,du=\dfrac{1}{2}\left[ \ln |u-1|-\ln |u+1| \right]_{1/2}^{0}=\dfrac{1}{2}\left( -\ln \dfrac{1}{2}+\ln \dfrac{3}{2} \right)=\dfrac{\ln 3}{2}


Kαλαθάκης Γιώργης
Άβαταρ μέλους
M.S.Vovos
Δημοσιεύσεις: 874
Εγγραφή: Παρ Φεβ 27, 2015 5:45 pm

Re: Καλή σχολική χρονιά!

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από M.S.Vovos » Τρί Σεπ 12, 2017 3:15 pm

exdx έγραψε:
Τρί Σεπ 12, 2017 12:03 pm
γ) Η \displaystyle \,\,f είναι παραγωγίσιμη στο \displaystyle (0,\pi ) με \displaystyle {f}'(x)={{\left( \frac{1}{\sin x} \right)}^{\prime }}=-\frac{\cos x}{{{\sin }^{2}}x} και η \displaystyle \,\,{f}' είναι παραγωγίσιμη στο \displaystyle (0,\pi ) με
\displaystyle {{f}'}'(x)=-{{\left( \frac{\cos x}{{{\sin }^{2}}x} \right)}^{\prime }}=\frac{2{{\cos }^{2}}x+{{\sin }^{2}}x}{{{\sin }^{3}}x}>0 στο (0,\pi ) οπότε η \displaystyle \,\,f είναι κυρτή
άρα η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της f σε κάθε σημείο του (0,\pi ) βρίσκεται «κάτω» από τη γραφική της παράσταση
με εξαίρεση το σημείο επαφής τους .

{{\sin }^{2}}\xi =\cos (\pi -\xi )\Leftrightarrow 1-{{\cos }^{2}}\xi =-\cos \xi \Leftrightarrow {{\cos }^{2}}\xi -\cos \xi -1=0 
\Leftrightarrow \cos \xi =\frac{1\pm \sqrt{5}}{2}
Δεκτή τιμή η \cos \xi =\frac{1-\sqrt{5}}{2}.
Επειδή αν\xi \in (0,\pi )\Rightarrow \cos \xi \in (-1,1) και \dfrac{1-\sqrt{5}}{2}\in (-1,1) το ζητούμενο είναι άμεσο από το θεώρημα ενδιαμέσων τιμών και τη μονοτονία της συνάρτησης \cos x .
Καλό, σύντομο και αλγεβρικό!

Μια διαφορετική προσέγγιση θα μπορούσε να είναι η εξής:

Από το ερώτημα (β) γνωρίζουμε ότι η εξίσωση εξίσωση \displaystyle{f(x)=x}, \displaystyle{x\in (0,\pi )} έχει ακριβώς δύο ρίζες έστω \displaystyle{x_{1},x_{2}}. Χωρίς βλάβη της γενικότητας φυσικά, μπορούμε να υποθέσουμε πως \displaystyle{x_{1}<x_{2}}. Τώρα, αν εφαρμόσουμε το θεώρημα Rolle στο διάστημα \displaystyle{\left [ x_{1},x_{2} \right ]} τότε υπάρχει τουλάχιστον ένα \displaystyle{\xi \in (0,\pi )} ώστε \displaystyle{f'(\xi )=1\Leftrightarrow \sin ^{2}\xi =\cos \left ( \pi -\xi  \right )}. Η μοναδικότητα έρχεται λόγω του ότι η συνάρτηση f' είναι γνησίως αύξουσα, αφού η f είναι κυρτή.

Φιλικά,
Μάριος


Είναι αυταπάτη ότι η νεότητα είναι ευτυχισμένη, μια αυταπάτη αυτών που την έχουν χάσει. W. Somerset Maugham
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8144
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Καλή σχολική χρονιά!

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Τρί Σεπ 12, 2017 4:08 pm

Αλλιώς για το ολοκλήρωμα στο δ), αναζητώντας μία αρχική συνάρτηση της f.

\displaystyle \dfrac{1}{{\sin x}} = \dfrac{{{{\cos }^2}\dfrac{x}{2} + {{\sin }^2}\dfrac{x}{2}}}{{2\sin \dfrac{x}{2}\cos \dfrac{x}{2}}} = \dfrac{{\cos \dfrac{x}{2}}}{{2\sin \dfrac{x}{2}}} + \dfrac{{\sin \dfrac{x}{2}}}{{2\cos \dfrac{x}{2}}} = {\left( {\ln \left| {\sin \frac{x}{2}} \right|} \right)^\prime } - {\left( {\ln \left| {\cos \dfrac{x}{2}} \right|} \right)^\prime }  = \displaystyle {\left( {\ln \left| {\tan \dfrac{x}{2}} \right|} \right)^\prime }

\displaystyle E = \int_{\frac{\pi }{3}}^{\frac{\pi }{2}} {\dfrac{1}{{\sin x}}dx}  = \left[ {\ln \left| {\tan \dfrac{x}{2}} \right|} \right]_{\frac{\pi }{3}}^{\frac{\pi }{2}} = \ln 1 - \ln \dfrac{{\sqrt 3 }}{3} = \dfrac{{\ln 3}}{2}


Άβαταρ μέλους
M.S.Vovos
Δημοσιεύσεις: 874
Εγγραφή: Παρ Φεβ 27, 2015 5:45 pm

Re: Καλή σχολική χρονιά!

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από M.S.Vovos » Τετ Σεπ 13, 2017 6:08 pm

Στην ίδια συνάρτηση, να δώσω δύο ακόμα ερωτήματα που δεν συνδέονται μεταξύ τους:

(α) Να βρεθεί η εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της συνάρτησης \displaystyle{f} η οποία άγεται από το σημείο \displaystyle{\left (\frac{\pi }{2},1  \right )}.

(β) Να αποδείξετε ότι αν \displaystyle{x_{1},x_{2}} οι ρίζες της εξίσωσης \displaystyle{f(x)=x}, \displaystyle{0<x<\pi } τότε ισχύει \displaystyle{\displaystyle \int_{x_{1}}^{x_{2}}f(x)\textup{d}x>2}.

Φιλικά,
Μάριος


Είναι αυταπάτη ότι η νεότητα είναι ευτυχισμένη, μια αυταπάτη αυτών που την έχουν χάσει. W. Somerset Maugham
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΘΕΜΑΤΑ ΜΕ ΑΠΑΙΤΗΣΕΙΣ Γ'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 3 επισκέπτες