Περίεργο πρόβλημα
Συντονιστής: Μπάμπης Στεργίου
- Al.Koutsouridis
- Δημοσιεύσεις: 1798
- Εγγραφή: Πέμ Ιαν 30, 2014 11:58 pm
- Τοποθεσία: Αθήνα
Περίεργο πρόβλημα
Να βρείτε την τιμή του , για την οποία ελαχιστοποιείται το άθροισμα όλων των πραγματικών ριζών της εξίσωσης
,
όπου
,
.
,
όπου
,
.
Λέξεις Κλειδιά:
-
- Δημοσιεύσεις: 14
- Εγγραφή: Παρ Οκτ 27, 2017 1:34 pm
Re: Περίεργο πρόβλημα
Χάριν συντομίας ας βάλουμε και . Επίσης και
Με απλές πράξεις μπορούμε να δείξουμε ότι δηλαδή ότι και είναι αντίστροφες.
Ακόμη εύκολα μπορούμε να δείξουμε ότι πχ η δεν είναι συμμετρική ως προς την .
Κατόπιν αυτών οι πραγματικές ρίζες της είναι ακριβώς τα σημεία τομής των και
ή καλύτερα τα σημεία τομής της και δηλαδή οι ρίζες της εξίσωσης
Με το Θ Bolzano στα σημεία 0,1 και 2 βρίσκουμε ότι μεταξύ αυτών η εν λόγω εξίσωση έχει δυο ρίζες και επειδή είναι τρίτου βαθμού έχει ακριβώς τρεις ρίζες των οποίων το άθροισμα από τους τύπους Vieta είναι το τριώνυμο . Αυτό ως γνωστόν έχει ελάχιστο στη θέση
Κλείνοντας να πω ότι ο έλεγχος της ορθότητας κάποιων μη αποδεδειγμένων ισχυρισμών πιστεύω ότι είναι εύκολος και χάριν συντομίας τους παρέλειψα.
Επίσης δεν ξέρω αν το άθροισμα των ριζών βγαίνει διαφορετικά. Κάποτε οι τύποι Vieta ήταν στα σχολικά βιβλία.
Ευχαριστώ
Με απλές πράξεις μπορούμε να δείξουμε ότι δηλαδή ότι και είναι αντίστροφες.
Ακόμη εύκολα μπορούμε να δείξουμε ότι πχ η δεν είναι συμμετρική ως προς την .
Κατόπιν αυτών οι πραγματικές ρίζες της είναι ακριβώς τα σημεία τομής των και
ή καλύτερα τα σημεία τομής της και δηλαδή οι ρίζες της εξίσωσης
Με το Θ Bolzano στα σημεία 0,1 και 2 βρίσκουμε ότι μεταξύ αυτών η εν λόγω εξίσωση έχει δυο ρίζες και επειδή είναι τρίτου βαθμού έχει ακριβώς τρεις ρίζες των οποίων το άθροισμα από τους τύπους Vieta είναι το τριώνυμο . Αυτό ως γνωστόν έχει ελάχιστο στη θέση
Κλείνοντας να πω ότι ο έλεγχος της ορθότητας κάποιων μη αποδεδειγμένων ισχυρισμών πιστεύω ότι είναι εύκολος και χάριν συντομίας τους παρέλειψα.
Επίσης δεν ξέρω αν το άθροισμα των ριζών βγαίνει διαφορετικά. Κάποτε οι τύποι Vieta ήταν στα σχολικά βιβλία.
Ευχαριστώ
- Al.Koutsouridis
- Δημοσιεύσεις: 1798
- Εγγραφή: Πέμ Ιαν 30, 2014 11:58 pm
- Τοποθεσία: Αθήνα
Re: Περίεργο πρόβλημα
Μου άρεσε το πρόβλημα γιατί τα επιμέρους λογικά βήματα προς την λύση μπορούν να χρησιμοποιηθούν και ως ανεξάρτητα ερωτήματα για ένα πιο αρθρωτό θέμα. Καθώς και μερικές ιδέες για δημιουργία πανομοιότυπων.
Για την ιστορία το πρόβλημα είναι από μια ολυμπιάδα εισαγωγικού τύπου που οργανώνει το πανεπιστήμιο της Μόσχας. Ονομάζεται "Κατακτήστε τους λόφους των σπουργιτιών" (περιοχή που είναι χτισμένο το πανεπιστήμιο). Εντάσσεται σε μια σειρά ολυμπιάδων, μαζί με άλλες που οργανώνουν μερικά ακόμη πανεπιστήμια και φορείς για ανεύρεση ταλαντούχων υποψηφίων. Οι νικητές κερδίζουν έξτρα μόρια για την εισαγωγή τους στα πανεπιστήμια.
Για την ιστορία το πρόβλημα είναι από μια ολυμπιάδα εισαγωγικού τύπου που οργανώνει το πανεπιστήμιο της Μόσχας. Ονομάζεται "Κατακτήστε τους λόφους των σπουργιτιών" (περιοχή που είναι χτισμένο το πανεπιστήμιο). Εντάσσεται σε μια σειρά ολυμπιάδων, μαζί με άλλες που οργανώνουν μερικά ακόμη πανεπιστήμια και φορείς για ανεύρεση ταλαντούχων υποψηφίων. Οι νικητές κερδίζουν έξτρα μόρια για την εισαγωγή τους στα πανεπιστήμια.
-
- Δημοσιεύσεις: 14
- Εγγραφή: Παρ Οκτ 27, 2017 1:34 pm
Re: Περίεργο πρόβλημα
Επιτρέψτε μου μια μικρή διαφωνία κ Koutsouridi. Αν το πρόβλημα δινόταν κατά τρόπο αρθρωτό προσωπικά δεν θα με ενδιέφερε. Αισθάνομαι άβολα όταν μου κατευθύνουν τη σκέψη. Το πρόβλημα τέθηκε όχι μόνο έξυπνα, αλλά υπέροχα, όπως ακριβώς αισθάνθηκα και εγώ όταν έφτασα στη λύση του.
Ευχαριστώ
Ευχαριστώ
- Al.Koutsouridis
- Δημοσιεύσεις: 1798
- Εγγραφή: Πέμ Ιαν 30, 2014 11:58 pm
- Τοποθεσία: Αθήνα
Re: Περίεργο πρόβλημα
Συμφωνώ και επαυξάνω. Το είπα δεδομένων των παρουσών συνθηκών και της δομής των θεμάτων των Πανελληνίων. Ο μέσος μαθητής θα το έβρισκε σχετικά δύσκολο και δε θα ασχολούνταν. Με την άρθρωση μαιευτικά ίσως να είχαμε περισσότεροι συμμετοχή. Από όσους συμμετείχαν, μερικοί θα έβλεπαν και την ομορφιά του όλου και έτσι να μην βγαίναμε τελείως χαμένοι.Επίτιμος Κ έγραψε: ↑Τρί Οκτ 31, 2017 6:37 amΕπιτρέψτε μου μια μικρή διαφωνία κ Koutsouridi. Αν το πρόβλημα δινόταν κατά τρόπο αρθρωτό προσωπικά δεν θα με ενδιέφερε. Αισθάνομαι άβολα όταν μου κατευθύνουν τη σκέψη. Το πρόβλημα τέθηκε όχι μόνο έξυπνα, αλλά υπέροχα, όπως ακριβώς αισθάνθηκα και εγώ όταν έφτασα στη λύση του.
Ευχαριστώ
Βέβαια μια φορά που προσπάθησα να κάνω κάτι τέτοιο σε άλλο θέμα εδώ δε θα έλεγα ότι ήταν πετυχημένη. Εκεί το αρχικό πρόβλημα ήταν μόνο το ερώτημα Δ4.
Re: Περίεργο πρόβλημα
Το "κατοπιν-ακριβως" απο που προκυπτει?Επίτιμος Κ έγραψε: ↑Δευ Οκτ 30, 2017 12:04 pmΧάριν συντομίας ας βάλουμε και . Επίσης και
Με απλές πράξεις μπορούμε να δείξουμε ότι δηλαδή ότι και είναι αντίστροφες.
Ακόμη εύκολα μπορούμε να δείξουμε ότι πχ η δεν είναι συμμετρική ως προς την .
Κατόπιν αυτών οι πραγματικές ρίζες της είναι ακριβώς τα σημεία τομής των και
ή καλύτερα τα σημεία τομής της και
Πχ οι συναρτησεις
Ειναι αντιστροφες (πχ ), η f(x) (οπως και η g(x)) δεν ειναι συμμετρικες ως προς την ευθεια y=x ομως οι πραγματικες ριζες της δεν δίνονται όλες από την αφου εχουν και άλλες ρίζες.
- Al.Koutsouridis
- Δημοσιεύσεις: 1798
- Εγγραφή: Πέμ Ιαν 30, 2014 11:58 pm
- Τοποθεσία: Αθήνα
Re: Περίεργο πρόβλημα
Η παραπάνω λύση είναι ελλιπής ως προς την δικαιολόγηση. Για την πληρότητα της λύσης με αυτό το τρόπο θα πρέπει να δειχθεί ότι η είναι γνησίως μονότονη (αύξουσα) και ύστερα για τις αύξουσες συναρτήσεις η εξίσωση ότι είναι ισοδύναμη με την και συνεχίζουμε την λύση...Proclus έγραψε: ↑Δευ Δεκ 03, 2018 11:27 pmΤο "κατοπιν-ακριβως" απο που προκυπτει?Επίτιμος Κ έγραψε: ↑Δευ Οκτ 30, 2017 12:04 pmΧάριν συντομίας ας βάλουμε και . Επίσης και
Με απλές πράξεις μπορούμε να δείξουμε ότι δηλαδή ότι και είναι αντίστροφες.
Ακόμη εύκολα μπορούμε να δείξουμε ότι πχ η δεν είναι συμμετρική ως προς την .
Κατόπιν αυτών οι πραγματικές ρίζες της είναι ακριβώς τα σημεία τομής των και
ή καλύτερα τα σημεία τομής της και
Πχ οι συναρτησεις
Ειναι αντιστροφες (πχ ), η f(x) (οπως και η g(x)) δεν ειναι συμμετρικες ως προς την ευθεια y=x ομως οι πραγματικες ριζες της δεν δίνονται όλες από την αφου εχουν και άλλες ρίζες.
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 3 επισκέπτες